本科优秀数学本科毕业论文

1、*大学2014 届本科毕业论文 论文题目： 行列式的计算及应用学生姓名：所在院系：数学科学学院所学专业：数学与应用数学 （金融方向）导师姓名：完成时间：* 年 * 月 * 日行列式的计算及应用摘要在高等代数这门课程里， 行列式是最基本而又重要的内容之一， 同时也是数学研究中的重要的 工具之一，在线性代数、 数学分析、解析几何等众多课程理论中以及实际问题中许也发挥着重要作 用，了解如何计算和应用行列式显得尤为重要。本文首先阐述行列式的基本理论， 在此研究的基础上介绍了降阶法， 归纳法， 化三角形法等几 种常见的且有一定技巧的解行列式的方法 , 并列举了相关的例子，更直观地了解解行列式方法的精 髓

2、。另外，本文又介绍了行列式在解析几何、 代数及其他课程当中的应用，进一步加深了对行列式 的理解。最后本文又列举实例阐述行列式在实际当中的应用，实现了行列式的理论与实际相结合。 研究行列式的计算方法及其应用可以提高对行列式的认识， 有利于把行列式的研究推向深入。 通过 这一系列的方法可以进一步提升对行列式的认识，为以后学习奠定了基础。 关键词： 行列式，因式分解，化三角形法 , 归纳法，加边法， Matlab 软件Determinant calculation and applicationAbstractThis course in advanced algebra, the determin

3、ant is one of the most basic and important content, while many math curriculum theory is one of the important research tools, linear algebra, mathematical analysis, analytic geometry, etc. as well as practical problems also plays an important role in understanding how to calculate and apply the dete

4、rminant is particularly important.This paper first describes the basic theory of determinants, based on this study describes the reduction method, induction techniques and a certain common determinant of several methods of solution method, the method of the triangle, and cited relevant examples, mor

5、e intuitive understanding of the essence of the solution determinant method. In addition, this paper describes the determinant in analytic geometry, algebra and other courses which further deepened the understanding of the determinants. Finally, they provide examples described determinant applicatio

6、n in practice to achieve a theoretical and practical determinant combined. Research determinant calculation method and its application can improve the understanding of the determinant, is conducive to deepen the study of determinants. You can further enhance the understanding of the determinants thr

7、ough this series of methods, laid the foundation for future learning.Keywords: determinants, factorization of a triangle, induction, plus side method, Matlab software 目录行列式的定义及性质 错 误! 未指定书签。行列式的定义 错 误! 未指定书签。排列 错 误! 未指定书签。定义 错 误! 未指定书签。行列式的相关性质 错误! 未指定书签。行列式的计算方法 错误! 未指定书签几种特殊行列式的结果 错误! 未指定书签。三角行列式

8、错 误! 未指定书签。对角行列式 错 误! 未指定书签。定义法 错 误! 未指定书签。利用行列式的性质计算 错误! 未指定书签。降阶法 错 误! 未指定书签。归纳法 错 误! 未指定书签。递推法 错 误! 未指定书签。拆项法 错 误! 未指定书签。用范德蒙德行列式计算 错误! 未指定书签。化三角形法 错 误! 未指定书签。加边法 错 误! 未指定书签。拉普拉斯定理的运用 错 误! 未指定书签。行列式计算的 Matlab 实验 错 误! 未指定书签。行列式的应用 错误! 未指定书签行列式应用在解析几何中 错 误! 未指定书签。用行列式表示的三角形面积 错 误! 未指定书签。应用行列式分解因式 错

9、 误! 未指定书签。利用行列式解代数不等式 错 误! 未指定书签。利用行列式来证明拉格朗日中值定理 错 误! 未指定书签。行列式在实际中的应用 错 误! 未指定书签。总结 错误! 未指定书签参考文献 错 误! 未指定书签附录 1 错 误! 未指定书签附录 2 错 误! 未指定书签附录 3 错 误! 未指定书签谢辞 错误! 未指定书签行列式的定义及性质行列式的定义排列 1在任意一个排列中， 若前面的数大于后面的数，则它们就叫做一个逆序，在 任意一个排列中，逆序的总数就叫做这个排列的逆序数 .定义 1n 阶行列式就相当于全部不同行、列的 n 个元素的乘积a1j1 a2j2 anjn（1-1-1）的

