第二十一章--原子的量子理论92z课件

1、16-6 不确定关系16-5 实物粒子的波动性16-4 玻尔的氢原子理论16-3 原子模型 原子光谱16-8 一维定态问题16-7 粒子的波函数 薛定谔方程引言：经典物理中要将光看成是电磁波，而光与原子的相互作用中却要将光看成一颗颗微粒-这两种图象很难想像能将它们统一起来。 但是量子力学却将它们统一了起来，并且大大地扩充了人们的眼界，量子力学的发展分为两个阶段。1、旧量子力学时代1913年物理学家玻尔（NBohr）根据卢瑟福（Rutherford）原子模型及氢原子光谱提出了氢原子理论，初步奠定了原子物理基础。2、新量子力学时代 1924年德布罗意提出了波粒二象性，尔后由德国的薛定谔与海森伯等建

2、立了量子力学。 让我们顺着历史的车轮，来领略一下量子力学的风光，欣赏近代物理学上的另一朵鲜花吧！ 量子物理起源于对原子物理的研究，人们从原子光谱中获得原子内部信息。 1927年，量子力学开始应用于固体物理，并导致了半导体、激光、超导研究的发展，此后由此又导致了半导体集成电路、电子、通信、电子计算机的发展，使人类进入信息时代.。一. 原子光谱的实验规律气体光谱实验发光装置几种气体的原子光谱氢氦钠蒸汽氖 按照经典电磁理论，电子绕核加速运动过程中将发射频率连续变化的电磁波，应产生连续光谱，但实验所得原子光谱是线状光谱。16-3 原子模型 原子光谱原子光谱的频率是分立的、不连续的，是线状分立谱。氢原子

3、光谱的特征HHHH6562.34861.34340.54101.7 十九世纪后半叶，很多科学家都在寻找谱线的规律，1885年瑞士中学教师巴尔末发现了氢原子光谱在可见光部分的规律，即二. 氢原子光谱的规律里德伯常量十九世纪后半叶,很多科学家都在寻找谱线的规律,1885年巴尔末(瑞士一中学教师)发现了氢原子光谱在可见光部分的规律,即HHHH后来发现氢原子的所有光谱线的波长可表示为 相同的谱线组成一谱线系正整数（氢原子光谱规律）里德伯公式1、赖曼系（紫外光部分）2、巴尔末系(可见光部分）氢原子的光谱系3、帕邢系（红外光部分）4、布喇开系（红外光部分）5、普丰德系（红外光部分）汤姆孙测定电子荷质比的阴

4、极射线管三、原子模型1897年汤姆孙发现电子1903年，汤姆孙提出的原子模型电子均匀分布的带正电物质电子在球内作简谐振动 粒子实验存在大角散射 汤姆孙的原子模型与 粒子散射实验相矛盾。1911年卢瑟福提出的原子的核模型电子原子核 卢瑟福的 粒子散射实验不仅对原子物理的发展起了很大作用，而且这种研究方法对近代物理一直起着巨大影响，还为材料分析提供了一种手段。 原子核模型与经典电磁理论有矛盾，如果原子核模型正确则经典电磁理论不能解释： （1）原子的不稳定性； （2）原子光谱的分离性。 实验表明经典电磁理论已不适用于原子内部的运动，必须建立适用于原子内部微观过程的理论。 1911年卢瑟福在散射实验的

5、基础上提出了原子核模型，根据原子核模型，可以很好地解释大角散射。必须建立适用于原子内部微观过程的新理论！ 1911年卢瑟福在散射实验的基础上提出了原子的有核模型(行星模型-电子绕原子核（10-12m）高速旋转)，根据他的原子核模型，可以很好地解释大角散射。 四、经典理论的困难原子核模型与经典电磁理论有矛盾，如果原子的核模型正确，则经典电磁理论不能解释：（1）原子的稳定性（稳定与不稳定的矛盾）（2）原子光谱的分离性（连续与不连续的矛盾）由经典物理理论势必得出如下结论：1）原子是”短命“的电子绕核运动是加速运动必向外辐射能量，电子轨道半径越来越小，直到掉到原子核与正电荷中和，这个过程时间m二.玻尔

