2020高考-立体几何(解答+答案)

1、 2020年高考立体几何（20全国I文19）（12分）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，ZAPC=90.（1）证明：平面PAB丄平面PAC；（2）设DO=42，圆锥的侧面积为J3n求三棱锥P-ABC的体积.（20全国I理18）（12分）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD.ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO二还DO.6A证明：PA丄平面PBC；求二面角B-PC-E的余弦值.3.(20全国II文20)(12分)如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BBCC是矩形，M,N分别为BC

2、,B1C1的中点，P为AM上一点.过B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F.证明：AAJ/MN，且平面AAMN丄平面EBff；n设O为A1B1C1的中心，若AO=AB=6,AO/平面EB&F,且ZMPN=-，求四棱3锥B-EB1C1F的体积.4.（20全国II理20）（12分）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BBCC是矩形，M,N分别为BC,BC的中点，P为AM上一点，过BC和P的平面交AB于E,交AC于F.证明：AAMN,且平面AAMN丄EBgf；设0为ABC的中心，若AO平面EBCF，且AO=AB，求直线BE与平面AAMN所成角的正弦值.5.(20全国III文1

3、9)(12分)如图，在长方体ABCD-片BC1中，点E，F分别在棱DD,B%上，且2DE=EDBF=2FB.证明：(1)当AB=BC时，EF丄AC；(2)点C在平面AEF内.6.(20全国III理19)(12分)如图，在长方体ABCD-ABCD中，点E,F分别在棱DD,BB上，且2DE=ED,1111111BF二2FB.1证明：点C在平面AEF内；若AB=2，AD=1，AA=3，求二面角A-EF-A的正弦值.117.(20新高考I20)(12分)如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD丄底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为I.(1)证明：/丄平面PDC；(2)已知PD=AD=1,

4、Q为I上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.&（20天津17）（本小题满分15分）如图，在三棱柱ABC-ABC中，CC丄平面ABC,AC丄BC,AC=BC=2，liiiCC=3，点D,E分别在棱AA和棱CC上，且AD=l,CE=2,M为棱AB的中l占八、(I)求证:(II)(III)CM丄BD；ii求二面角B-BiE-D的正弦值;求直线AB与平面OB”所成角的正弦值.9.（20浙江19）（本题满分15分）如图，在三棱台ABCDEF中，平面ACFD丄平面ABC,ZACB=ZACD=45,DC=2BC.（I）证明：EF丄DB；（II）求直线DF与平面DBC所成角的正弦值.10.(20江

5、苏15)(本小题满分14分)在三棱柱ABC-A1B1C1中，ABLAC,B1C丄平面ABC,E,F分别是AC,B1C的中点.(1)求证：EF平面AB1C1；(2)求证：平面ABC丄平面ABB.11.(20江苏22)(本小题满分10分)在三棱锥ABCD中，已知CB=CD=弱,BD=2,O为BD的中点，A0丄平面BCD,A0=2,E为AC的中点.求直线AB与DE所成角的余弦值；1若点F在BC上，满足BF=BC,设二面角FDEC的大小为为求sin涉的值.412.(20北京16)(本小题13分)如图，在正方体ABCDABCD中，E为BB的中点.求证：BC/平面ADE；ii求直线AA与平面ADE所成角的

6、正弦值.ii参考答案：1.解：(1)由题设可知，PA=PB=PC.由于AABC是正三角形，故可得厶PACPAB.PACPBC.又乙APC=90，故ZAPB=90,ZBPC=90.从而PB丄PA,PB丄PC,故PB丄平面PAC,所以平面PAB丄平面PAC.(2)设圆锥的底面半径为r,母线长为1.由题设可得r1=43,12-r2=2.解得r=1,1=3,从而AB=/10Ini-1Be101所以直线BiE与平面A1AMN所成角的正弦值为谱Z1Ci5.解：（1）如图，连结BD,BD.因为AB=BC,所以四边形ABCD为正方形，故AC丄BD.ii又因为BB丄平面ABCD，于是AC丄BB.所以AC丄平面B

7、BDD.ii11由于EFu平面BBDD，所以EF丄AC.11（2）如图，在棱AA上取点G，使得AG=2GA，连结GD,FC,FG,1ill22因为DE二一DD,AG二AA,DD力AA，所以ED/AG，于是四边形EDGA为i3i3i1=11=1平行四边形，故AE/GD.1因为BF/-BB,AG/-AA,BB/AA，所以FG/AB,FG/CD，四边形1311311=1=11=11FGDC为平行四边形，故GD/FC.1111于是AEFC1所以A,E,F，C1四点共面，即点C1在平面AEF内.6解：设AB/a，AD/b，AA/c，如图，以C为坐标原点，CD的方向为x轴正方向,1建立空间直角坐标系C-x

