高二数学第一学期能力训练25

1、数学能力训练(25)1.(本小题12分)已知锐角三角形 ABC的内角A B、C的对边分别为a、b、c,且 a = 2bsin A.(1)求B的大小；(2)若a2 +c2 =7,三角形ABC的面积为1 ,求b的值。2.(本小题12分)设等差数列an的前n项和为Sn ,已知a3= 24,乱=0.(1)求数列 an的通项公式；(2)当n为何值时，Sn最大，并求Sn的最大值.3.(本小题14分)二次函数f (x)满足f(3) = 73, f(2) = 1,且对称轴x =2(1)求 f (x) ;(2)求不等式 f(x) -35x2 (108 + 3m)x + 2m2 -73(m= R)的解集.(本小题

2、14分)某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：资金单位产品所需资金(百元)月资金供应量(白兀)空调机洗衣机成本3020300劳动力(工资)510110单位利润68试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少.(本小题 14分)在数列 QJ中，a =2, an+=4an3n+1, ne N(i)证明数列 Qn n是等比数列；(n)求

3、数列Gn的前n项和Sn ；(出)证明不等式 Sn书0 4Sn,对任意nu N皆成立.(本小题14分)已知点(1,1)是函数f(x) = ax(a0,且a#1)的图象上一点, 3等比数列an的前n项和为f (n) -c,数列bn (bn a0)的首项为c,且前n项和Sn满足6广、5 + 氏(n2).(1)求数列an和bn的通项公式；11000(2)若数列前n项和为Tn,问Tn 的最小正整数n是多少？bnbn 12009 2b , ,(3)设cn =,求数列cn的前n项和Pn答案:1 .解：解：(1)由a = 2bsin A,根据正弦定理得sin A = 2sin Bsin A, 2分1又 sin

4、A。所以 sinB= , 3 分2冗由AABC为锐角三角形得 B = . 5分6 TOC o 1-5 h z 11(2)由&ABC的面积为1得一acsinB=1 6分又sinB=-22- ac =4 8 分由余弦定理得a2 , c2 -2accosB = b2 9分又 cos B=2 b2=7-43=2 - 311 分a b=2-v3 12 分 TOC o 1-5 h z 由，、一仲 +2d=24，Jai=400 C2解：(1)依题意有i 11M1n，解之得，an=488n.11al +d =0d = -8I 2、(2)由(1)知，a1 =40, an=48 8n,c(a1+an)n(40 +

5、48 8n)n ,2 111 f Sn=-=-4n2 +44n=4 n I +121,222故当n =5或n =6时，Sn最大，且Sn的最大值为120.23 斛：(1)设 f(x)=ax +bx+c(a00)1 f (4) = -73, f (2) = 1 ,且 f (x)的最大值是 8,a 09a -3b +c = -734a -2b c = -1b 3 -=.2a 2a = -36解得 -35x -(108 + 3m)x + 2m -73等价于_ _222-36x -108x-73 -35x -(108 3m)x 2m -73即 x2 3mx +2m2 0 即(x -m)(x -2m) 0

6、当m=0时，所求不等式的解集为空集；当m A0时，所求不等式的解集为 m|mx2m；当m 0时，所求不等式的解集为 m|2mxm.4解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x、y台，总利润是P,则 P=6x+8y,30 x+20y 3005x+10y 110约束条件为x - 0, y - 0 x N, y N可行域如图所示一.313P=6x+8y可化为y = 3x+1P,可看作一组斜率为 3的直线, 48431由图知直线y=-x+-P过点M时，纵截距最大这时 P也取最大值， 48解得M (4,9)由330 x+20y =300 5x+10y =110, Pna=6X 4+8X9=96 (百元)故当

7、月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润 9600元5解（I）证明：由题设 an书=4an -3n +1,得*an+-（n +1） = 4俎n）, nu N .又a1 -1 =1,所以数列 匕0 - n是首项为1,且公比为4的等比数列.（n）解：由（I）可知 ann=4n,，于是数列 匕0的通项公式为 TOC o 1-5 h z n_an =4+n.所以数列 a 的前n项和32、 .一 *（出）证明：对任意的nw N ,4n 卡1 (n+1)(n+2)4n 1 n(n + 1)Sn1 -4Sn+- 4 + TOC o 1-5 h z 32i 3212=(3n +n -4) 0,二国

8、r=1(n2)数列构成一个首项为1,公差为1的等差数列，.Sn =n11111111).:.一(_ _) .:._(_)- ( 32 3 52 5 72 2n -11_ n 2n 1 2n 1工 n 1000 /口 1000,1000_22当 n 2 时，bn=SnSn,= n (n1)=2n1(*)又 b1 = 6 =1,适合(*)式 ，bn =2n1( n 匚 N )bnbn 1(2n 一 1)(2n+1)TU-/)1 . 1 . 1 . 1=2(12n 1bb2b2b3b3b4bnbn 1Cn2bn =(1 -2n) 3n. anPn =(-1)M 3 + (-3)父32 +(-5)父3由Tn = 得n ,故满足 Tn 的最小正整数为 112. +(1 - 2n) M 3n 3Pn =(1)M32 +(-3)M33 +(-5)M3