10、代数和，这里 j1j2 jn是1,2, ,n的一个排列，每一项（ 1-1-1 ）都按下列规则 带有符号：当 j1j2 j n是偶排列时，（ 1-1-1 ）是正值，当 j1j2 j n是奇排列时， （1-1-1 ）是负值 . 这一定义可以表述为2 a a1)12nna1 a2 a（1-1-2）我们也可以把这里 表示对所有 n级排列求和 . j1j 2 jn号，由于行列指标的地位是对称的， 所以为了决定每一项的符每一项按照列指标排起来，所以定义又可以表述为a11a21a12a22a1na2ni1i2( 1)in(i1ii)ai11ai2 2ainnan1an 2anna11a12a1na11a21

11、an1a21a22a2n, Da12a22an2an1an2anna1nan2ann记DD 的转置行列式 .2则行列式 D性质 1（ 1-1-3 ）行列式的相关性质叫做行列式即 D D.行列式和它的转置行列式是相等的 证明：记 D中的一般项 n个元素的乘积是应是它处于 D 的不同行和不同列，所以它也处于 D 的不同行和不同列，在 D中所以它也是 D中的一项 . 反之, D 的每一项也是 D的一项，即 D 和 D有相证明：kai1kai 2kainkai1Ai1kai 2Ai2kain Ainan1an2ann同的项.再由上面（ 1-2 ）和（ 1-3 ）可知这两项的符号也相同，所以 D D.a

12、11a12a1na11a12a1n性质 2kai1kai2kainkai1ai2ainan1an2annan1an2anna11a12a1n性质 3 如果行列式的某行 （列）的元素都为两个数之和 2 ，如D b1 c1 b2 c2bn cnan1an2ann ，那么行列式 D 就等于下列两个行列式的和： 可以参照性质 2 的证明得出结论 .性质 4 对换行列式中任意两行的位置，行列式值相反 . 即若设则 D1 D.证明：记 D 中的一般项中的 n个元素的乘积是它在 D 中处于不同行、不同列，因而在 D1中也处于不同行、不同的列，所 以它也是 D1的一项.反之， D1中的每一项也是 D中的一项，

13、所以 D和D1有相同 的项，且对应的项绝对值相同 .现在看该项的符号：它在 D 中的符号为由于 D1是由交换 D的i 、k 两行而得到的，所以行标的 n级排列 12 i k n 变为 n 级排列 12 i k n ，而列标的 n 级排列并没有发生变化 . 因此 D 和 D1 中 每一对相应的项绝对值相等，符号相反，即 D1 D.性质 5 如果行列式中任有两行元素完全相同，那么行列式为零 .证明：设该行列式为 D，交换 D相同的那两行，由性质 4 可得D D,故 D 0.性质 6 如若行列式中任有两行或者两列元素相互对应成比例，则行列式为 零.证明：设n阶行列式中第 i 行的各个元素为第 j 行

14、的对应元素的 k 倍，由性质 2，可以把 k提到行列式外，然后相乘 . 则剩下的行列式的第 i行与第 j 行两行相 同，再由性质 5，最后得到行列式为零 .性质 7 把任意一行的倍数加到另一行，行列式的值不改变 .a11 a12ai1ai 2ak1ak 2an1an2a1nainaknann行列式的计算方法几种特殊行列式的结果三角行列式a11a12a1n0a22a2n00anna1100a21a220an1an2ann对角行列式a11a22 ann （上三角行列式）a11a22 ann （下三角行列式）a11 00 a2200anna11a22ann .定义法a1b1a2b2a3b3a4b4a

15、5b5例 1 用定义法证明c1c20000d1d2000e1e2000证明：行列式的一般项可表成 中取不同的值，故 j3, j4 , j 5三个下标中至少有一个要取 3,4,5中的一个数，则任意 一项里至少有一个 0 为因子，故任一项必为零，即原行列式的值为零 . 2.3 利用行列式的性质计算例 2 一个n阶行列式 DnDn 叫做反对称行列式 ,证明：证明：由 aijaji知 aiia1j1a2j2a3 j3a4 j4a5 j5. 列标 j3,j4, j 5只能在1,2,3,4,5的元素都满足 aija ji ,i, j 1,2, ,n ， 那么0.aij奇数阶的反对称行列式的值等于，即 ai

