MATLAB第二讲数值计算和符号计算

1、第二讲 数值计算和符号运算1.数值计算1.1 矩阵和数组基础创建矩阵元素标识矩阵操作矩阵函数1.2 矩阵和数组的计算1.3 多项式运算 MATLAB语言把多项式表达成一个行向量，该向量中的元素是按降幂排列多项式各项系数的，如果缺某次幂项，则该次幂项系数为。 f(x)=anxn+an-1xn-1+ a1x+a0 用行向量 p=an an-1 a1 a0表示。多项式 行向量可用polyval函数，计算多项式在变量为特定值的结果。1.3.1 多项式求值例2：计算x=0:0.5:3时，p(x)=x3+21x2+20 x值。解：p1=1 21 20 0;x=0:0.5:3;polyval(p1,x) 0

2、 15.3750 42.0000 80.6250 132.0000 196.8750 276.00001.3.2多项式求根 -求方程的解例3：p(x)=x3-6x2-72x-27 在MATLAB利用函数：roots解：p=1 -6 -72 -27r=roots(p)r =12.1229 -5.7345 -0.38841.3.3 部分分式展开利用residue函数来实现部分分式展开。语法：r,p,k=residue(B,A) 其中：B,A分别为分子、分母多项式系数行向量； r为r1,rn留数行向量； p为p1pn极点行向量； k为直项行向量。1.3.4 多项式乘除运算多项式的乘法语法：p=con

3、v(p1,p2)说明：p是多项式p1和p2的乘积多项式。多项式的除法语法：q,r=deconv(p1,p2)说明：p1被p2除，商为多项式q，余数式为r。1.3.4 多项式乘除运算（续）例4：a(x)=x2+2x+3; b(x)=4x2+5x;求c=a(x)*b(x)。解：a=1 2 3;b=4 5 0;c=conv(a,b)c = 4 13 22 15 0d,r=deconv(c,a)d = 4 5 0r = 0 0 0 0 0（1）字符串用字符数组来存储，以单引号 来界定。（2）常见的字符串函数： length(str):计算字符串的长度； double(str):查看字符串的ASCII码

4、; char(x):将ASCII码转换成字符串形式; strcmp(x,y):比较两字符串是否相同； strcat(s1,s2,):字符串级连函数; findstr(x,x1):查找x中是否有x1；（3）执行字符串： eval(str)命令 例1：str1=a=2*3; eval(str1) a=61.4 字符串（1）元胞数组的基本单元是元胞，每个元胞可存放不同类型（矩阵、数组、字符串等）的数据，以 来界定。（2）元胞数组的创建： 方法1：直接创建 如：A=THIS，3 4;ones(3),ONE，TWO方法2：由各元胞创建 如：A(1,1)=THIS A(1,2)=3 4 A(2,1)=on

5、es(3) A(2,2)=ONE，TWO (3)元胞数组元素内容的获取： X=A2,1 X=1 1 1; 1 1 1; 1 1 1 1.5 元胞数组（1）结构数组的基本组成是结构，每个结构都包含某一对象的多个域，以.来标识域。（2）结构数组的创建： 方法1：TU(1)=struct(name,曲线1，color,red,) 方法2：TU(1).name=曲线1； TU(1).color=red TU(1).shape=sin； TU(1).position=0 pi TU(2).name=曲线2； TU(2).color=blue TU(2).shape=cos； TU(2).position

6、=0 2*pi(3)结构数组元素内容的获取：用.号来获取 X=TU(2).shape X=cos1.6 结构数组1.7 数据分析遵循的原则： （1）如果输入是向量，则按整个向量进行 计算。 （2）如果输入的是矩阵，则按列进行运算。因此:一定要将需要分析的数据按列进行分类。若已有的矩阵是按行进行分类的，可用矩阵的旋转使矩阵变成按列进行分类函数名功能max(X)矩阵中各列的最大值。min(X)矩阵中各列最小值。mean(X)矩阵中各列平均值。std(X)矩阵中各列标准差，指各元素与该列平均值(mean)之差的平方和开方。median(X)矩阵中各列的中间元素。var(X)矩阵中各列的方差。C=co

