电磁场与电磁波教案4(hao)

1、第四章 静态(jngti)场的解共三十六页主要(zhyo)内容边值问题的分类边值问题的唯一性定理(dngl)镜像法分离变量法有限差分法共三十六页4.1 边值问题的分类(fn li)边界条件：所讨论区域边界上电位的指定值（边值）来确定积分常数。边值问题：通过微分方程组和相关边界条件描述的问题。静态场问题通常分为两大类：1.分布型问题由已知场源（电荷、电流）分布，直接(zhji)从场的积分公式求空间各点的场分布2.边值型问题已知场量在场域边界上的值，求场域内的场分布静态场边值问题的解法可分为：1.解析法给出的结果是场量的解析表示式，如镜像法、分离变量法2.数值法通过数值计算，给出场量的一组离散数据

2、，如有限差分法、有限元法共三十六页边界条件的类型(lixng)：实际边值问题的边界条件分为三类：1.已知整个边界(binji)上的电位函数，称为“狄利克莱”边界(binji)条件2.已知整个边界上的电位法向导数，称为“诺伊曼”边界条件3.已知一部分边界上的电位函数和另一部分边界上的电位法向导数，称为混合边界条件共三十六页格林公式(gngsh)两式相减，得格林第二(d r)恒等式共三十六页4.2 唯一性定理(dngl)边值问题的求解是偏微分方程的求解，同时要考虑解得存在(cnzi)性、唯一性和稳定性。已知整个边界上的电位函数（第一类边界条件），则场域的解答是唯一的。已知整个边界上的电位法向导数（

3、第二类边界条件），则场域的解答是唯一的。已知一部分边界上的电位函数和另一部分边界上的电位法向导数（第三类边界条件），则场域的解答是唯一的。共三十六页唯一性定理(dngl)证明（用格林公式，反证法）共三十六页用于求解分布在导体附近的电荷(dinh)产生的场。4.3 镜像法共三十六页 几个(j )实例：qq非均匀感应(gnyng)电荷等效电荷非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代 求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位 接地导体球附近有一个点电荷，如图。q非均匀感应电荷q等效电荷非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代共三十六页 镜像法 (method of

4、 images) 实质：是以一个或几个等效电荷代替边界(binji)的影响，将原来具有边界(binji)的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过程大为简化。 依据：惟一性定理。因此，等效电荷的引入必须维持(wich)原来的边界条件不变，从而保证原来区域中静电场没有改变，这是确定等效电荷的大小及其位置的依据。这些等效电荷通常处于镜像位置，因此称为镜像电荷（the image charge），而这种方法称为镜像法。 关键：确定镜像电荷的大小及其位置。镜像电荷位置选择原则：1. 镜像电荷必须位于求解区域以外2. 镜像电荷的引入不能改变原问题的边界条件 局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊

5、分布的电荷才有可能确定其镜像电荷。 共三十六页1. 点电荷对无限大接地(jid)的导体平面的镜像 介质 导体 q r P 介质 q r P hh 介质 以一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影响，使整个空间(kngjin)变成均匀的介电常数为 的空间，则空间任一点 P 的电位由 q 及 q 共同产生，即 因为无限大接地导体平面的电位为零，求得4.3.1 接地导体平面的镜像共三十六页 电荷守恒：当点电荷q 位于无限大的导体平面附近时，导体表面将产生异性的感应电荷，因此，上半空间的电场取决于原先的点电荷及导体表面上的感应电荷。可见，上述镜像法的实质是以一个异性的镜像点电荷代替导体表面上异性的感应电荷

6、的作用。根据电荷守恒原理，镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量，读者可以根据导体表面电荷密度与电场强度或电位的关系(gun x)证明这个结论。 半空间(kngjin)等效：上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为在上半空间中，源及边界条件未变。共三十六页2. 线电荷(dinh)对无限大接地导体平面的镜像镜像电荷的密度(md)和位置分别为 介质 导体 r P 介质 r P hh 介质 共三十六页 3. 点电荷对相交半无限大接地导体(dot)平面的镜像 如图，两半无限大接地导体平面垂直(chuzh)相交。 要满足在导体平面上电位为零，则必须引入3个镜像电荷。如图所示。 对于非垂直相交的

7、两导体平面构成的边界，若夹角为 ，则所有镜像电荷数目为2n-1个。共三十六页q 对于半无限大导体平面形成的劈形边界应用镜像法时，仅当这种导体劈的夹角等于 的整数分之一时，才可求出其镜像电荷。为了保证这种劈形边界的电位为零，必须引入几个镜像电荷。例如，夹角为 的导电劈需引入 5 个镜像电荷。/3/3q共三十六页例：真空中，电量为1C的点电荷位于点P(0,0,1)处，xOy平面是一个无限大的接地导体(dot)板。求z轴上电位为10000V的点的坐标。解：根据(gnj)镜像法，可知上半空间的电位是xzOP共三十六页fqo1. 点电荷对接地(jid)导体球面的镜像 若导体球接地，导体球的电位为零。为了