16、i 0,i0aii所以行列式 Dn 可写为 Dn质 2 ， A A 得到Dna12a13a1na120a23a2n1,2,a13a230a3n,na1na2na3n，再由行列式的性0a12a13a1n0a12a13a1na120a23a2na120a23a2na13a230a3na13 a230a3na1na2na3n0a1na2na3n00a12a13a1na120a23a2n1)na13a230a3n( 1)nDn ，a1na2na3n0(DnDn 0.Dn ，因而得到当 n 为奇数时，得2.4 降阶法x0yx0 y0000例3 计算n(n 2)级行列式 d000 xyy000 x解：按第

17、一列展开得到xy000y0000 xy00n1 y ( 1)xy00000 xy00y00000 x(n 1) 阶00 xy原式x(n 1)阶xn ( 1)(n 1) yn(n 2) .归纳法 形如行列式 叫做 n阶范德蒙 ( Vandermonde)行列式 . 下面证明，对每一个 n(n 2)，n 阶范德蒙行列式就等于a1,a2, , an这n个数的所有可能的差 ai aj(1 j i n) 的乘积. 用数学归纳法证明范德蒙德行列式 我们对 n作归纳法 .11当 n 2 时，a2 a1，结果是对的 .a1 a2设对于 n 1级的范德蒙行列式，结论是成立的，先来看n级的情况 .在中，第 n行减

18、第 n 1行的 a1倍，第 n 1行减第 n 2行的 a1倍，即由下而上逐次地从每一行减它上一行的 a1 倍，得到111a2a3an(a2 a1 )( a3 a1) (an a1)2a22a32 ann2n2n2a2n 2a3n 2ann 2最后面这个行列式是 n 1级范德蒙德行列式， 再由归纳法假设， 它的值就是 ai aj(1 j i n) ；而所有带有 a1的差即为上式最后等式行列式的前面 .所以， 结论对 n级范德蒙德行列式也是成立的 . 由数学归纳法，证明了结论 .用连乘号，这个结果可以简写为1111a1a2a3anDn2a12a22a32 an(ai aj ).1jin( 2-5-

19、1 )n1n1n1n1a1a2a3an2.6 递推法给定一个递推关系式，再给定某一个较低阶初始行列式的值，就可递推求得所给 n 阶行列式的值，运用这种方法计算的方法就叫做递推法。1111a1a2a3an一个典型的例子是范德蒙德行列式. Dn2a122a22a322an2n1a1n 1n1a2n 1n1a3n 1n1ann 1分析：如果第一行全是 1 把第一行变出一排 0 其他位置将会变得不好掌握， 所以通过把第一列变出一排 0 来降阶；并且，为了使降阶后的行列式仍然具有原 来的形式，不能用第一行的若干倍加到其他各行的办法，而用逐行变零的方法 .解：同上题，第 n行减第 n 1行的 a1倍，第

20、n 1行减第 n 2行的 a1倍，即由下而上逐次地从每一行减它上一行的 a1 倍，有11110a2a1a3 a1ana1原式02a2a1a22a3 a1a32 ana1an0n1n2n 1 n 2n1n2a2a1a2a3a1a3ana1an(a2a1)(a3 a1)(ana1)Dn 1.其中行列式 Dn 1仍然是同样形式的但阶数少 1的范德蒙德行列式， 所以可以 按同样的办法反复降阶 . 从上面的计算知道，这样的办法做一次，出现的因式是 第一列后面的每列的字母 a j减去第一列的字母的差之积 . 因此得(a2a1)(a3a1)(ana1)(a3a2)(a4a2)(ana2)(anan 1)所以

