机械能守恒定律　

1、笫五章机械能守恒（一） 功 动能定理（二） 保守力做功与势能（三）机械能和机械能守恒定律（四）两体碰撞与两体问题目录1一、功（一） 功 动能定律定义：力对质点所做的功等于力在质点位移方向的分量 与位移大小的乘积.功是力对空间的累积作用 单位:1焦耳(J)=1牛顿（N）.米（m）量纲：ML2T-2AB元功第五章机械能守恒2说明：（1）在直角坐标系中：第五章机械能守恒（2）几个力同时作用在物体上时，所作的功：3合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的代数和。（4）功率：单位:焦耳/秒(瓦特) 量纲：ML2T-3力在单位时间内所做的功第五章机械能守恒（3）功是标量，没有方向，但有正负.41m5N例

2、题5.1 如图所示，一绳索跨过无摩擦的滑轮系在质量为1.0kg的物体上，起初物体静止在无摩擦的水平面上。若用5.0N的恒力作用在绳索的另一端，使物体向右作加速运动.当系在物体上的绳索从与水平成变为 时,力对物体作功为多少?己知滑轮与水平面间的距离为1m.第五章机械能守恒5解: 建立坐标系(如图)x0F1m5N第五章机械能守恒6二、质点动能定理 元功:质点由A到B这一过程中，力作总功为：ABm-质点的动能第五章机械能守恒-质点动能定理令则7例题5.2 如图，初始时，绳子垂在桌外的长度为b,设绳子总长度为L,求绳全部离开光滑桌面时的瞬时速率.解：方法一：利用动能定理建立作坐标系，重力所作元功为：由

3、动能定理得：M,L bxot=0,v=0第五章机械能守恒8方法二：利用牛顿定律由牛顿定律得两种方法结果相同M,Lbxot=0,v=0第五章机械能守恒9例题5.3 假定地球的密度是均匀的，并沿地球的直径钻一个洞，质点从很高的位置 h 落入洞中，求质点通过地心的速度。 由动能定理：解：矢径方向如图所示，设通过 地心的速度为OmhR第五章机械能守恒10又质点在地球内、外受力不同第五章机械能守恒11三、质点系动能定理-质点系动能定理对所有质点求和： 设一个系统内有n个质点，作用于笫 i 个质点的力所作的功为 ，由质点动能定理第五章机械能守恒12（2） 是每个质点所受外力（内力）作功之和，而不是合力功之

4、和.说明：（3）质点系内力的功： 研究两质点、间作用力与反作用力元功之和 即一对内力所作的功仅决定于力和质点间相对位移的标积.（1）质点系所受的力分外力和内力，则内力作的总功一般不为零第五章机械能守恒13例题5.4 如图，质量为M的卡车载一质量为m的木箱，以速率v沿平直路面行驶。因故突然紧急刹车，车轮立即停止转动，卡车滑行一定距离后静止，木箱在卡车上相对于卡车滑行了l 距离,卡车滑行了 L 距离。求 L 和 l 。巳知木箱与卡车间的滑动摩擦系数为 ，卡车轮与地面的滑动摩擦系数为LmgMgNFmg第五章机械能守恒14 卡车和木箱受力如图.只有二者间摩擦力 和地面对车的摩擦力 F 做功，三力之受力

5、质点位移各为 . 根据质点动能定理得解得解：解法一（用质点动能定理求解）第五章机械能守恒卡车： （1）木箱： （2）15解法二（用质点系动能定理求解） 视卡车与木箱为一质点系.外力F 做功 ，内力做功等于力与相对位移的标积，即根据质点系动能定理，有又视木箱为质点，得上面(2)式.(2)(3)联立得与上法相同结果.第五章机械能守恒（3）16（二） 保守力做功与势能一、几种常见的力作功1、重力作功 重力作功只与质点的起始和终止位置有关，而与所经过的路径无关。xaby第五章机械能守恒17移动位移元 ，F可近似认为不变，故由图知：于是： 2、万有引力作功如图，M不动，m由a 经任一路径到bMarmbF