6、氢原子理论玻尔理论计算的氢原子稳定状态由牛顿第二定律得+rnMmMm结论：电子轨道是量子化的。量子数为n的轨道半径注意：n=1的轨道r1称为第一玻尔半径。 电子的轨道半径是量子化的，只能取离散的不连续的值.正常情况下电子处于 n=1 的轨道上。2.电子在半径为 rn 的圆轨道上的速度3.定态能量是量子化的氢原子的能量为电子动能为，势能n=2、3、4结论：能量是量子化 的。注意：氢原子能量只能取离散的不连续值，这些不连续的能量称为能级。能级图基态激发态能级图基态激发态基态 量子数 n = 1 的定态 激发态 其余的定态称为激发态基态 n=1,激发态 n1电离:电离能：原子的电离能就是从基态（n=

7、0）以及从某激发态跃迁到n= 状态时所需能量由玻尔理论得出的谱线系与实验事实吻合根据玻尔的跃迁假设：推导里德伯公式计算值：实验值：玻尔的氢原子理论对氢原子光谱的解释三. 玻尔理论的发展及其缺陷 玻尔理论成功地说明了只有一个电子的氢原子或类氢原子，但对于多电子原子则无能为力。 索末菲发展了玻尔理论，认为电子在核的库仑力作用下可以绕核作空间运动，有三个自由度，有三个量子化条件和三个量子数来确定它的稳定状态，加上电子自旋假设，可以很好地解释只有一个价电子的复杂原子的光谱。 玻尔理论还获得夫兰克- 赫兹实验（1914年）的证实。该实验通过对原子的可控激发到高能态，证实了原子体系量子态的存在。（1）不能

8、解释多电子原子光谱、强度、宽度和偏振性等；对于塞曼效应、精细结构更是无能为力。 （2）不能说明原子是如何结合成分子，构成液体、固体的。（3）逻辑上有错误:以经典理论为基础,又生硬地加上与经典理论不相容的量子化假设,很不协调半经典半量子理论.玻尔氢原子理论的困难满意解释了H、类H原子线谱,得到了 且能级概念也被实验证实,但仍存在缺陷:玻尔原子理论的意义在于：1)揭示了微观体系具有量子化特征(规律),是原子物理发展史上一个重要的里程碑,对量子力学的建立起了巨大推进作用。2)提出“定态”,“能级” 的概念,“能级跃迁决定谱线频率” 的假设，在量子力学中仍很重要,具有极其深远的影响。 玻尔模型有着一系

9、列难以克服的困难，正是这些困难，迎来了物理学更大的革命！例：氢原子中电子从n=2的状态电离所需要的能量3.4ev例：求氢光谱帕邢系中的最长波长和最短波长？例：对处于第一激发态的氢原子，如果用可见光照射，能否使之电离？不可以引言:半经典半量子的玻尔理论存在局限,看来是建立新理论的候了,但新理论的实验基础是什么呢? 19 世纪后半期，电磁理论成功地解释了光的干涉、衍射、偏振等现象，建立了光的波动图象，但到了廿世纪初，人们为解释热辐射、光电效应、康普顿效应，又不得不将光当作微粒来处理。 尤其爱因斯坦提出了光子的概念，建立了E=h的关系后，更使人认识到光是具有波粒二象性的东西。德布罗意觉得自然界在很多

10、方面是对称的，但整个世纪以来，人们对光的研究是否过多地注意到了它们的波动性；而对实物粒子（静止 质量不为零的微观粒子及由它们组成的实物）的研究，又是否把粒子的图象想得过多而忽咯了它们的波的图象呢！1922年他的这种思想进一步升华，经再三思考，1924年，De Broglie在他的博士论文“量子论研究”中，大胆地提出了如下假设：De Broglie假设： 不仅辐射具有二象性，而且一切实物粒子也具有二象性。注意：这一假设建立了对实物粒子的一种新的图象，这种图象既允许它表现微粒性，又允许它表现出波动性。这种波称为“物质波”或“德布罗意波”。但什么是德布罗意波呢？一.德布罗意波假设物质波概念2、德布罗