21、阶范德蒙德行列式为 Dn(ai a j).1jin拆项法 把给定的行列式的某一行或者某一列的元素表述为两数之和的形式， 再根据 行列式的性质把原行列式表示为两行列式的和的方法叫做拆项法. 把一个繁琐的行列式化简为两个简单的行列式，把问题简单化以便于计算 .a1a2an1a2an解： Dna1a2 2an+0a2 2ana1a2ann0a2anna1a2an化简020+ 1Dn 100na1n12a2ann(1n aii 1 i例 4 计算行列式 Da1a1a2a2 2anan用范德蒙德行列式计算例 5 计算 Dn1223212n3n解： Dn 中的各行元素都各自是一个数不同的方幂，方幂的次数从

22、左到右依 次递升，次数由 1 递升至 n .提取出每一行的公因数，那么方幂的次数就由 0 增 至 n 1 ，得到上等式右端的行列式是 n 阶范德蒙德行列式，由（ 2-5-1 ）公式得n!(n 1)!(n 2)! 2!1!下）三角形或者对角形或者阶梯形行列式计算的化三角形法 把原有的行列式简化为上 方法叫做化三角形法。例6x1 mx1x2x2 mx1解：将第 2、x23、xnmn 列的元素都加到第一列上，提出公因式，得nDn (a1d1 b1c1)D n 1原式=i1ni1nxii1m)x2xnm)x2 mxnm)x2xnxixin( xi m)( m)n 1 i1加边法 加边法是把原来的行列式

23、加上一行， 一列然后再利用性质简化进行计算的方 法。它的一般做法是：an 1 或 b1 b2bn 1.特殊情况取 a1 a2 让我们以例 6 为例把第2列，第 3列，第 n1列加到第一列 (m)nnxii1m00 x1m10 x2m01xnm00( m)n(1xmi )i1m1)个行. 那么行列式 D k 级子式和它们的代数余子式的乘积的和 .2.11 拉普拉斯定理的运用 拉普拉斯定理： 设任意取定行列式 D 中的 k(1 k 就等于这 k 行元素所构成的所有b1例7 计算2n阶行列式 Dnan bncn dnc1d1解：由拉普拉斯展开定理，按照第1 行和第 2n 列展开得2(n 1)阶的行列

24、式 Dn 1也按同样方法展开，得Dn (a1d1 b1c1)(a2d2 b2c2 )Dn 2依次类推，得nDn(aidi bici) .i12.12 行列式计算的 Matlab 实验 除了上述几种常规方法， 还可以借助一些数学软件进行计算， 它不仅简便易 操作，而且计算效率高。求解方阵 A 的行列式时可调用 det(A) .135例 8 求矩阵 A 2 4 2 的行列式. 639用 Matlab 编程 A=1 3 5;2 4 2;6 3 9 det(A)运行后得到结果为 -78.( 见附录 1)例 9 解方程组用 Matlab 编程 A=1 1 1 1;1 2 -1 4;2 -3 -1 -5;

25、3 1 2 11 b=4 6 -7 17 x=inv(A)*bx11运行后得到结果为x21(见附录 2)x31x41Matlab 可以进行符号运算，首先应对数学式将用到的符号用语句 syms 定 义.ab例 10 求行列式 a b 的值 .cd用 Matlab 编程 syms a b c d A=a b;c d det(A)运行后得到结果为 a*d - b*c. (见附录 3)行列式的应用行列式应用在解析几何中根据齐次线性方程组有非零解的充要条件这一重要结论， 在中学解析几何中 直线方程、圆锥曲线方程中可以给出行列式的形式 .例 11 求解过点 1, 4 233743 ，而且焦点在 x 轴上的

26、椭圆方程 .2解：设所求的椭圆方程为2x2a2 y b21，如果点 x1,y1 和 x2,y2 在椭圆上，11把它看成是关于 12 , 12 , 和 1的齐次线性方程组，由于它有非零解，故椭圆 ab方程可写为2x2 x12 x22y2y12y20，代值得0，2y329910.2 y463162x32991 632y163162x113299解得用行列式表示的三角形面积例 12 在一个平面内以三点 P( x1, y1 ), Q(x2,y2), R(x3,y3)为顶点的 PQR的面积 S，是 12的绝对值 .x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1证明：把平面中 P(x1,y1), Q(x2,y