8、等效导体球边界的影响(yngxing)，令镜像点电荷q 位于球心与点电荷 q 的连线上。那么，球面上任一点电位为 可见，为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为 4.3.2 导体球面的镜像Padrqr共三十六页 为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要求比值 对于球面上任一点均具有同一数值。由上图可见，若要求三角形 OPq 与 OqP 相似，则 常数。由此获知镜像电荷应为镜像电荷离球心的距离d 应为 这样，根据 q 及 q 即可计算球外空间任一点(y din)的电场强度。 fqoPadrqr共三十六页 若导体球不接地，则位于点电荷一侧的导体球表面上的感应电荷为负值，而另一侧表面上的感应电

9、荷为正值。导体球表面上总的感应电荷应为零值。因此，对于不接地的导体球，若引入上述的镜像电荷 q 后，为了满足电荷守恒原理，必须(bx)再引入一个镜像电荷q，且必须令 显然，为了保证球面边界是一个(y )等位面，镜像电荷 q” 必须位于球心。事实上，由于导体球不接地，因此，其电位不等零。由q 及q在球面边界上形成的电位为零，因此必须引入第二个镜像电荷q” 以提供一定的电位。qfOPadrq2. 点电荷对不接地导体球面的镜像 共三十六页 真空中一点电荷Q位于导体球附近。导体球半径为a，点电荷距离球心距离为d（da）。求： 导体球接地(jid)时空间电位分布。 解:当导体球接地时，由镜像法，原问题可

10、等效为空间(kngjin)只存在Q和镜像电荷q。易知： 例 则球外空间任意点 处电位为：导体球接地，因此球内空间电位为0，即：共三十六页1. 点电荷对电介质分界(fn ji)平面的镜像问题：点电荷位于(wiy)两种电介质分界面上方h，求空间电位分布。分析：在介质分界面上将存在极化面电荷，空间电位由极化面电荷和电荷q共同产生。解决问题方法：镜像法，即用镜像电荷等效极化电荷作用。qhO1 2 zqhO1 zhqPR1 R1 区域1的电位由q和位于区域2中的镜像电荷q共同产生hO2 PR2 z 区域2的电位由q和位于区域1中的镜像电荷 共同产生4.3.3 介质平面的镜像共三十六页qhO1 zhqPR

11、1 R1hO2 zPR2 共三十六页在z=0面上(min shn)应用电位边界条件共三十六页2. 线电流对磁介质分界(fn ji)平面的镜像hzx 2 1IO问题：线电流位于(wiy)两种磁介质分界面上方h，求空间磁场分布。分析：在介质分界面上将存在磁化电流，空间中的磁场由磁化电流和直线电流I共同产生。解决问题方法：镜像法，即用镜像线电流等效磁化电流作用。 区域1的磁场由I和位于区域2中的镜像线电流I共同产生 区域2的的磁场由I和位于区域1中的镜像线电流I”共同产生共三十六页rhhPzx 1IH1H2OrI 1hzx 2 1IOhPzx 2I+IOr 2为了维持边界条件不变，求出的上半空间及下

12、半空间的场在边界上应满足恒定磁场的边界条件，即 。由此求得共三十六页hPzx 2I+IOr” 2x 1 1rhhPzIH1H2H1H2HOrI共三十六页例 设一根载有恒定电流 I 的无限长导线与无限大的理想导磁平面(pngmin)平行放置，如图示。导线与平面间的距离为 h ，试求上半空间任一点磁场强度。 Xhyx = 0IO共三十六页Xhyx = 0IOH1rhhPyx 0IH2OrI 0解 采用镜像法。设在镜像位置放置一根(y n)无限长的恒定电流 I ，那么上半空间任一点合成磁场强度为 I= I 根据(gnj)则共三十六页因此合成(hchng)磁场为 rhhPyx 0IH1H2OrI 0直

13、角坐标(zh jio zu bio)与圆柱坐标系共三十六页使用镜像法时必须(bx)注意：边界必须是无限大，或者(huzh)是具有球或圆柱对称性。为了保证待求场区域内原方程成立，镜像电荷不能出现在待求场区域内。镜像电荷的确定必须保证原有的边界条件全部满足。共三十六页分离变量法是数学物理方法中的一种。它要求：1.给定的边界与一个(y )适当的坐标系的坐标面相重合，或分段重合；2.其次在此坐标系中，待求偏微分方程的解可表示成三个函数的乘积，每一函数仅是一个坐标的函数。这样，通过分离变量法就可以把偏微分方程化为常微分方程求解。4.4 分离(fnl)变量法共三十六页4.4.1 直角坐标系中的分离(fnl)变量法共三十六页共三十六页共三十六页共三十六页内容摘要第四章 静态场的解。由已知场源（电荷、电流）分布，直接从场的积分公式求空间各点的场分布。已知场量在场域边界上的值，求场域内的场分布。通过数值计算，给出场量的一组离散数据，如有限差分法、有限元法