6、第五章机械能守恒18在弹性限度内，弹性力所作的功只由弹簧的起始和终了位置决定，而与形变的过程无关。3、弹性力作功如图，O点为平衡位置，拉长到P点时，伸长量为x：万有引力作功只取决于质点的起始和终了位置，与所经过的路径无关。第五章机械能守恒0 xKmP19保守力：作功只与物体的始末位置有关，而与路径无关 的力。二、保守力与非保守力分析三种力作功的特点反映保守力作功特点的数学表达式：bcdaFF物体沿不同路径从a 到 b，保守力作功第五章机械能守恒该类力产生的力场为保守力场。20保守力沿任意闭合路径作功为零。bcda沿闭合路径运动一周，保守力作功：保守力的一些判据：(1)对于一维运动，凡是位置x单

7、值函数的力都是保守力,如弹性力 f = f (x) = k(xx0) 是 x 的单值函数，故它是保守力；(2)对于一维以上的运动，大小和方向都与位置无关的力，如重力 f = mg, 是保守力;(3)有心力是保守力，例如万有引力、库仑力都是保守力。第五章机械能守恒21 称为耗散力（如滑动摩擦力， 将机械能转化为热能）非保守力： （如爆炸力），将其他形态的能 （如化学能、电磁能）转化为机械能.所作的功不仅与始、末位置有关，而且与具体路径有关，或沿任一闭合路径一周作功不为零的力。非保守力可分两类：第五章机械能守恒22三、势 能证：在保守力场中，选择一个标量函数：如图，先任取一点rC ，令：对空间任意

8、点，定义： rArCrB第五章机械能守恒定理 对于保守力场，可以定义一个标量函数 ，使保守力做的功为其中， 表示质点从空间点 运动到点 时保守力所做的功。 称为势能（或势函数、位能）。23 由于是保守力场，故 唯一确定，与运动的路径无关，于是对于空间中的任意点，我们定义的的值确定并且唯一。 下面证明 就是势能 对于空间中任意两点 和 ，按照我们对 的定义，有： 由定义：第五章机械能守恒24 将上面(1)与(2)两式相减，注意到保守力作功与路径无关，可得： 故 就是势能。证毕 反之，存在势能的力一定是保守力。 注：由证明可见，势能具有一个任意常数 一般我们规定点（无穷远处）的势能为零。 第五章机

9、械能守恒25 (2)势能是相对性的。为确定质点系在任一给定位置的势能值，必须选定某一位置为参考位置（势能零点），规定该点的势能为零.而势能零点可根据问题的需要任意选择；(3)势能是属于系统的。实质上势能是相互作用能；说明(1)势能是状态（位置坐标）的函数，即： (4)自然界中的大部分能量是以引力势能的形式存在。1. 势能 的计算 由定理可得：即某点的势能等于保守力从该点沿任意路径到势能零点的积分值第五章机械能守恒26即：保守力对物体作的功等于物体势能增量负值。重力势能2 三种势能：保守力作功可用势能差表示：引力势能弹性势能第五章机械能守恒273 势能曲线当坐标系和势能零点一经确定，势能仅是坐标

10、的函数势能随坐标变化的曲线称为势能曲线。如图:mghVhrV第五章机械能守恒VrV28势能曲线的用途： 保守力与势能的关系：(1) 由势能曲线求保守力第五章机械能守恒29mghVhrVVr第五章机械能守恒VFF-mgFF重力及其势能万有引力及其势能弹性力及其势能双原子分子及其势能30平衡位置：就是物体所受作用力为零的位置。(2) 求平衡位置及判断平衡的稳定性：平衡的稳定性：取决于偏离平衡位置时，物体所受力方向：第五章机械能守恒xOVx0 xOVx0 xOVx1 x0 x2(a)稳定平衡(),力始终指向平衡位置；(b)不稳定平衡( ),离开平衡位置,力背离平衡位置方向；(c)亚稳平衡;(d)随遇

