电路分析基础：第10章 含有耦合电感的电路

1、第10章 含有耦合电感的电路10.1互感10.3耦合电感的功率含有耦合电感电路的计算10.210.4变压器原理理想变压器10.5目录耦合电感工程应用实例概念功率问题分析计算方法10.1互感1. 互感载流线圈之间通过彼此磁场互相联系称磁耦合线圈1中通入电流i1,在线圈1中产生磁通11与自身线圈交链产生磁通链 11 (N111),称为自感磁通链;同时有部分磁通穿过临近线圈2与其交链产生的磁通链 21 21 11N1N2i1L1L2同理，若在线圈2中通电 流i2 时，不仅在线圈2中产生磁通链 22，同时有部分磁通穿过线圈1产生磁通链 12 ， 21和 12称为互感磁通链 12 22N1N2i2当周围

2、空间是各向同性的线性磁介质时，每一种磁通链与产生它的施感电流成正比即有自感磁通链: 互感磁通链: L1 、L2为自感系数，单位：亨(H)M12、 M21为互感系数，单位：亨(H)当两个线圈同时有施感电流时，每一线圈的磁链为自磁链与互磁链的代数和： 注:磁通链双下标：第一个下标表示的是磁通链所在线圈的编号，第二个下标表示产生该磁通链的施感电流所在线圈的下标 M值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与线圈中的电流无关，满足M12=M21=M若线圈u、i参考方向关联，自感系数 L前系数 总为正值，互感系数 M 前系数有正有负说明正值表示互感磁链与自感磁链方向一致，互感起增助作用(同向耦合)负值表示

3、互感磁链与自感磁链方向相反，互感起削弱作用(反向耦合) 2.互感线圈的同名端通过两个线圈的绕向、位置和施感电流的参考方向，用右手螺旋法则，就可以判定互感是“增助”还是“削弱” 分析电路不便(实际有些互感线圈是封闭的,看不出绕向)；在电路图中也无法反映绕向。为解决这个问题引入同名端概念N1N2i1L1L2i2 1 1 2 2同名端的定义当一对施感电流(i1, i2)分别通入互感线圈，使之产生的磁通相互加强时(同向耦合)，则这对电流的2个流入端(或流出端) 称为两互感线圈的同名端。反之，使之产生的磁通相互削弱时(反向耦合)，则称为异名端。N1N2i1L1L2i2 1 1 2 2同名端一般用 “”

4、或 “*”或“”等标记。无标记的另一对端点也是同名端。L1L2+-+-u1u2i1i21122M可用带有互感M和同名端标记的电感元件(L1 、L2)表示耦合电感元件(四端子二端口元件)N1N2i1L1L2i2 1 1 2 2有了同名端以及u,i参向,就可知两个互感线圈,电流参向从哪一对端子流入,可同向耦合(互相增助磁场)。*112211N1N233N3i1当有两个以上的电感彼此之间存在耦合时，同名端应两两确定加以标记。i2i3每一对采用不同的符号若每一电感都有电流时，则每一电感中的磁通链将等于自感磁通链与所有互感磁通链的代数和L1L2L3MM*M例10-1 :图示电路，i1=1A(直流)，i2

5、=5cos(10t)A，L1=2H，L2=3H，M=1H，求耦合电感的磁通链。i1*L1L2+_u1+_u2i2M11 = L1i1 =2Wb 22 = L2i2 =15cos(10t) Wb21 = Mi1 =1Wb12 = Mi2 = 5cos(10t) Wb1 = L1i1+ Mi2 =2+ 5cos(10t) Wb2 = Mi1+ L2i2 =1+ 15cos(10t) Wb各磁通链为:施感电流都从标记同名端流进线圈,是同向耦合,各线圈的总磁通链:耦合电感实际处于反向耦合,会出现1 11 3. 耦合电感上的电压、电流关系自感电压互感电压当i1为时变电流时,磁通也将随时间变化，从而在线圈

6、两端产生感应电压。当i1、u11、u21方向与 符合右手螺旋时，根据电磁感应定律和楞次定律： 21+u11+u21i111N1N2当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压i1*L1L2+_u1+_u2i2M同名端与互感电压的参考极性若i1从L1的同名端流入，则i1在L2中引起的互感电压参考 “+”极在L2的同名端。同样，若i2从L2的同名端流入，则i2在L1中引起的互感电压参考 “+”极在L1的同名端。约定互感电压”+”设定规则:施感电流入端与其在另一线圈产生的互感电压”+”极性端为一对同名端耦合电感同向耦合(施感电流都从同名端流进线圈)，互感电压与自感电压同号，反