11、意用历史的类比手法，提出实物粒子亦具有波粒二象性的假设：每一个运动的自由粒子都有一波与之联系，如果粒子的动量为p，这波的波长和粒子的动量p之间有一简单关系： 1、光的波粒二象性:16-5 实物粒子的波动性和的粒子,从波动性看来应具有、动量为说明能量为l.npE物质波:与实物粒子相联系的波。德布罗意关系式与自由粒子相联系的德布罗意波是平面波自由粒子的频率和波长也都是常量，即与自由粒子相联系的德布罗意波是平面波非相对论的自由粒子动量其中质量可认为是静止质量，为常量由关系式自由粒子速度恒定，因此动量和能量都是常量例一）一质量m0=0.05Kg的子弹，v=300m/s，求 其物质波的波长。解：BUK发

12、射电子阴级加速电极em0例二）一原静止的电子被电场加速到速度v（vC），加速电压为U，则速度为v的电子的德布罗意波波长为多大？解：经过电压U加速后,电子的动能为:代入h、e、m0值：或当U=100伏故德布罗意波长：1923年Clnton Davisson发表了慢电子从铂片反射的角分布实验情况，他发现弹性反射电子束强度在某些角度出现了极大值。玻恩（Born）认为是一种干涉现象，可能与德布罗意波有关，这引起了戴维逊和革末（Lester Germer）继续对慢电子在镍单晶表面散射进行研究。二. 德布罗意假设的实验证明1、戴维森革末实验(1927年)电子束加速后投射到单晶上。保持掠入角不变，改变加速电

13、压，发现接收到的电子（电流）有一系列的极大值。GUKMBI05 10 1520 25电流出现了周期性变化1、实验目的测出按反射定律而反射的电子流强度I和电势差V之间的关系。2、实验方法：保持不变，改变V，测出对应的I。3、实验结果I05 10 1520 254、实验解释：显然将电子看成微粒无法解释。假设电子有波动性,电流出现最大值时应满足布喇格公式：即加速电压U满足上式时电流强度有最大值。由此计算所得的U的各个量值和实验结果相符合。证实了德布罗意假设的正确性。电子经电压U加速，德布罗意波长当vc时：相对论效应：例 计算电子经过U1 = 100V 和U2 = 10000V 的电压加速后的得布罗意

14、波长1和2分别是多少？解： 经过电压 U 加速后，电子的动能为：将已知数据代入计算可得：1=1.225（埃）2=0.1225 （埃）2. 汤姆孙电子衍射实验（1927年）铝薄膜X-射线衍射图样铝薄膜电子衍射图样金属箔电子束 G.P.汤姆孙（发现电子的J. J. 汤姆孙之子）几乎同时观察到电子的德拜衍射环。实验得到电子的衍射图样类似于X 射线，证明电子确有波动性。后来又证明其他实物粒子(原子、中子)亦有波动性。而且在数量上证实了德布罗意公式的正确性。电子衍射图X 射线衍射图1937年戴维逊与GP汤姆逊共获当年诺贝尔奖（GPThomson为电子发现人JJThmson的儿子）尔后又发现了质子、中子的

15、衍射 具有一定速度和一定运动方向的微观粒子束线所产生的衍射图样和平面波所产生的衍射图样相似。一切微观粒子都具有波动性。实验表明：粒子的波动性已有很多的重要应用。例如，由于低能电子波穿透深度较X光小，所以低能电子衍射被广泛地用于固体表面性质的研究。由于中子易被氢原子散射，所以中子衍射就被用来研究含氢的晶体。电子显微镜利用了电子的波动性。由于电子的波长可以很短，电子显微镜的分辨能力可以达到0.1nm3、电子双缝实验1961年琼森（Claus Jnsson）将一束电子加速到50Kev，让其通过一缝宽为a=0.510-6m，间隔为d=2.010-6m的双缝,当电子撞击荧光屏时,发现了类似于双缝衍射的衍

