新高考艺术生数学基础复习讲义 考点43 椭圆（教师版含解析）

1、28/28考点43 椭圆知识理解一椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点. 二椭圆的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(ab0)焦点在x轴上标准方程中x2项的分母较大；焦点在y轴上标准方程中y2项的分母较大.椭圆的几何性质标准方程eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1 (ab0)eq f(y2,a2)eq f(x

2、2,b2)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(a,0)，A2(a,0) B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a) B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距F1F22c离心率eeq f(c,a)(0,1)a，b，c的关系a2b2c2直线与椭圆的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程AxByC0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程例：由eq blcrc (avs4alco1(AxByC

3、0，,Fx，y0)消去y，得ax2bxc0.当a0时，设一元二次方程ax2bxc0的判别式为，则：0直线与圆锥曲线C相交；0直线与圆锥曲线C相切；0直线与圆锥曲线C相离五弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：|AB|eq r(1k2)|x1x2|=eq r(1k2x1x224x1x2)；|AB| eq r(1f(1,k2)|y1y2|(k0)= eq r(blc(rc)(avs4alco1(1f(1,k2)y1y224y1y2

4、).考向分析考向一 椭圆的定义及应用【例1-1】(2021全国课时练习)下列命题是真命题的是_.(将所有真命题的序号都填上)已知定点，则满足|PF1|PF2|的点P的轨迹为椭圆；已知定点F1(2，0)，F2(2，0)，则满足|PF1|PF2|4的点P的轨迹为线段；到定点的距离相等的点的轨迹为椭圆.【答案】【解析】中，因为，可得，因为，所以点的轨迹不存在；中，因为，所以点P的轨迹是线段；中，由定点的距离相等的点的轨迹是线段的垂直平分线，即.故答案为：【例1-2】(2021上海市奉贤中学)若过椭圆上焦点的直线交椭圆于点A，B，为椭圆下焦点，则三角形的周长为_.【答案】16【解析】在椭圆中， 由椭圆

5、的定义得所以即故答案为：16【例1-3】(2021安徽六安市六安一中高三月考(理)已如是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则的面积等于( )A24B26CD【答案】A【解析】由椭圆方程可得焦点在轴上，由椭圆定义可得，又，则可解得，满足，则，.故选：A.【举一反三】1(2021广西桂林市)设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两焦点距离之和为_.【答案】8【解析】由，得，由椭圆的定义可得到该椭圆的两个焦点的距离之和为.故答案为：2(2021浙江高三其他模拟)已知椭圆上一点到其左焦点的距离为1，则的中点到坐标原点的距离为( )A3BC1D【答案】B【解析】易知椭圆的标准方程为设椭圆的长轴长为，则，设椭圆的右

6、焦点为，连接，则由椭圆的定义得在中，易知为的中位线，所以，故选：B3(2020黑龙江哈尔滨市哈九中)已知是椭圆上的任意一点，若，则_.【答案】4【解析】由椭圆的方程知：，由椭圆的定义知：，所以故答案为：4(2021陕西安康市)已知点，P为椭圆上的动点，B是圆上的动点，则的最大值为_.【答案】2【解析】由椭圆，可得，设右焦点为，因为P为椭圆上的动点，B是圆上的动点，所以，当且仅当共线时取等号，故答案为：2.5(2021全国课时练习)已知是椭圆上的一点，、是椭圆的两个焦点，且，则的面积是_.【答案】【解析】在椭圆中，由椭圆的定义可得，在中，由余弦定理可得，解得，因此，.故答案为：.考向二 椭圆的标

7、准方程【例2-1】(2021全国单元测试)已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，3)和(0，3)，且椭圆经过点(0，4)，则该椭圆的标准方程是( )ABCD【答案】B【解析】椭圆的焦点在y轴上，可设它的标准方程为a4，又c3，b2a2c21697，故所求的椭圆的标准方程为故选：B【例2-2】(2021黑龙江大庆市)已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为( )ABCD【答案】D【解析】依题意程表示焦点在轴上的椭圆列不等式，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：D【举一反三】1(2021全国课时练习)经过点P(3，0)，Q(0，2)的椭圆的标准方程为( )ABCD【答案】A【解析】依题意

8、可知且椭圆焦点在轴上，故椭圆方程为.故选：A2(2020黑龙江哈尔滨市哈九中)若方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( )A(0，)B(0，2)C(1，)D(0，1)【答案】D【解析】因为方程，即 表示焦点在轴上的椭圆，所以 ，即 ，所以实数的取值范围是故选：D3(2021湖南岳阳市岳阳一中)椭圆的一个焦点是，那么( )ABCD【答案】B【解析】因为椭圆上的一个焦点为，在轴上，所以，所以则.故选：B4(2021浙江丽水市)“”是“曲线表示椭圆”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为曲线为椭圆，所以，解得且，所