7、v(X)矩阵中各列间的协方差。S,k=sort(X,n)沿第n维按模增大重新排序，k为S元素的原位置。1.7.1数据统计和相关分析函数名功能diff(X,m,n)沿第n维求第m阶列向差分。差分是求相邻行(列)之间的差，结果会减少一行（列）fx,fy=gradient(Z)对Z求x、y方向的数值梯度。sum(X)矩阵各列元素的和。cumsum(X,n)沿第n维求累计和cumprod(X,n)沿第n维求累计乘积trapz(x,y)梯形法求积分近似于求元素和，把相邻两点数据的平均值乘以步长表示面积。x为自变量，y为函数。cumtrapz(x,y,n)用梯形法沿第n维求函数y对自变量x累计积分。1.7

8、.2 差分与积分1.7.3 卷积和快速傅立叶变换-离散序列卷积Conv： 计算向量的卷积。 conv2：计算二维(矩阵或二维数组)卷积。deconv：解卷积运算。 快速傅立叶变换 fft：一维快速傅立叶变换。 ifft：一维快速傅立叶逆变换。课程导入求半径为5的圆的面积数值运算： r=5 s=pi*r2 s = 78.5398如果要求求解的精度保留到小数点后10位,怎样求解呢？符号运算是数值运算的扩展,为了得到更高精度的运算结果符号运算：syms s r s=pi*r2 r=5 s=vpa(subs(s),32) s =78.5398163397448 3096882 符号运算2.1 符号对象

9、的建立2.1.1 创建符号常量（sym是symbolic缩写）语法：sym(常量) 例1：创建数值常量和符号常量a1=2*sqrt(5)+pi %数值常量a2=sym(2*sqrt(5)+pi) %符号常量符号对象：是一种数据结构，用来存储代表符号的字符串，包括符号常量、符号变量和符号表达式，符号运算的结果也都是符号对象。 （1）使用sym命令创建符号变量： sym(arg,参数) %参数设置数学特性, 可为positive,real,unreal,可省略;符号表达式：sym(表达式) 注意:符号对象必须用单引号括起来MATLAB才能识别。例2： f =sym(sin(x)+5*x ) f 符

10、号表达式名 sin(x)+5*x 符号表达式 符号标识2.1.2 创建符号变量和表达式注意:常数与符号变量的相乘不能省*（2）使用syms命令创建：一个或多个符号变量的创建 syms(arg1,arg2,参数) syms arg1 arg2 参数例3：f1=sym(a*x2+b*x+c) %方法一 whos Name Size Bytes Class f1 1x1 146 sym objectGrand total is 12 elements using 146 bytessyms a b c x %方法二 f2=a*x2+b*x+c whosName Size Bytes Class a

11、1x1 126 sym object b 1x1 126 sym object c 1x1 126 sym object f2 1x1 146 sym object x 1x1 126 sym objectGrand total is 20 elements using 650 bytes注意:方法一只创建了符号表达式,没有创建符号变量;而方法二既创建了符号表达式,又创建符号变量.使用sym和syms命令创建A=sym(a,b;c,d) A= a, b c, dsyms f g h kB=f,g;h,k B = f, g h,k 2.1.3 创建符号矩阵例4:（1）数值运算保留8位有效位数,每

12、一次数值运算有一定的截断误差，重复的多次数值运算就可能会造成很大的累积误差；符号运算不进行数值计算，无截断误差。（2）符号运算可以得出完全的封闭解或任意精度的数值解。（3）符号运算的时间较长，而数值运算速度快。（4）数值运算中必须先对变量赋值；符号运算无须事先对变量赋值，但必须先定义，运算结果以标准的符号表达式形式给出。2.2.1 符号运算与数值运算的区别2.2 符号运算（1）基本运算符符号矩阵：“+”，“-”，“*”，“”，“/”， “”, “ ” 符号数组：“.*”，“./”，“.”，“.”, “. ”（2）关系运算符运算符只有“=”，“=”。2.2.2 符号运算中的运算符2.2.3 符号