16、射图样.大量电子一次性 行为电子双缝实验-一个电子多次重复性行为三. 德布罗意用驻波观点说明角动量量子化电子的德布罗意波长 德布罗意认为：要使绕核运动的电子稳定存在，电子绕核回转一周的周长必须是德布罗意波长的整数倍，即与电子相应的波必须是驻波，则得角动量量子化条件因只有驻波是一稳定的振动状态，不辐射能量1926年玻恩提出：物质波是“ 概率波 ”。SS1S2用光子概念解释双缝实验四.德布罗意波的统计解释： 光具有波粒二象性 1、光的双缝衍射:来到空间某处单位体积的光子数与该处光振动的振幅的平方成正比。2、电子衍射:电子分布稀疏与密集说明电子到达各处的数量不同。统计解释：在某处物质波的振幅A2，与

17、粒子在该处附近出现的概率P 成正比。一定频率的光的强度与该处的光子数成正比，而在某处的光子数与该处找到一个光子的几率成正比。所以在某处发现一个光子的几率与 成正比。xZd不确定关系 由于微观粒子具有波粒二象性，所以它具有和经典力学中质点不相同的性质，按照经典物理，每一时刻质点占有一定位置并具有一定动量；位置和动量可以同时准确测量。而微观粒子的波动性对确定粒子的坐标和动量带来了某种限制。 16-6 不确定关系 电子具有波粒二象性，也可产生类似波的单缝衍射的图样，若电子波长为，则让电子进行单缝衍射则应满足：从粒子流的单缝衍射看位置、动量的不确定关系明纹暗纹我们来研究电子在单缝隙位置的位置和动量的不

18、确定程度一维坐标和动量的不确定关系1)位置的不确定程度用单缝来确定电子在穿过单缝时的位置电子在单缝的何处通过是不确定的!只知是在宽为a的的缝中通过.结论:电子在单缝处的位置 最大不确定量为U设一平行电子束垂直射在单缝上，如图，大多数电子通过狭缝后继续沿原方向运动，但有些电子改变了方向，即其动量改变了。2）单缝处电子的动量的不确定程度xayUXY电子大部分都到达中央明纹处要估算单缝处电子在X轴上的分量的不确定量，可先抓住到达中央明纹处的电子在单缝处的不确定量来研究。即正负一级暗纹间的电子来研究。这部分电子在单缝处的动量在X轴上的分量值px 在下列范围内：IX由单缝暗纹条件：也就是说到达正负一级暗

19、纹间的电子在单缝处的动量在X轴上的分量的不确定量为：为一级暗纹的衍射角故px 的不确定量为：由德布罗意关系式：考虑到还存在1方向的电子(次级)，这些方向电子的动量不确定量还要大动量位置不确定关系式 当我们同时测量一个粒子的位置q和动量p时，位置 q（广义坐标）和动量p的不确定量满足如下关系式：量子力学给出了更准确的表达海森伯不确定关系式对三维直角坐标系有：1、不确定并非由于实验技术、误差造成，是波粒二象性的必然结果。不确定关系的根源是波粒二象性。不确定关系是微观粒子波粒二象性所决定的，不确定关系更确切、更准确地反映了微观粒子的本质2、不确定关系意味着两个互相制约、互成反比的共轭物理量的不确定量

20、不能同时无限制地减小。 表示 减小， 增加，即粒子的位置确定得愈准确，动量的不确定性就愈大，反之亦然。如：动量完全不确定粒子位置完全不确定，可在全空间出现。又以一个作匀速运动的一维粒子为例，它可在整个X轴上出现；为常数完全确定。即其德布罗意波为单色平面波同理，对三维空间有对微观粒子，某方向上的坐标和该方向上的动量不可能同时进行准确的测量。测量粒子的位置和动量时，它们的精度存在着一个终极的不可逾越的限制。3、 和 不可能同 时进行准确的测量。5、不确定关系指出了使用经典物理理论的限度 4、 在不确定关系中，普朗克常量 h 是一个关键的世界不能得到直接的体现量，它是一个极小的量，因此，不确定关系在

