常见的典型问题

1、常见的典型问题一、集合与常用逻辑用语集合元素的三个特性，尤其是互异性。集合的有关概念，如子集、真子集、相等。注意：对集合语言的理解和转换。集合的交、并、补运算；集合间的包含关系。注意：数形结合一一数轴、韦恩图的使用。充分条件与必要条件的判断。注意：互为逆否命题的使用(同真同假)全称命题、特称命题及三种符合命题的否定。注意：否定结论量词或连结词要转换。二、函数与导数如何求函数定义域？具体函数，如：f(x)=x -1抽象函数，如：已知f (x)的定义域为1,2,求f (x2 -1)的定义域。实际应用函数考虑自变量的实际意义。如x表示三角形边长，则x0.如何求函数解析式？待定系数法一一已知函数的类型

2、换元法：例如已知f (sinx) = cos2 x + 1，求f (x)解析式。构造方程组法：如已知f (x) - 2f (-x) = x2 +1 ,求f (x)；或已知-1、f (x) - 2 f ( ) = x 2 + x，求 f (x)。x函数单调性的定义及应用。(以单调增为例)定义：在函数y = f(x)的定义域内的一个区间 A上,如果对于任意两数气,x2 e A ,当x v x时，都有f (x ) V f (x )，那么函数f (x ) V f (x )，那么函数f (x)在区间A上121212是增加的。注意：单调性是函数某个区间上的局部性质。自变量气,x2取值的任意性。气,尤2位于

3、同一个单调区间。两个增量Z = y2 -七=f（x2）- f（气）ax= x2 -气定义的变形方式如（x2 -气）f （x2） - f （气） 0或f（x2）_ ”气） 021应用：求函数最值；解抽象不等式证明函数的单调性函数单调性的判断与证明1图像法定义法如f(x)= 2x()x3导数法证明方法一一定义法；导数法注意：熟记常用求导公式函数如何求最值一一常见类型与方法分式型函数求最值一、 sin x +1数形结合斜率，如f (x) =cos x 一 2_, . x + 2常量分离，如f (x) = -,x g 1,2x + 1一、x 2 + 1变量分离，如 f (x) =, x g 1,2x

4、+ 12 x +1判别式法，如f (x) =, x g Rx2 + 1 二次函数求最值，f (x) = ax2 + bx + c(a 0)为例例如：f (x) = x 2ax +1, x g 1,3或f (x) = x 2 2 x + L x g a 1, a + 2，求函数的最大值、最小值。注意：开口向上求最大值时讨论对称轴与区间端点的大小关系；开口向上求最大值时讨论对称轴与区间中点的大小关系一般地整式型函数求最值一一通常先利用导数研究单调情况，再求最值，突出导数的 应用注意：对参数的分类讨论。函数的图像一一如何研究、利用函数图像。函数的图像五个方面的特征特征点图像与坐标轴的交点、最值点、极

5、值点、对称中心、图像所过定点。特征线对称轴、渐近线。增减趋势正负值区间凹凸方向(决定增减快慢)函数图像的基本变换平移变换对称变换翻折变换函数图像对称的有关结论如 f (x + a) = f (a - x),关于 x = a对称f (x + 2a) + f (-x) = 2b,关于(a, b)对称注意：以上结论的常见变形方式几种基本初等函数及对勾函数的图像注意：指数函数、对数函数图像性质。二次函数方程根的分布问题如，已知x2 + 2ax +1 = 0在xG -1,-2内有两实数根。求a的取值范围。解法：“三看”一一判别式、对称轴、端点函数值分离常量、利用图像方程根的个数或函数零点个数问题一一图像

6、法解方程不等式恒成立、不等式有解、方程有解，求参数取值范围问题注意：转化为函数求最值，分离常量是常用技巧，如已知x2 -ax +1 0对Vx e 1,2恒成立，求a的取值范围。或已知x2 - ax +1 1如f (x) = 2 在R上单调增，求a的范围。ax +1, x 0, 0)的图像和性质。五点法作图：如y = 2sin(2x + )，x E ，兀,6求函数y = Asin(g +中)的最小周期、最值、对称中心、对称轴、单调区间、零点。三角函数的图像变换y = sinx y = Asin(m +中)，及逆变换过程给出函数y = A sin(皿+中)的一段图像，如何利用正弦曲线的固有性质，确

7、定函数解析式。利用三角函数公式进行三角函数化简、求值、恒等变形。注意：求解过程中，对角的范围要注意确定注意对角的分拆变形，有六种常用关系一一互余、互补、和、差、倍、半解三角形一一利用正弦、余弦定理及相应的三角公式，进行三角形的边、角转换， 从而通过已知的边和角求出未知的边和角，即为解三角形。注意：三角形的常见性质，如A+B+C=兀、a+bc等、兀锐角三角形的性质，如任意两角之和大于三角形的解不唯一时的情形解三角形的实际应用注意：仰角、俯角、张角、方向角的概念。周期函数的定义、判断及性质注意：周期函数的几种条件形式，如/*(x + a) = 一f (x)或/(x + a)等f (x)三角函数求最