7、向耦合时与自感电压异号由同名端及u、i参考方向确定互感线圈的VCR方程i1*L1L2+_u1+_u2i2Mi1*L1L2+_u1+_u2i2Mi1*L1L2+_u1+_u2i2Mi1*L1L2+_u1+_u2i2M同向耦合反向耦合同向耦合同向耦合例10-2:i1=1A(直流)，i2=5cos(10t)，L1=2H，L2=3H，M=1H，求两耦合线圈的端电压u1 和u2 。i1*L1L2+_u1+_u2i2M同向耦合同名端判别方法若能看出绕向，则根据线圈电流和磁通方向判定:两个线圈分别施加电流i1、i2，若产生的磁通方向 相同(磁场相互增助),则i1、i2的流入端为同名端*112233*1122

8、ii+V1122*当闭合开关S时，i 增加*RS+-i实验测定法：当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将会引起另一线圈相应同名端的电位升高。设1、 2是同名端S闭合瞬间，若电压表正偏，则假设正确否则说明1、 2是同名端结论耦合线圈的同名端只与两线圈的绕向及两线圈的相互位置有关，与线圈中的电流参考方向如何假设无关当两施感电流均从同名端流入(或流出)，两线圈中磁通互相增助，两线圈上自感电压和互感电压方向一致4. 耦合系数耦合电感的磁通链不仅与施感电流相关，还与线圈耦合的紧疏程度相关，通过耦合电感的互感磁通链与自感磁通链的比值来衡量工程上取上述两比值的几何平均值，定义为耦合因数k，表示两个线

9、圈磁耦合的紧疏程度。耦合系数k与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关11221122紧耦合（k1） (k=1全耦合)疏耦合（ k0 ） (k=0无耦合)轴线重合轴线垂直 一般情况下，一个线圈中的电流所产生的磁通只有一部分与邻近线圈交链，另一部分称为漏磁通。 漏磁通越少，互感线圈之间的耦合程度越紧密,耦合系数k越大，漏磁通为0，全耦合,此时k=11122L1L2i1F21漏磁通F1sF11 =F21+F1s证明:全耦合: F11= F21，F22 =F1210.2含有耦合电感电路的计算含有耦合电感（简称互感）电路的计算：在正弦稳态情况下，有互感电路的计算仍可用相量分析法注意列KVL方程时，互

10、感线圈上的电压除自感电压外，还应包含互感电压。由于耦合电感支路电压不仅与本支路电流有关，还与其他某些支路电流有关，若列结点电压方程需另行处理。1. 耦合电感的串联同向串联iM*u2+R1R2L1L2u1+u+iRLu+耦合电感的串联电路，互感起“增助”作用 (同向耦合)称为同向串联 无互感(去耦)等效电路L1+M+-ui+-u2L2+MR1u1+-R2反向串联iM*u2+R1R2L1L2u1+u+iRLu+互感起“削弱”作用 (反向耦合)注意互感不大于两个自感的算术平均值，整个电路仍呈感性L1-M+-ui+-u2L2-MR1u1+-R2根据上述讨论可得出测量互感系数的方法：把两线圈顺接一次，反

11、接一次，就可以测出互感互感的测量方法在正弦稳态情况下，可用相量形式表示：同向串联去耦等效电路反向串联去耦等效电路jwL1+-+-jwMR1R2+- .I .U .U1 .U2jwL2jw(L1+M)+-+-R1R2+- .U .U1 .U2 .Ijw(L2+M)jwL1+-+-jwMR1R2+- .I .U .U1 .U2jwL2jw(L1-M)+-+-R1R2+- .U .U1 .U2 .Ijw(L2-M)i*u2+MR1R2L1L2u1+u+耦合因数k为：例10-3:正弦电压的U=50V，R1=3，L1=7.5, R2=5，L2=12.5，M=8。求该耦合电感的耦合因数和该电路各支路吸收的

12、复功率。由于反向串联，各支路阻抗分别为：输入阻抗：i*u2+MR1R2L1L2u1+u+例10-3:正弦电压的U=50V，R1=3 ，L1=7.5 , R2=5 ，L2=12.5 , M=8 。求该耦合电感的耦合因数和该电路各支路吸收的复功率。各支路吸收的复功率:电源发出复功率:同侧并联2. 耦合电感的并联耦合电感的同名端连接在同一个结点上，称为同侧并联 *+R1R2jL1jL2jM*+R1R2jL1jL2jM+R1R2j(L1-M) j(L2-M)jLMLM = ML1L1 ML2L2 M去耦等效电路 异侧并联耦合电感的异名端连接在同一个结点上，故称为异侧并联 *+R1R2jL1jL2jML