9、以“”是“且”的必要而不充分条件.故选：B考向三 直线与椭圆的位置关系【例3】(2021全国课时练习)已知椭圆与直线有公共点，则实数 的取值范围是 _ .【答案】【解析】由，得因为直线与椭圆有公共点，所以，即，解得故答案为：【举一反三】1.若直线ykx1与椭圆eq f(x2,5)eq f(y2,m)1总有公共点，则m的取值范围是_【答案】1,5)(5，)【解析】方法一由于直线ykx1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则00且m5，m1且m5.2直线ykxk1与椭圆eq f(x2,9)eq f(y2,4)1的位置关系是_【答案】相交【解析】由于直线ykxk1k(x1)1过定点

10、(1，1)，而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交3(2021安徽省泗县第一中学)已知椭圆的长轴长是，焦点坐标分别是，.(1)求这个椭圆的标准方程；(2)如果直线与这个椭圆交于两不同的点，求m的取值范围.【解析】(1)由已知得，解得， 椭圆的标准方程为(2)由，解方程组并整理得，有两个不同的交点 解不等式得考向四 弦长【例4】(2020上海市进才中学高二月考)过椭圆的左焦点，斜率为的直线被椭圆截得的弦长为_【答案】【解析】设直线与椭圆相交的两个交点坐标为椭圆的左焦点为所以直线的方程为则所以所以该直线别椭圆所截的弦长为故答案为：【举一反三】1(2021全国课时练习)求过点(3，0)且斜率为的直

11、线被椭圆所截得的线段的长度【答案】【解析】过点(3，0)且斜率为的直线方程为，设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程代入椭圆方程得，即x23x80.x1x23，x1x28.2(2021安徽省泗县第一中学)已知椭圆的长轴长是，焦点坐标分别是，.(1)求这个椭圆的标准方程；(2)如果直线与这个椭圆交于两不同的点，若，求的值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由已知得，则又因为， 所以椭圆的标准方程(2)由消除得因为有两个不同的交点，所以得的取值范围为 由韦达定理得： ，所以解得考向五 离心率【例5】(2021全国课时练习)若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三

12、角形，则该椭圆的离心率为( )ABCD 【答案】A【解析】不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点依题意可知，BF1F2是正三角形在RtOBF2中，|OF2|c，|BF2|a，OF2B60，即椭圆的离心率.故选：A【举一反三】1(2021全国高三月考(文)已知点是椭圆上的一点，是椭圆的左、右焦点，若为等腰三角形，则该椭圆的离心率为( )ABC或D或【答案】D【解析】由为等腰三角形知：当，而，则，整理得，解得或(舍)，而，故，此时；当，而，则，整理得，解得或(舍)，而，故，此时；故选：D.2(2021浙江高三其他模拟)已知椭圆()的左、右焦点分别是，点在椭圆上，是坐标原点，则椭圆

13、的离心率是( )ABCD【答案】D【解析】根据以及，得，于是，所以，又，所以在中，由余弦定理，得，即，所以，因为，所以椭圆的离心率故选D3(2021江苏启东市)已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则该椭圆的离心率是( )ABCD【答案】A【解析】由题意可知：，即，所以所以离心率.故选：A强化练习1(2021江西高三其他模拟(文)如图，是椭圆上的一点，是椭圆的右焦点且，则( )A2BC3D4【答案】A【解析】由可得： 因为，所以点是线段的中点，设椭圆的右焦点为，则是的中点，所以，由椭圆的定义可知：，所以，故选：A.2(2021全国课时练习)已知椭圆的左焦点是F1，右焦点是F2，

14、点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|PF2|( )A35B34C53D43【答案】C【解析】由1可知，所以，所以F1(2，0)，F2(2，0)，线段PF1的中点M在y轴上，且原点为线段的中点，所以，所以轴，可设P(2，y)，把P(2，y)代入椭圆，得.|PF1|，|PF2|.故选：C3(2021上海市莘庄中学)平面内有两个定点和一动点，设命题甲：是定值，命题乙：点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若点的轨迹是以为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点到两定点的距离之和 ，且为常数)成立是定

15、值若动点到两定点的距离之和 ，且为常数)，当，此时的轨迹不是椭圆甲是乙的必要不充分条件故选：4(2021重庆)已知椭圆在第一象限上的一点与椭圆的左、右焦点、恰好构成顶角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为( )ABCD【答案】A【解析】因为点是椭圆上位于第一象限的点，所以，为锐角，因为是顶角为的等腰三角形，但，故，所以，由余弦定理可得，由椭圆定理可得，故.故选：A.5(2021江苏南通市)设，是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点满足，则的取值范围是( )ABCD【答案】C【解析】由题意可知，若焦点在轴上，则，椭圆上存在点满足，如图所示，则，即，所以，即，得；若焦点在轴上，则，则，即，所以，即，得；所以