8、值引入辅助角中，如求f （x）= v 3 sinx cosx +1的值域；化为 二 次 函 数，如f （x） = cos2 x + sinx +1 或f（x） = sinx + cosx sinxcosx,xg 0,兀.四、平面向量平面向量的有关概念及几何运算注意：三角形法则、平行四边形法则，以及几何运算过程中涉及到的特殊的几何图形性质， 如三角形内心、重心、外心、垂心的性质、平行四边形中矩形、菱形的性质等。平面向量基本定理及坐标、坐标运算注意：解决平面向量通常两条路子几何性质、几何运算单位正交基底、建系、坐标运算平面向量数量积及应用数量积的几何意义射影的问题应用一一求长度、求角度、证垂直五、

9、数列等差、等比数列的定义及常用性质等差数列的判断及证明利用a的函数特性利用Sn的函数特性定义法等差中项法注意：仅可以用来判断；还是两种证明手段，弄清两种方法的特征等比数列的证明：定义法；等比中项法注意：这两种证法的特性等差数列前n项和最大值、最小值ai 0,d 0,Sn有最大值；a 0, Sn有最小值；注意：该问题有两种处理办法求数列的最大项、最小项利用函数图象，如a = nn -一而n 场 通过比较任意相邻两项大小（作差或作商）35.求数列通项定义法叠加、叠乘法利用a与S的关系即已知前n项和S ,求a （注意：验证首项）nnnn 构造换元法。如a = 2a +1, a =1.(n 2)nn-

10、1n 递归迭代法；如a = la -1 +1, ai_i ;（n 2）36.数列求和分组求和法（利用公式）倒序相加法错位相减法（熟悉其条件特征，确保准确运算）裂项相消法(如an1n(n + 2)；an37,摆动数列问题2n -1, n为奇数2 n，n为偶数。或 a = (-1) n (2n +1)注意：解决摆动数列关键是要分n为奇数、偶数进行讨论。周期数列类似于周期函数研究数列的实际应用转化为等差数列或等比数列问题注意：分期付款模型六、不等式不等式的常用性质不等式的证明比较法构造函数法一元二次方程、二次函数及一元二次不等式、三个二次之间的关系一元二次不等式的恒成立直接转化为求二次函数最值常量分

11、离转化为其他函数求最值，避开分类讨论基本不等式及利用其求最值注意“一正二定三相等”线性规划问题七、立体几何熟悉常见几何体的三视图，能顺利还原实物图空间图形基本关系及四个公理注意：异面直线所成角定义及求法两条主线及判定定理、性质定理（1） 平行线线(2) 垂直线1线面注意：熟练记忆定理，以及平行与垂直间的横向联系，即平行与垂直的互推50.如何求几何体的体积 注意：立体几何解题的本质一一空间问题平面化，定义和性质定理是实现这一目标的工具 较复杂的几何体通常使用割补法 求体积关键是确定几何体的高，而高即是面的垂线问题求三棱锥的体积时可以换顶点，有时还需拓展扩大所在几何体的空间大小以方便求体积八、解析

12、几何直线方程的四种特殊形式一一点斜式、斜截式、两点式、截距式注意：每种形式成立时应满足的条件点斜式的变式方程：x-a=t(y-b)两直线平行、两直线垂直所满足的条件l : Ax + By + C = 0( A 2 + B 2 丰 0) TOC o 1-5 h z ii i ii 1: Ax + B y + C = 0( A 2 + B 2 丰 0) HYPERLINK l bookmark231 o Current Document 2222 I若 l 11 ,则 A A + B B = 0i 2 i 2 i 2若 1 /1 ,则 AB - A B = 0且 C B 丰 C Bi 2 i i

13、2 2i 22 i三个距离公式两点间距离点到直线距离两平行线间距离圆的方程标准方程：(x - a)2 + (y - b)2 = r2(r 0)一般方程：x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0(D2 + E2 - 4F 0)参数方程:x = a + r cos0 y = b + r sin 0(r 0,0为参数)0 e 0,2k 注意：可用来求最值，即三角代换55.位置关系 点和圆的位置关系 直线和圆的位置关系（如何判断）相切几何性质求切线方 相交-求弦长注意：圆心到直线距离是关键外切几何性质圆和圆的位置关系内切相交求公共弦直线内含56.圆锥曲线求圆锥曲线的标准方程待定系数法定义法 椭圆、抛物线、双曲线的定义及定义的使用注意：弄清标准方程形式椭圆的焦点三角形，如图抛物线的焦点弦性质双曲线的渐近线57,直线与圆锥曲线 圆锥曲线中的弦长问题一一弦长公式中点弦问题一一点差法圆锥曲线中的定点问题，定值问题 BB2总计A1a /ba+bAc /dc+d总计a+cb+da+b+c+d圆 锥 曲 线 中 的 最 值 问题九、其他三种抽样方法频率分布表、频率分布直方图、茎叶图用样本估计总体一一众数、中位数、平均数、极差、方差、标准差回归直线方程样本中心点（x, y ）独立性检验，2 x 2列联表63.64.65.66.古典概型的概率计算归纳推