13、M = ML1L1 ML2L2 M*+R1R2jL1jL2jM去耦等效电路+R1R2j(L1+M) j(L2+M)jLM*+R1R2jL1jL2jM例10-4:正弦电压的U=50V，R1=3，L1=7.5, R2=5，L2=12.5, M=8。求电路的输入阻抗及支路1、2的电流。同侧并联：+R1R2j(L1 -M) jLMj(L2 -M) 输入阻抗：+R1R2j(L1 -M) jLMj(L2 -M) 3.耦合电感的T型连接若耦合电感的2条支路各有一端与第三条支路形成一个仅含三条支路的共同结点,称为耦合电感的T型联接 同名端为共端的T型去耦等效*jL1123jL2jM12j(L1-M)j(L2-

14、M)jM3异名端为共端的T型去耦等效*jL1123jL2jM12j(L1+M)j(L2+M)-jM3含有互感电路的去耦等效电路：并联(包括T型联接 )：如果耦合电感的2条支路各有一端与第3支路形成一个仅含3条支路的共同结点，则可以用3条无耦合的电感支路等效替代，3条支路的等效电感分别为：小结串联： 同向串联各耦合电感等效为:L1 + M， L2 + M反向串联各耦合电感等效为: L1 M ， L2 - ML = L1 + L2 2M同侧并联 异侧并联LM= M LM = ML1 L1 M L1 L1M L2 L2M L2 L2M同侧取”+”异侧取”-”M前符号与LM相反Lab=6HM=4H6H

15、2H3H5HabM=1H4H3H2H1Hab3H例4. 受控源等效电路用CCVS表示互感电压*Mi2i1L1L2u1+u2+jL1jL2+在正弦交流电路中，其相量形式的方程为列写电路的回路电流方程。213MuS+CL1L2R1R2*+ki1i1例+L1+ ML2 + MR1R2+- M例10-5:正弦电压的US=12V，L1= L2 = 10 , R1=R2=6 ，M=5 。求ZL最佳匹配时获得功率PjwL2jwL1jwM+- .US .I1R2R1a11ZL .Ijw(L1-M)+- .US .I1R2R1a11jw(L2-M)jwMZL .I同名端为共端的T型连接(广义同侧并联),去耦等效

16、电路为:III列网孔电流方程用一步法求解戴维南等效电路，在端口1-1用电流源 替代ZLjw(L1-M)+- .US .I1R2R1a11jw(L2-M)jwMZL .I解得：US=12V，L1= L2 = 10 , R1=R2=6 ，M=5 共轭匹配获得Pmax求图示电路的开路电压。M12+_+_*M23M31L1L2L3R1例作出去耦等效电路，(一对一对消):M12*M23M31L1L2L3*M23M31L1M12L2M12L3+M12同名端共端T型连接M31L1M12 +M23L2M12 M23L3+M12 M23L1M12 +M23 M31 L2M12M23 +M13 L3+M12M23

17、 M31 *M23M31L1M12L2M12L3+M12同名端共端T型连接同名端共端T型连接L1M12 +M23 M31 L2M12M23 +M31L3+M12M23 M13 +_+_R1习题10-1、 10-2、 10-4、 10-5、 10-6、 10-7变压器是电工、电子技术中常用的电气设备。10.4变压器原理由两个具有互感的线圈构成，一个线圈接向电源，另一线圈接向负载，变压器是利用互感来实现从一个电路向另一个电路传输能量或信号的器件。变压器线圈的芯子为非铁磁材料时，称空心变压器变压器线圈的芯子是铁磁材料时，称铁芯变压器调压器整流器牵引电磁铁电流互感器中周线圈(中频变压器)、振荡线圈10

18、kVA300kVA的大功率单相、三相电源变压器。焊接设备使用的主变压器、控制变压器。1.变压器电路实际变压器由绕在一个共同心子上的两个(或更多的)耦合线圈组成。电路模型一个线圈作为输入端口，接入电源形成一个回路,称一次回路(或一次侧、原边回路、初级回路)另一线圈作为输出端口，接入负载形成一个回路,称二次回路(或二次侧、副边回路、次级回路)jwL2jwL1R1 .I1 .I2-+11 .U122R2ZL+- .U2jwM2. 分析方法方程法分析令Z11=R1+jL1:称为一次回路阻抗正弦稳态情况下，电路回路方程为：Z22=R2+jL2+Z:称为二次回路阻抗ZM=jM:为互感抗jwL2jwL1R1

