新高考艺术生数学基础复习讲义 考点27 空间几何体的外接球（教师版含解析）

1、30/30考点27 空间几何体的外接球知识理解1.墙角模型使用范围：3组或3条棱两两垂直；或可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合(2)推导过程：长方体的体对角线就是外接球的直径秒杀公式：(4)图示过程秒杀公式：2.汉堡模型(1)使用范围：有一条侧棱垂直与底面的柱体或椎体(2)推导过程第一步：取底面的外心O1,，过外心做高的的平行且长度相等，在该线上中点为球心的位置第二步：根据勾股定理可得(3)秒杀公式：(4)图示过程3.斗笠模型(1)使用范围：正棱锥或顶点的投影在底面的外心上(2)推导过程第一步：取底面的外心O1,，连接顶点与外心，该线为空间几何体的高h第二步：在h上取一点作为球心O

2、第三步：根据勾股定理(3)秒杀公式：(4)图示过程4.切瓜模型(1)使用范围：有两个平面互相垂直的棱锥(2)推导过程：第一步：分别在两个互相垂直的平面上取外心F、N，过两个外心做两个垂面的垂线，两条垂线的交点即为球心O，取BC的中点为M，连接FM、MN、OF、ON第二步：(3)秒杀公式：(4)图示过程考向分析考向一 墙角模型【例1】(2021平罗中学高三期末)已知长方体的两个底面是边长为的正方形，长方体的一条体对角线与底面成角，则此长方体的外接球表面积为( )ABCD【答案】A【解析】记该长方体为，为该长方体的一条体对角线，其与底面所成角为，因为在长方体中，侧棱底面，则为与底面所成角，即，因为

3、长方体的两个底面是边长为的正方形，所以，则，所以，又长方体的外接球直径等于其体对角线的长，即该长方体外接球的直径为，所以此长方体的外接球表面积为.故选：A.【举一反三】1(2020天津静海区高三月考)若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )ABCD【答案】A【解析】因为正方体的外接球的直径，所以棱长为2的正方体外接球的直径，所以该球的表面积.故选：A.2(2020河南高三月考)已知长方体中，与平面所成角的正弦值为，则该长方体的外接球的表面积为( )ABCD【答案】B【解析】作，垂足为，连接，.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以是与平面所成的平面角.又，.所以，解

4、得.故该长方体的体对角线为.设长方体的外接球的半径为，则，解得.所以该长方体的外接球的表面积为.故选B.3(2020四川泸州市高三一模)已知四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，且平面，则该四棱锥外接球的表面积为( )ABCD【答案】C【解析】由题意，四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，且平面，可把四棱锥放置在如图所示的一个长方体内，其中长方体的长、宽、高分别为，则四棱锥的外接球和长方体的外接球表示同一个球，设四棱锥的外接球的半径为，可得，解得，所以该四棱锥外接球的表面积为.故选：C.考向二 汉堡包模型【例2】(2021陕西西安市高三一模)三棱柱中，棱两两垂直，底面是面积为2的等腰直角三角形，若

5、该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上，则球O的表面积为( )A8BCD【答案】C【解析】底面是面积为2的等腰直角三角形，所以直角边长为2，所以三棱柱可以补充成边长为2的正方体，其外接球半径为：，所以球O的表面积为，故选：C【举一反三】1(2021陕西咸阳市高三一模)在直三棱柱中，若该直三棱柱的外接球表面积为，则此直三棱柱的高为( )A4B3CD【答案】D【解析】因为，所以将直三棱柱补成长方体，则直三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线，设球的半径为，则，解得，设直三棱柱的高为，则，即，解得，所以直三棱柱的高为，故选：D2(2021山西吕梁市高三一模)四面体中，面，则

6、四面体外接球的表面积为( )ABCD【答案】A【解析】设外接圆的圆心为，四面体外接球的球心为，半径为连接由正弦定理可得，即，即四面体外接球的表面积为故选：A3(2021山东德州市高三期末)如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，O为对角线与的交点，若，则三棱锥的外接球表面积为_【答案】【解析】取中点，中点，连接，则，因为底面，所以平面，是菱形，则，所以是的外心，又底面，平面，所以，所以到四点距离相等，即为三棱锥的外接球球心又，所以，所以，所以三棱锥的外接球表面积为故答案为：考向三 斗笠模型【例3】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )ABCD【答案】A