8、yz.1(1)连结CF，1111F(0,b,-c)，EA/(0,b,-c),JJCF/(0,b,1c)，得EA=CF131因此EA/CF，即A,E,F,C四点共面，所以点C在平面AEF内.111(2)由已知得A(,1,3)，E(2,0,2)，F(0,1,1)，A(2,1,0)，AE=(0,-1,-1),AF=(-2,0,-2)，AE=(0,-1,2)，AF=(-2,0,1)11设n/(x,y,z)为平面AEF的法向量，则1n-AE/0,V1n-AF/0,J1-y-z二0,-2x2z/0,可取n=(一1，-1，1).1设n为平面AEF的法向量，则21n-AE=0,12亠同理可取n=(；,2,1)

9、.n-AF=0,2221因为映”严2=卅门一+，所以二面角A-EF-州的正弦值为译.127.解：(1)因为PD丄底面ABCD，所以PD丄AD.又底面ABCD为正方形，所以AD丄DC，因此AD丄底面PDC.因为ADBC,AD丘平面PBC，所以AD平面PBC.由已知得l/AD.因此l丄平面PDC.(2)以D为坐标原点，Da的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,l,0),P(0,0,1)，DC=(0,1,0),PB=(1,11).由(1)可设Q(a,0,1)，则DQ=(a,0,1).设n二(x,y,z)平面QCD的法向量，则n-DQ二

10、0,n-DC二0,ax+z=0,y=0.可取n二(1,0,a).所以cosn,PB=nPB1一aInI-1PBr3n-EB=0,ED=(2,0,-i).设n=(x,y,z)为平面DBE的法向量，则i即in-ED=0,y+z=0,仁n不妨设x=i，可得n=(i,-i,2).2xz=0.因此有cos,“=-1丄二，于是sinCA,n=W.ICAIInI66所以，二面角B-BiE-D的正弦值为30(III)解：依题意,AB=(-2,2,0).由(II)知n=(i,-1,2)为平面DBE的一个法i向量,AB-nIABIInI所以，直线AB与平面DBF所成角的正弦值为(I)如图，过点D作DO丄AC，交直

11、线AC于点O，连结0B.由ZACD=45。,DO丄AC得CD二込CO，由平面ACFD丄平面ABC得DO丄平面ABC，所以DO丄BC.J2由ZACB=45。,BC=-CD=二CO得BO丄BC.2所以BC丄平面BDO,故BC丄DB.由三棱台ABC-DEF得BCHEF，所以EF丄DB.(II)方法一：过点O作OH丄BD，交直线BD于点H，连结CH.由三棱台ABC-DEF得DFIICO，所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角.由BC丄平面BDO得OH丄BC，故OH丄平面BCD,所以ZOCH为直线CO与平面DBC所成角.设CD=2*2-由DO=OC=2,BO=BC=、込，得BD6,

12、OH=j3，所以sinZOCH=-，OC3因此，直线DF与平面DBC所成角的正弦值为亘.3方法二：由三棱台ABC-DEF得DFICO，所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角，记为0.如图，以O为原点，分别以射线OC,OD为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-xyz. 11由题意知各点坐标如下：O(0,0,0),B(11,0),C(0,2,0),D(0,0,2).因此OC=(0,2,0),BC=(1,1,0),CD=(0,-2,2).设平面BCD的法向量n=(x,y,z).n-BC=0,由1-n-CD=0,x+y=02y+2z=0可取n=(1,1,1).所以sin0=1

13、cosOC,n：l=丨OCnl=晅lOCl-1nl3因此直线DF与平面DBC所成角的正弦值为号.10证明：因为E,F分别是AC,BC的中点，所以EFAB.11又EF岸平面ABC,ABu平面ABC,11111所以EF平面ABC11(第130(2)因为BC丄平面ABC,ABu平面ABC,所以BC丄AB.1又AB丄AC,BCu平面ABC,ACu平面ABC,BCClAC=C,iiiii所以AB丄平面ABC.i又因为ABu平面ABB，所以平面ABC丄平面ABB.iii11解：(1)连结OC,因为CB=CD,0为BD中点，所以CO丄BD.又AO丄平面BCD,所以AO丄OB,AO丄OC.以b，OC，OA为基

14、底，建立空间直角坐标系Oxyz.因为BD=2,CB=CD=：5，AO=2，所以B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2).因为E为AC的中点，所以E(0,1,1).则AB=(1,0,-2),DE=(1,1,1),所以IcosAB,DEl=IABDEI=li+021届IABi-1DEi=ii所以BF=-BC=(-,-,0).42又DB=(2,0,0),故DF=DB+BF=G2，)+y+z二0,0=iy1-2+XIX17-4设n=(x,y,z)为平面DEF的一个法向量,iiiifDE-n=0,则一i即DF-n=0,Ji取x=2，得y=-,z=5，所以n=(2,7,5).1111设n=(x,y,z)为平面DEC的一个法向量，又DC=(1,2,0),2222取x=2，得y=-1,z=-1,222DE-n=0,.2即DC-n=0,2x+y+z=0,222x+2y=0,2213所以叮（2，-1-】）射In-nI14+7一51故Icos0I=12InI-1nIJ78xJ61312第22题）12.2D(1)证明:因为ABCD-AiBtC为正方体所以且CID】=AB,所lABCyDy为平行四边形.XBCJ/AD又因为,4D|匸平面.