21、宏观例1）一质量为0.4kg的足球，以10m/s的速度飞来，如动量的不确定量为 10%，求其位置的不确定量。解：v%足球运动员完全不必担心由于有波动性而一脚踢空。注意：因为是估算，数量级差不多即可，故有用 也是可以的。例2）H原子的线度的数量级为10-10m，H原中电子 的速度为v=106m/s，求其速度的不确定量。+Mrnmv解：不确定量已达106m/s数量级，已不能用经典物理中的速度来描述。例3）电子射线管中的电子束中的电速度一般为 105m/s，设测得速度的精度为1/10000，即 V=10m/s，求电子位置的不确定量。解：可以用位置、动量描述X结论：能否用经典方法来描述某一问题，关键在

22、 于由不确定关系所加限制能否被忽略。 在普朗克恒量h不起显著作用的场合，即当h 0时就可以看成宏观现象，并用经典物理来处理。量子力学中有如下一句话：例题 原子中电子运动速度为 106 m/s，原子半径约为10 -10 m，电子位置的不确定量至少为10-11m，即由不确定关系可得 结果表明，原子中电子运动速度的不确定量大于速度本身，显然原子中电子的运动的研究必须应用量子力学理论。例题 质量为 1 g 的物体，当测量其重心位置时，不确定量不超过 10-6 m，即由不确定关系可得 结果表明，由宏观物体的波粒二象性引起的速度的不确定量已远小于可能达到的测量精度之外，显然用经典力学方法处理宏观物体的运动

23、问题已经足够准确了。一.自由粒子的波函数设一自由粒子，不受外力作用，则粒子作匀速直线运动（设沿X轴），其动量、能量保持恒定。恒定！恒定！从波动观点看来：这种波只能是单色平面波X 16-7 粒子的波函数 薛定谔方程结论：自由粒子的De Brglie波是单色平面波 与具有恒定速度的粒子（自由粒子）相联系的波是平面波，波的传播方向沿粒子的运动方向。沿X方向传播的平面机械波波函数: a为平面波的振幅，为初相。可写成复数形式，只取实数部分：其中 这是与能量为E、动量为P的自由粒子相联系的平面波，上式中的波长和频率（表示波动的物理量），可用表示粒子性的量E和P来表示。由德布罗意公式：平面波方程可化为：这是

24、与能量E、动量P、沿X方向运动的自由粒子相联系的波，称为自由粒子的德布罗意波，为自由粒子的波函数，A是波函数的振幅。在X轴上运动的自由粒子的波函数可写为：(x)是波函数的一部分，只与x有关，与时间无关振幅函数。类似于驻波的振幅。其中（分离变量） 自由粒子的能量E、动量P常数，德布罗意波是平面波。 非自由粒子的能量E、动量P不是常数，此时德布罗意波是否为平面波，怎样确定非自由粒子的德布罗意波？它服从怎样的方程呢？上式为自由粒子的薛定谔振幅方程二.自由粒子的薛定谔方程（非相对论条件下讨论） 在有势力场中运动的粒子除有动能Ek外，还有势能EP，令推广到非自由粒子情形，有三.势能为U的力场中运动粒子的

25、薛定谔方程推广到三维空间：势能为EP的力场中运动粒子的薛定谔方程。薛定谔方程是量子力学的基本方程，不能推导，只能验证。它的正确性在于它所给出的结果与实验符合定态薛定谔方程定态，势函数不显含时间，其几率分布也不随时间变化。若定态薛定谔方程已解出为：则粒子的波函数：注意：1）定态波函数为一空间坐标函数 与一时间函数 的乘积。2）对于定态，除能量E有确定值外，其几 率分布也不随时间变化。在空间某处体积元dV粒子出现的几率与 2dV成比。即来到空间某处单位体积的粒子数与 成正比，成正比。 粒子在某处附近单位体积出现的几率与 四.波函数的物理意义在空间某处体积元dV内，粒子出现的几率与 2dV成比例，波

26、函数是几率波。t 时刻在空间（x，y，z）处体积元 dV 内找到粒子的几率与 2 dV 成比例。即大的地方微观粒子出现的机会多， 小的地方粒子出现少；波函数所代表的波是几率波。此式称为归一化条件。 2、如果满足归一化条件，表示在t时刻在空间(x,y,z)处单位体积内找到粒子的几率，称为几率密度。五、波函数的标准化条件因为粒子在全空间出现是必然事件,在整个空间找到粒子的几率等于1，故得到：1、满足归一化条件表示在t时刻在空间(x,y,z)处单位体积内找到粒子的几率，称为几率密度。所以，波函数还必须满足以下条件：有限性在空间是有限函数连续性在空间是连续的波函数是单值的粒子在空间出现的几率只可能是一