7、【解析】正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高上，记为O，PO=AO=R，=4-R，在Rt中，由勾股定理得，球的表面积，故选A.【举一反三】1(2020江西吉安市高三其他模拟)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为，底面边长为，则该球的表面积为( )ABCD【答案】B【解析】如图示：正四棱锥中，高，底面正方形边长,设正四棱锥的外接球半径为，底面正四边形外接圆半径为则，由得：，解得：，.故选：B.2(2021安徽芜湖市高三期末)已知正四棱锥的体积为，侧棱与底面所成的角为，则该正四棱锥外接球的表面积为_.【答案】【解析】如下图所示，设正四棱锥的底面的中心为，连接、，设正四棱锥的底面边长为

8、，则，由于为正四棱锥的底面的中心，则平面，由于正四棱锥的侧棱与底面所成的角为，则，所以，是以为直角的等腰直角三角形，同理可知，是以为直角的等腰直角三角形，为的中点，解得，由直角三角形的性质可得，即，所以，为正四棱锥外接球的球心，球的半径为，该球的表面积为.故答案为：.3(2020秦皇岛市抚宁区第一中学)已知正三棱锥的侧棱长为，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是_.【答案】【解析】过点作平面于点，记球心为.在正三棱锥中，底面边长为6，侧棱长为，.球心到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接球的半径长，.在中，即，解得，外接球的表面积为.故答案为：.考向四 切瓜模型【例4】(2021江西

9、高三其他模拟)已知三棱锥A-BCD中，侧面ABC底面BCD，三角形ABC是边长为3的正三角形，三角形BCD是直角三角形，且BCD=90，CD=2，则此三棱锥外接球的体积等于( )ABC16D32【答案】A【解析】三棱锥中，侧面底面，把该三棱锥放入长方体中，如图所示；设三棱锥外接球的球心为，取BC的中点M，BD的中点N，三角形ABC的重心G，连接OG，则，所以三棱锥外接球的半径为，所以三棱锥外接球的体积为故选：A【举一反三】1(2020内蒙古赤峰市高三月考)已知三棱锥中，面面，则此三棱锥的外接球的表面积为( )ABCD【答案】B【解析】如图，所以的外接圆的圆心为斜边的中点,，为等腰三角形.取的中

10、点，连接，,又 面面，面面，面，面，过点作的平行线，则球心一定在该直线上.设的外接圆的圆心为，,则点在上，连接,由球的性质则，平面，则为矩形.在中，,则所以的外接圆的半径 所以，则 则 所以球的半径为 所以三棱锥的外接球的表面积为 故选：B2(2020四川泸州市高三一模)已知三棱锥中，和是边长为2的等边三角形，且平面平面，该三棱锥外接球的表面积为( )ABCD【答案】D【解析】取的中点，连接，则，因为平面平面，所以可证得平面，平面，取的外心，作，则四点共面，取的外心，过点作的平行线交于点，因为垂直平面，则平面，所以点到四点的距离相等，所以点为三棱锥外接球的球心，连接，可求得，所以，所以外接球的

11、表面积为.故选：D.3(2021全国高三专题练习)已知三棱锥中，平面平面，且和都是边长为2的等边三角形，则该三棱锥的外接球表面积为( )ABCD【答案】D【解析】如图，由已知可得，与均为等边三角形，取中点，连接，则，平面平面，则平面，分别取与的外心，过分别作两面的垂线，相交于，则为三棱锥的外接球的球心，由与均为边长为的等边三角形，可得，三棱锥ABCD的外接球的表面积为.故选：D.强化练习1(2020江西高三其他模拟(理)在三棱锥中，则该三棱锥的外接球的表面积为( )ABCD【答案】A【解析】在中，即，又，为等边三角形根据题意，有如下示意图：如图，设的外接圆的圆心为，连接，连接PH.由题意可得，

12、且，.由上知：且，又，由，平面ABC.设O为三棱锥外接球的球心，连接，OC过O作，垂足为D，则外接球的半径R满足， ，代入解得，即有，三棱锥外接球的表面积为.故选：A.2(2020四川泸州市高三一模)已知四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，且，则该四棱锥外接球的表面积为( )ABCD【答案】C【解析】由题意，四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，且平面，可把四棱锥放置在如图所示的一个长方体内，其中长方体的长、宽、高分别为，则四棱锥的外接球和长方体的外接球表示同一个球，设四棱锥的外接球的半径为，可得，解得，所以该四棱锥外接球的表面积为.故选：C.3(2020四川宜宾市高三一模)已知点P，A，B

13、，C在同一个球的球表面上，PA平面ABC，ABAC，PB=，BC=，PC=，则该球的表面积为( )A6B8C12D16【答案】A【解析】如图，三棱锥补体在长方体中，三棱锥的外接球就是补体后长方体的外接球，长方体的外接球的直径 ，即，则该球的表面积.故选：A4(2020广东广州市高三月考)在长方体中，点在正方形内，平面，则三棱锥的外接球表面积为( )ABCD【答案】C【解析】长方体中，平面，平面，又平面，平面，平面，而平面，是正方形，是与交点，即为的中点，也是的中点是直角三角形，设是中点，是中点，则由可得平面(长方体中棱与相交面垂直)，是的外心，三棱锥的外接球球心在直线上(线段或的延长线上)设，