19、 .I1 .I2-+11 .U122R2ZL+- .U2jwM等效电路法分析根据上式得一次侧等效电路：jwL2jwL1R1 .I1 .I2-+11 .U122R2ZL+- .U2jwMZ11 .I1-+11 .U1(wM)2Y22 一次侧输入阻抗(wM)2Y22。引入阻抗是二次回路阻抗和互感抗通过互感反映到一次侧的等效阻抗,所以又称反映阻抗Z11=R1+jL1Z22=R2+jL2+ZLZM=jM反映阻抗的性质与Z22相反感性变容性，容性变感性引入电阻。恒为正,表示二次侧回路吸收的功率是靠一次侧供给的。引入电抗。负号反映了引入电抗与二次侧电抗的性质相反。Z11 .I1-+11 .U1(wM)2Y

20、22 实部虚部从一次侧等效电路看出，变压器输入端口的工作状态隐含了二次(输出)端口的工作状态。jwL2jwL1R1 .I1 .I2-+11 .U122R2ZL+- .U2jwMZ11 .I1-+11 .U1(wM)2Y22 也可以用二次等效电路研究一、二次侧的关系jwL2jwL1R1 .I1 .I2-+11 .U122R2ZL+- .U2jwMZeq .I2-+22 . UOCZL -+ . U2分子:分母：等效电路的回路阻抗二次侧开路时，一次侧电流在二次侧产生的互感电压。一次回路反应到二次回路的引入阻抗二次线圈阻抗戴维宁等效电路*Mi2i1L1L2u1+u2+(L1M)M(L2M)*Mi2i

21、1L1L2u1+u2+去耦等效分析法 对含互感的电路进行去耦等效，再进行分析。-+ .U1M+- .U2L1L2 .I1 .I2ZL例10-8: L1=5H，L2=3.2H，M=4H,u1=100cos(10t)V,负载阻抗ZL=10W，求耦合因数k和一、二次电流i1、i2耦合因数k为：全耦合Zeq .I2-+22jwMY11 . U1ZL -+ . U2二次戴维南等效电路i2= -8cos(10t)Ai1= 6.7cos(10t-17.35o)AR1=R2=0代入一次回路方程：解得：方法1:等效电路分析法例10-8: L1=5H，L2=3.2H，M=4H ,u1=100cos(10t)V,负

22、载阻抗ZL=10W求耦合因数k和一、二次电流i1、i2方程中：Z11=jwL1= j50WZ22=jwL2+ZL=10+j32W ZM=jwM = j40W 方法2:方程分析法-+ .U1M+- .U2L1L2 .I1 .I2ZL*问ZL为何值时其上获得最大功率，求最大功率判定互感线圈的同名端例uS(t)ZL100 CL1L2M1122jL1 R + MZL*jL2 1/jC 作去耦等效电路+ ZLj100j20j20100j(L1-20)+ ZLj100100j(L1-20)jL1 R + MZL*jL2 1/jC 同名端为共端的T型连接uoc+ j100100j(L1-20)j100100

23、j(L-20)Zeq要使 i=0，问电源的角频率为多少？ZRCL1L2MiuS+L1 L2C R + MZ*例同名端共端T型连接L1M L2MMC R + Z0*1.理想变压器的三个理想化条件理想变压器是实际变压器的理想化模型，是对互感元件的理想科学抽象，是极限情况下的耦合电感。全耦合无损耗线圈导线无电阻，做芯子的铁磁材料的磁导率无限大。参数无限大10.5理想变压器以上三个条件在工程实际中不可能满足,但在一些实际工程概算中,在误差允许的范围内,把实际变压器当理想变压器对待,可使计算过程简化。2.理想变压器的主要性能变压关系*+_u1+_u2i1L1L2i2M磁通链方程求导得电压电流方程全耦合无漏磁通i1122N1N2理想变压器模型*n:1+_u1+_u2i1i2理想变压器变压关系与两线圈中电流参向假设无关,但与电压极性的设置有关: u1、u2的“+”极性均设在标记的同名端,若设在异名端 ,电压比为-nu2 =0时，必有u1 =0 所以u1当为独立电压源时，二次侧不能短路说明电压与匝数成正比变比变流关系考虑理想化条件：0电流与匝数成反比理想变压器变流关系与两线圈中电压极性假设无关,但与电流参向的设置有关: i1、i2的均从同名端同时流入(或流出),若设在异名端 ,电流比为1/ni2 =0时，必有i1 =0 所以i1当为独立电流源时，二次侧不