27、2), R(x3, y3 )为三点扩充到三维空间里 , 设 它的坐标分别为 (x1, y1,k),(x2,y2,k),(x3, y3,k), k是任意的常数 . 则：(x3 x1,y3 y1,0)PQ (x2 x1, y2 y1 ,0) , PRPQR 面积为=12 PQ PRx2 x1 y2 y1 x3 x1 y3 y13.3 应用行列式分解因式 利用行列式分解因式主要在于构造， 取公因式.例 13 解因式 x3 x2解： x3 x2 x 2x21再根据行列式的性质来计算， 以便于提(x(x2)(xx 2.x2(x 1) (x2)( 把第一列加到第二列 )2)(xx21)1)提取公因式)3.

28、4 利用行列式解代数不等式333例 14 求证不等式 a b c abc ，其中 a,b,c R .3证明：要证明333abc3abc ，只需证明 a3 b3 c3 3abc 0;333 abc3abc( 把第二行、第三行各自加到第一行 )因为 a,b,c R ，所以 a3b3333c3 3abc 0，故 a b3 cabc得证.利用行列式来证明拉格朗日中值定理 7证明拉格朗日中值定理时，一般要构建一个辅导函数，让它满足罗尔定理， 于是一般要构建一个辅导函数，让它满足定理中的条件，从而得到结论 . 下面给 出证明.拉格朗日中值定理设函数 f 满足条件(1) f 在闭区间 a,b 上连续，(2)

29、 f 在开区间 (a, b)上可导，则在 (a,b)内至少存在有一点 ，使得 ： 构建行列式型的辅助函数来证明a f(a) 1证明：设 (x) b f(b) 1x f(x) 1(x) 在 a,b 上是连续因 f(x) 在 a,b 上是连续的，在 (a,b) 内是可导的，故的，在 (a,b) 内是可导的，且 (a)(b) 0 ，故由罗尔定理得，至少存在有点 (a,b) ，使得af (a)1af(a) 1()bf (b)1=baf (b) f (a) 11f ( )01f(x) 10f ( )f (b) f (a) ba所以行列式在实际中的应用行列式在许多工程上的问题上，特别是在电子工程和控制论，

30、 能用拉普拉斯变换进行分析， 在经济管理和工业生产中也有着很普遍的应用， 可以根据行列式 的性质来解决一部分工程中的现实的问题 .例 15 现有三块草地人工饲养羊，草地的草是一样密集，生长速度也一样 . 这三块草地的面积分别为 3 1亩、10亩和 24亩，第一块草地饲养 12只羊可维持 34 周；第二块草地饲养 21 只羊可支撑 9 周，问在第三块草地上应豢养几只羊恰 巧能支撑 18 周？解： 设每亩草地有草 x kg，每周每亩生长新草 y kg，第三片牧场可饲养 z 只 羊，每只羊每周吃草 a kg，由题意，得即可以得到，这是以 x,y,a 为未知数的齐次线性方程组，由于它有非零解，故 它的

31、系数行列式10 40 -144D 10 90 -189 04 72 -3z ，展开后得 z 36 ，即可以在第三块草地饲养 36 只羊维持 18 周.总结行列式从线性方程组的问题引出来，成为线性代数中一个最基本的工具. 在高深的高等数学领域里和现实生活里的实际问题当中， 都有着直接或者间接的联 系.行列式一般有很多种计算方法， 综合性要求也很高，比较灵活，这就要求我 们平时在学习当中多练习多总结 . 一般常用来计算行列式的方法主要有降阶法， 归纳法， 化三角形法， 范德蒙德行列式等 . 本文先从行列式的定义以及性质出发， 介绍了求解行列式比较基本的方法 . 随后又介绍了几种比较常见的有技巧的方 法，如加边法、降阶法、化三角形法等，加深了对行列式的研究. 最后还列举了用数学软件 Matlab 求解行列式的方法，给求行列式带来了极大的方便 .行列式在数学科学领域中有着普遍的应用，本文介绍了行列式在解析几何、 代数及其他课程中的应用 . 通过这一系列应用进一步提高对行列式的认识