27、个值波函数必须满足的条件：单值、连续、有限、和归一化条件。将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子的状态并不改变。表示在空间各处找到自由粒子的概率相同。 对于自由粒子，波函数为则概率密度为常数1、金属中,自由电子受力为0。势能EP为常数,可看作0。2、金属表面： EP突然增大(x = 0 ,a)为拐点 一.势阱模型16-8 一维定态问题a0金属表面EPx金属-一维无限深势阱3、一维无限深势阱0 x ax0及xa0EP(x)=0axEP(x)=EP(x)=EP(x)=0若是经典粒子，粒子如何运动？理想模型 粒子限制在一个具有理想反射壁的方匣中，方匣中粒子可自由运动但在匣壁处受到强烈的反射，越出需无限

28、大能量经典观点：能量连续(E可取任意值),且各处出现的几率相等,量子力学的结果应该如何?为简单计,设粒子在场 EP 中沿x轴做一维运动。二.粒子的定态薛定鄂方程粒子无法越过势阱故只须考虑0 xa区间的波函数：粒子满足一维定态薛定谔方程：三.薛定谔方程的解 波函数由归一化条件求：说明:1、粒子的波函数为驻波形式； n =1，2，3，3、粒子的的能量是量子化的,能量最小值不等于零：2、粒子在势阱中的概率密度：粒子在空间不同的地方出现的几率是不同的。E4E3E2E1xa0n=1n=2n=3n=4 波 函 数 曲线 概率密度曲线粒子在势阱中不同地点出现的几率不一样，不同于经典物理学中的等几率分布。表

29、明:在势阱内坐标 x 处找到粒子的概率为粒子的能级：粒子的能量只能取分立的不连续的值即能量是量子化的，相邻两能级的间隔为在宽度为 a = 10-10 m 的势阱中表明电子能级间隔已达到可测量范围电子在宽度为 a = 1 cm 的势阱中，能级间隔为表明电子能级间隔充分小电子的能级间隔为实际上可将粒子的能量视为连续变化的薛定谔方程的重要意义: 薛定谔方程是量子力学描述微观粒子运动规律的基本方程,由它得出的结果与实验相符合。 通过求解薛定谔方程可以得出描述粒子运动状态的波函数。 在求解过程中，要考虑波函数必须满足的条件：单值、连续、有限和归一化条件。不必象经典物理那样，人为地提出量子化条件，求解过程

30、中自然得到量子化条件，这是经典物理所无法比拟的。薛定谔方程的局限性： 没有反映电子的自旋； 不满足相对论要求，高速粒子的运动要用相 对论量子力学； 没有考虑到粒子的产生和湮灭问题。四.粒子的分布情况处，粒子在势阱中出现的几率最大。在x=0，x=a处，粒子在势阱中出现的几率最小。同理，可讨论n=1,n=2,等。E1E2E3E4a0Xa0XE1E2E3E4a0Xa0X注意：粒子在势阱中不同地点出现的几率不一 样，不同于经典物理学中的等几率分布。以上分布可看作物质波在势阱中产生驻波右行波左行波mE0aUXE1E2E3E4a0Xa0XmE0aXn 2当n时回到了经典情况。a能量可看成连续的E1E2E3E4a0Xa0Xn不能为零，且要舍弃负值。不满足归一化条件。n取负值，只改变一个符号，而几率分布不变。故舍之。mE0aXn 2E1E2E3E4a0Xa0X例：在一维无限深势阱中，当粒子处于 时，求发现粒子出现几率最大的位置。例：求宽度a=0.02m的一维无限深势阱中的电子，有n=3的能级跃迁到 n=1的能级时所发出的光波波长。2 设粒子沿x方向运动，波函数求：（1）归一化常数A； （2）粒子的概率密度按坐标的分布； （3）在何处找到粒子的概率最大？解：（1