16、的取值范围是.故选：C.6(2021江西高三其他模拟(文)若椭圆的一个焦点坐标为，则实数的值为( )A9B6C4D1【答案】C【解析】因为椭圆的焦点在轴上，所以，所以，所以，解得.故选：C7(2021福建龙岩市)已知椭圆的一个焦点为，则这个椭圆的方程是( )ABCD【答案】C【解析】解：椭圆的一个焦点为，椭圆方程为故选：8(2021江西赣州市)已知椭圆的右焦点为，则( )ABCD【答案】C【解析】因为右焦点为，故焦点在轴上且，故，故选：C.9(2021广西百色市)“”是“方程表示焦点在轴的椭圆”的( )A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意，方

17、程表示焦点在轴上的椭圆，则满足，解得；又由当则必有，但若则不一定有成立，所以“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的必要非充分条件故选：B10(2021河南郑州市)设、分别是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，点在椭圆上且满足，则的面积为( )ABCD【答案】D【解析】在椭圆中，则，所以，设点，则，可得，解得，因此，的面积为.故选：D.11(2021全国高三专题练习)已知，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是( )ABCD【答案】A【解析】由得：，点在以为直径端点的圆上，由此可得该圆的半径，即，.故选：A.12(2020江苏)若椭圆+=1(ab0)的焦距为2，且其离

18、心率为，则椭圆的方程为( )ABCD【答案】B【解析】由题意可知：，即，由椭圆的离心率，解得：， 椭圆的标准方程：故选：B13(2021全国课时练习)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是( )A BCD【答案】C【解析】依题意知，所求椭圆的焦点位于x轴上，且，因此椭圆的方程是.故选：C14(多选)(2021山东滨州市高三一模)已知椭圆的左、右焦点分别是，左、右顶点分别是，点是椭圆上异于，的任意一点，则下列说法正确的是( )AB直线与直线的斜率之积为C存在点满足D若的面积为，则点的横坐标为【答案】BD【解析】由题意，短轴一个顶点，A错；设，则，所以，B正确；因为

19、，所以，从而，而是椭圆上任一点时，当是短轴端点时最大，因此不存在点满足，C错；，则，D正确故选：BD15(多选)(2020武冈市第二中学)已知点在直线上，则圆锥曲线的离心率为( )ABCD【答案】AC【解析】在直线上，所以,即,解得或,当时，圆锥曲线,为中心在原点，焦点在轴上的椭圆，离心率,当时，圆锥曲线,为中心在原点，焦点在轴上的椭圆，,故选:AC.16(多选)(2021山东聊城市)已知五个数1，16成等比数列，则曲线的离心率可以是( )ABCD【答案】AC【解析】由题意，曲线方程为或，方程为时，离心率为，方程为，离心率为故选：AC17(2021陕西西安市高三月考(理)已知椭圆左、右焦点分别

20、为、，过且倾斜角为的直线与过的直线交于点，点在椭圆上，且则椭圆的离心率_【答案】【解析】如下图所示：由已知条件可知，在中，则，由椭圆的定义可得，即，.故答案为：.18(2021安徽芜湖市)已知F1，F2为椭圆的左右焦点，点P在椭圆C上，则_.【答案】【解析】由椭圆定义可得|PF1|PF2|4，利用余弦定理可得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60|F1F2|2，所以，解得3|PF1|PF2|4，即，故答案为：19(2021上海市西南位育中学)已知为椭圆上的点，、，是椭圆的两个焦点，且，则_【答案】【解析】由椭圆，可得、由条件可得由余弦定理可得 所以，即所以故答案为：20(20

21、21江苏南通市)已知椭圆的左、右焦点分别为、，点，若点P为椭圆C上的一个动点，则的最小值为_.【答案】1【解析】由已知得，因为，所以，所以，所以当三点共线时，最小，即.故答案为：1.21(2021广西百色市)已知椭圆的左右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于_【答案】【解析】设直线的倾斜角为，则，在直角三角形中，令，则由椭圆定义得椭圆的离心率 故答案为：22(2021内蒙古赤峰市高三期末(理)已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，且，则的面积为_【答案】【解析】由已知得，所以，由椭圆定义得，由余弦定理得，即，则的面积为.故答案为：.23(2021广东梅

22、州市)已知过点的椭圆C的焦点分别为，则椭圆C的标准方程是_.【答案】【解析】由题意，所以,所以椭圆方程为故答案为：24(2021安徽省临泉第一中学)椭圆的离心率等于_.【答案】【解析】由题意，所以，离心率为故答案为：25(2021湖南常德市一中高三月考)写一个离心率是椭圆的离心率4倍且焦点在轴上的双曲线标准方程：_.【答案】(答案不唯一)【解析】有椭圆方程可知，则，所以椭圆的离心率，则双曲线的离心率，则双曲线中，即，得，令，则，所以满足条件的一个双曲线方程是.故答案为：(答案不唯一)26(2020全国高三专题练习)过点的直线被圆截得的弦长为2，则直线的斜率为_【答案】【解析】根据题意，圆的标准方程为，其圆心为，半径，过点的直线被圆截得