11、平衡（x1x2 , ）。xOVx0 x031第五章机械能守恒利用势能曲线求平衡位置：FxOkxVx例如：弹性势能二维三维情况：特例马鞍形势能曲面中心O处的质点在x方向不稳定平衡，y方向为稳定平衡(3) 决定质点的运动范围V0 x1 x2V双原子分子势能曲线32一、质点系的功能原理（三） 机械能守恒定律根据质点系动能定理功能原理 质点系机械能的增量，等于外力与非保守内力对质点系作功之和。机械能：E=Ek+V第五章机械能守恒与质点系动能定理的关系？33二、机械能守恒定律 当作用于质点系的外力和内非保守力作功为零时，系统机械能守恒。当根据功能原理：或或可写为：第五章机械能守恒34第五章机械能守恒说明

12、：（1）功能原理和 机械能守恒定律只在惯性系中成立；非惯性系中要引入惯性力；（2）在不同的参考系中，力所做的功，体系的动能和体系的机械能可能不同；（3）一个体系在一个参考系中机械能守恒，但在另一个参考系中并不一定成立;i.功与参考系有关: 内力做功与参考系无关; 外力做功与参考系有关.ii.体系的动能与参考系有关;iii. 体系的势能与参考系无关.（4）功是一个过程量, 能量是一个状态量.35三、柯尼希（Konig）定理 相对一定惯性参照系，质点系的动能为所有质点的动能之和 设 为质点系的质心速度， 为笫i个质点相对质心系的速度，则有代入上式得第五章机械能守恒36于是质心动能体系相对质心系动能

13、柯尼希定理体系动能等于质心动能和体系相对质心系 的动能之和.第五章机械能守恒其中笫三项中37第五章机械能守恒四、一般质心系中的功能原理ac=0，质心系为惯性系；ac0，质心系（平动参考系）为非惯性系，此时惯性力所做的总功为：即质心系虽为非惯性系时，可不考虑惯性力所做的功！38五、三种宇宙速度笫一宇宙速度人造卫星笫二宇宙速度（或称逃逸速度）人造行星（太阳系） 飞行物冲出地球引力范围而围绕太阳运动，成为人造行星。脱离地球引力的最低水平速度被称为笫二宇宙速度.飞行物在地球引力作用下，环绕地球表面运行，成为人造卫星.分别考虑 r 处和无穷远处的机械能第五章机械能守恒39应当满足机械能守恒，即 ，于是取

14、其等于零，得逃逸速度第五章机械能守恒产生“黑洞”的条件令笫二宇宙速度取其等于光速c，则对质量为M的天体，要成为“黑洞”，其半径需为以太阳为例：Ms=1.99x1030kg，40笫三宇宙速度人造行星(银河系)飞行物冲出太阳的引力范围而成为银河系中的人造行星. 根据笫二宇宙速度的同样原理，得到以太阳为参考系的笫三宇宙速度第五章机械能守恒其中太阳质量 （地球质量） ，太阳-地球平均距离 （地球半径）故41 这是从日心系看飞行器冲出的速度，自然其中包含了地球绕太阳的公转速度 ，两者相减 这是地球-飞行器质心参考系看来，飞行器冲出地球引力范围时，应有的速度。再追溯到地面附近 h 高度，发射速度 应当满足

15、机械能守恒，即第五章机械能守恒注意到 ，故SunEarth42最后得出笫三宇宙速度 综上所述，三种宇宙速度均立足于地球上空预定高度，物体在水平方向上的三个特征速度：第五章机械能守恒当 ，发射体环绕太阳作椭圆轨道运行；当 ，发射体环绕地球作椭园轨道运行；当 ，发射体将沿双曲线轨道离开太阳系.43（四） 两体碰撞与两体问题 所谓碰撞，是指两质点相互接近，运动状态发生迅速变化的现象。碰撞的特征是极短的时间和强烈的相互作用。一、正碰对心碰撞说明： e=0 完全非弹性碰撞 0e1 非弹性碰撞(如采用不同材料时) e=1 完全弹性碰撞碰撞定律恢复系数碰撞前两球速度均沿两球中心连线满足：动量守恒定律第五章机