13、运算中的函数运算（1）三角函数和双曲函数 除atan2外与数值运算(包括使用方法)相同。（2）指数和对数函数 没有log2和log10，其余与数值运算相同。（3）复数运算 没有提供相角的命令，其余与数值运算相同。（4）矩阵代数命令 与数值运算相同。例5： 求符号矩阵 的行列式值、共轭转置和特征值。 syms a11 a12 a21 a22A=a11,a12;a21,a22;det(A) %计算行列式值A %计算共轭转置eig(A) %计算特征值2.2.4 符号运算任意精度控制（1）设置默认的全局精度语法：digits(n) %n为期望的有效位数，默认 的为32位。（2）把单个对象s表示为n位有

14、效位数的符号对象语法：S=vpa(s,n) %n省略时按digits给定的 精度a1=2/3a1= 0.6667 %数值型a2=sym(2/3)a2=2/3digitsdigits=32 %默认的32位有理数型vpa(a2) ans =.66666666666666666666666666666667a3=vpa(2/3,15)a3=0.666666666666667 %VPA型例6：2.2.5 数值对象与符号对象的相互转换将数值对象转化为符号对象 格式：sym(s)或vpa(s),其中s为数值对象 例7： A = 2.5,1.8;1/1.6,3/5 B = sym(A)或B = vpa(A,

15、n)将符号对象转化为数值对象 格式：numeric(s)或double(s)或eval(s), 其中s为符号对象 例8：a1=sym(2*sqrt(5) a2=eval(a1) ans=4.47212.3.符号表达式的操作（1）当符号表达式中含有多个符号变量时，例如“f=x+y”，则只有一个变量是独立变量，其余的符号变量当作常量来处理。（2）若没有指定自由变量，MATLAB按如下规则选择自由变量：小写i和j不能做自由变量选择自由变量的顺序：首选x，没有x选择字母顺序离x最近的字符变量；若与x距离相同，则在x后面的优先。大写字母比小写字母都靠后函数确定自由变量： 语法：findsym(EXPR,

16、1)2.3.1 自由变量的确定2.3.2 符号表达式的函数操作合并、化简、展开等函数collect(f)：将表达式 f中相同幂次的项合并；factor(f)：将表达式 f因式分解；simplify(f)：利用代数中的函数规则对表达式化简；expand(f)：将符号表达式展开成多项式的形式反函数和复合函数finverse(f,v)：求指定变量v的函数f(v)的反函数compose(f,g,z)：求 f(x)和g(y)的复合函数f(g(z)2.3.3 符号表达式的替换subs函数用来对符号表达式中的符号变量或字符串进行替换，从而化简符号表达式。语法：（1）subs(s) %用给定值替换s中赋值的变

17、量（2）subs(s,old, new) s 为符号表达式； old 为旧符号变量； new 为新值或表达式；用subs函数对符号表达式 进行替换。例9：f=sym(x+y)2+3*(x+y)+5)x=5; f1=subs(f) f1 = (5+y)2+3*(5+y)+5 f2=subs(f,x+y,z) f2 = z2+3*z+5 2.4 符号方程求解代数方程代数方程的求解由函数solve实现：语法：solve(f) 求解符号方程f solve(f1,fn) 求解由f1,fn组成的代数方程组 常微分方程使用函数dsolve来求解常微分方程语法： dsolve(eq, cond, v) dso

18、lve(eq1, eq2, cond1,cond2, ., v)例10：1.求代数方程a*x*x+b*x+c=0的解 f=sym(a*x*x+b*x+c=0)solve(f)2.求微分方程y=x的通解，指定x为自由变量。dsolve( Dy=x ,x) %注意y的输入方法3.求微分方程y=1+y的特解，加初始条件y(0)=1,y(0)=0dsolve( D2y=1+Dy, y(0)=1,Dy(0)=0 )4.微分方程组的通解x,y=dsolve(Dx=y+x,Dy=2*x) 注意微分表达式和初始条件的输入方法。 2.5 符号微积分符号微分语法：diff(f) 求f对自由变量的一阶微分diff(f,v) 求f对符号变量v的一阶微分diff(f,v,n) 求f对符号变量v求n阶微分符号积分语法：int(f,v) 求表达式f的对符号变量v的不定积分int(f,v,a,b) 求表达式f的对符号变量v的在(a,b)范围内定积分例11：例12：2.6 符号积分变换F=fourier(f,t,w)求时域函数f(t)的傅立叶变换F(w)f=ifourier(F,w,t)求频域函数F(w)的傅立叶反变换 傅立叶(Fourier)变换及其反变换F=