14、则，解得，外接球半径为，表面积为故选：C5(2020全国高三月考)三棱柱中，平面，则该三棱柱的外接球的体积为( )ABCD【答案】B【解析】如图，取中点，连交于点， ，为的外接圆圆心，外接圆半径为,，平面，平面，又，点为三棱柱的外接球球心，外接球半径，外接球体积.故选：B.6(2020江西赣州市高三)四面体中，底面，则四面体的外接球表面积为( )ABCD【答案】B【解析】如图，在四面体中，底面，可得，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，1，则长方体的对角线长为，则三棱锥的外接球的半径为1其表面积为故选：B7(2021天津滨海新区高三月考)直三棱柱的所有顶点都在同一球面上，且，则该球的

15、表面积为( )ABCD【答案】A【解析】如图所示，直三棱柱的所有顶点都在同一球面上，且，可将直三棱柱补成长方体，其中，长方体的对角线，即为球的直径，则球的半径为.球的表面积为.故选: A.8(2020江苏南通市高三期中)正三棱锥中，则该棱锥外接球的表面积为( )ABCD【答案】C【解析】正三棱锥中，,所以,故,同理可得, ,以为棱构造正方体，则该棱锥外接球即为该正方体的外接球，如图，所以，故球的表面积为,故选：C9(2021安徽宣城市高三期末(文)在三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球的表面积是( )ABCD【答案】D【解析】如图所示，取BC中点M，连接AM并延长到N使AM=MN，则四边形ABNC

16、是两个等边三角形组成的菱形，AN=BN=CN，点N是的外接圆圆心，过N作平面ABC的垂线NG，则球心一定在垂线NG上，因为平面，则PA/NG，PA与NG共面，在面内作PA的中垂线，交NG于O ，则O是外接球球心，半径R=OA，中，故，故外接球的表面积.故选:D.10(2020江苏南京市第二十九中学高三期中)已知直三棱柱的顶点都在球上，且，则此直三棱柱的外接球的表面积是( )ABCD【答案】C【解析】如图所示：设点为外接圆的圆心，因为，所以，又，所以是等边三角形，所以，又直三棱柱的顶点都在球上，所以外接球的半径为，所以直三棱柱的外接球的表面积是，故选：C11(2021平凉市庄浪县第一中学高三其他

17、模拟(理)已知，平面ABC，若，则四面体PABC的外接球(顶点都在球面上)的体积为( )ABCD【答案】D【解析】取PC的中点O，连接OA，OB，由题意得，又因为，所以平面，所以，在，同理，所以，因此P，A，B，C四点在以O为球心的球面上，在中，在中，球O的半径，所以球的体积为，故选：D.12(2020甘肃省民乐县第一中学高三其他模拟(理)在四棱锥中，则三棱锥外接球的表面积为( )ABCD【答案】D【解析】如图，取的两个三等分点、，连接、，设，连接、.则，又，所以，四边形为平行四边形，为的中点，所以，由勾股定理可得，则，在中，又，则为等边三角形，则是的外接圆的圆心.因为，为的中点，又，平面，且

18、.设为三棱锥外接球的球心，连接、，过作，垂足为，则外接球的半径满足，设，则，解得，从而，故三棱锥外接球的表面积为.故选：D.13(2021固原市第五中学高三期末(理)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的体积为_.【答案】【解析】设正方体边长，正方体外接球的半径为R，由正方体的表面积为24，所以，则，又，所以，所以外接球的体积为：.故答案为：.14(2021安徽池州市高三期末(理)已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，则四棱锥的外接球的表面积为_.【答案】【解析】如图所示：平面，平面，则有，解得，又，构造正三棱柱，其上下底面边长为2，高为2，则其外接球的球心是上下中心连线的中点，设外接球半径，则，所以外接球的表面积为.故答案为：15(2021吉林四平市高三期末)已知直三棱柱其外接球的体积为_.【答案】【解析】已知AB=AC,三角形为等腰三角形，取M为BC的中点，连接AM,则AMBC,由已知得BC=,又,，再由正弦定理,(r为三角形外接圆半径)，r=2,设两底面的外接圆的圆心分别为，外接球球心为的中点，外接球的半径,所以球的体积为,故答案为：.16(2021河南郑州市高三一模)已知是球的内接三棱锥，则球的表面积