16、械能守恒44当两物体发生对心碰撞时，由以上两方程解得讨论：碰撞过程中损失的动能为由此可知，对于完全弹性碰撞，e=1，动能守恒； 对于完全非弹性碰撞，e=0，动能损失最大.第五章机械能守恒45第五章机械能守恒高能粒子加速器资用能: 真正参与粒子反应的能量，质心动能不参与反应目的：用来研究微观粒子的结构、相互作用和反应机制？情况i情况i:资用能情况i:资用能情况ii :高能粒子对撞例如: 1987年,北京正负电子对撞机:资用能2x2.2GeV 若单束加速:1.9x104GeV46 质心系中的正碰撞 上面讨论的是在实验室系（L系）中正碰撞。而在质心系（C系）中，由于对质心的动量之和永远为零，故在质心

17、系中描写碰撞，表达形式简单，物理意义清晰。在L系中，质心速度为 在C系中，设碰撞前后两质点的速度分别为 和 则由这两方程可得第五章机械能守恒47在C系中，碰撞损失的动能为思考：如何把质心系的碰撞结论化回实验室坐标系?二、弹性斜碰 碰撞前两球的速度 不在两球中心连线上的碰撞叫斜碰.一般情况下，斜碰为三维问题.若 ，则变为二维问题.提示：第五章机械能守恒48 如图，取 的方向为x轴，则上面笫一式化为在完全弹性碰撞中，动量和能量都守恒，有 式中 称为散射角.另外，碰撞结果还与碰撞前两小球中心在y方向上的距离b有关.b称为瞄准距离.b=0时即为正碰. 通常，应用实验方法测出上面四个未知数中的一个，才能

18、求出其余三个未知数.b第五章机械能守恒49例题5.5 如图，质量为M的物块A在离平板为h的高度处自由下落.落在质量也为M的平板B上.已知轻质弹簧的倔强系数为k，物体与平板作完全非弹性碰撞，求碰撞后弹簧的最大压缩量.解：本题可分为三个物理过程物块A下落物块A与平板B发生碰撞碰撞后弹簧被压缩机械能守恒h第五章机械能守恒50弹簧被最大压缩时 如图，取弹簧不承载平板的平衡位置为坐标原点O.则平板B放上后位移为 ，物块A碰撞后位移为 ，则根据机械能守恒式，得而xh第五章机械能守恒O51将、式代入式，整理后得因 ，故应将负根舍去.得碰撞后弹簧最大压缩量为解之得第五章机械能守恒52第五章机械能守恒例题5.6

19、 弹弓效应 如图，土星的质量为5.67x1026kg，以相对于太阳的轨道速率9.6km.s-1运行；一空间探测器质量为150kg，以相对于太阳10.4km.s-1的速率迎向土星飞行。由于土星的引力，探测器绕过土星沿和原来速度相反的方向离去，求它离开土星的速度。v10v1v20解：将其看成无接触碰撞，其中e=1，m1可忽略，则探测器绕过土星后由于引力作用速率增大，这种效应称 为弹弓效应。53第五章机械能守恒三、两体问题处理方法m1 rC1 rC2 m2r1 rC r2O如图，考虑质量分别为 m1 和 m2 的两个质点的孤立体系，质点间的作用力是保守力，由两质点的相对位置决定。取一惯性系，位矢和速度分别为 ，质心的质量、位矢分别为 mC 和 rC，则有： 在该惯性系中，动力学方程为： 处理方法一（S参考系法）54第五章机械能守恒考虑 m1 相对于 m2 的运动。选择与 m2 （通常选取质量较大的物体）相对静止的参考系，m2 位于原点，称该参考系为S系（非惯性系）。在S系中，m1 的位置为r，速度为v：也可以通过引入惯性力来列出运动的牛顿方程由令 ，则 该方程与牛顿定律类似，即利用约化质量，即可把两体问题化成单体