阿罗不可能定理与偏好显示机制

1、 言论 流浪者的差别 没钱的流浪者叫做 “”； 有钱的流浪者叫做 “”。1第八章 公共品的公共提供（2）：阿罗不可能定理与偏好显示机制学习目的：掌握阿罗不可能定理的表述理解阿罗不可能定理的证明逻辑了解解决阿罗不可能定理的出路理解MDP过程和克拉克税制的原理2第一节 阿罗不可能定理一、定理的表述 在满足一系列合理的条件下，要想确定无疑地经由已知的各种个人偏好顺序推导出统一的社会偏好顺序一般是不可能的。 或： （要寻找这样一种决策机制，即它所产生的结果不受投票程序的影响，同时又不限制投票人的偏好以及进行的独立决策，并能最终将所有个人的偏好转换成一种社会的偏好，是不可能的。）3合理的条件（1）理性条

2、件（简称R条件） 一是完备性，指个人的偏好应能完全排序，比如，对任意两个备选方案x和y，任何人或者认为x比y好，或者认为x不如y好，或者认为x与y无差异； 二是传递性，上一节已有解释。 （2）帕累托原则（简称P条件） 指集体成员的偏好与集体整体的偏好之间的关系应是帕累托式的，即，若社会每个人都认为x比y好，则集体选择的结果也是x比y好。4 （3）无限制领域条件（简称UD条件） 指不能限制个人选择的自由，应允许集体成员持有任何可以想得到的偏好顺序，不能拒绝那些拥有特殊偏好的个人参与决策，不能将他们的偏好顺序从集体决策过程中排除，不能剥夺他们的投票权。（4）无关备选方案的独立性（简称IIA条件）

3、指两备选方案的集体偏好顺序仅仅依赖于个人对这两备选方案的偏好顺序，而与个人对其他方案的偏好无关，亦即，集体对x和y的选择仅仅由其成员对x和y的偏好所确定，而与其他方案如z无关。5（5）非独裁性 指不应有任何人完全控制集体选择的过程，即，不应有这样一个人，他对于每一对备选方案的偏好顺序比如说是xy，则集体也必须选择xy，即使其他人的偏好顺序刚好相反（ xy） 以上五条件被认为是应被民主社会普遍接受的基本条件，所以称之为合理的条件，但任何集体决策过程都无法保证能同时满足上面所有的合理条件。下面试予以简单证明。6二、定理的简要证明(见P136) 先了解定理证明的思路，然后分析教材的证明过程的严谨性。

4、 源自维克里的证明思路：（1）首先定义对于备选方案x和y的决定性集合，记作D，它指的是，只要这个集合中的所有成员都偏好xy，即使其他人都偏好y x，集体也将选择xy； （2）假定D中的所有成员都偏好xy z，而所有非D中的成员（构成集合N）都偏好y z x（U条件）； （3）由（2）及决定性集合定义，集体也将选择xy；7 （4）由（2）及帕累托原则（P条件），所有个人都偏好y z，意味着集体将选择y z ； （5）由上面（3）、 （4）及理性条件传递之公理（R条件），集体将选择x z ； （6）由（2）知，只有D中成员偏好x z ，虽然前面只定义D为对x和y的决定性集合，但是，由无关备选方案的

5、独立性（I条件），集体对于备选方案x与 z的选择仅仅由其成员对x和z的偏好所确定，而与方案y无关，因此，可由决定性集合的定义知， D也是对于备选方案x和z的决定性集合； 8（7）重复（1）到（6）， D对于每一对备选方案都可以是决定性的；（8）由非独裁性条件（ND条件），集合D中应包含两个或更多的个人； （9）可将集合D分为两个非空的子集A和B，并设A中的所有成员都偏好xy z ，B 中的所有成员都偏好z xy ，非D集合N中所有成员的偏好仍为y z x； （10）由于D中成员被分为两类，上面（4）不再成立，即，需重新考虑集体在y 和 z之间的选择，由于不知集合A、B、N中各有多少成员，所以，

6、有必要分别考虑可能出现的三种结果： y z ； y z ； y 与 z无差异。 9（11）先考虑集体选择的结果为y z 或y 与 z无差异的情形，由D的定义，已知xy ，再按传递性公理，则有集体偏好x z ，而只有D的子集A中的成员才有此偏好（由9知） ，依决定性集合的定义可知， A为对x和z的决定性集合；（12）再考虑集体选择的结果为y z的情形，又（9）中的假定得知，只有D的子集B中的成员才有此偏好，依决定性集合的定义可知， B 为对x和z的决定性集合；？（应为对z和y）（13）由（11）、 （12）及对A、 B 的假定可知，原来的决定性集合D可以缩小为或A或 B ；10（14）无论新得到

7、的决定性集合是A还是 B ，重复（8）到（13），可以进一步缩小决定性集合的成员数，直到只剩下一个成员为止，而一旦如此，就意味着这一个成员的集合将成为决定性，亦即出现独裁，非独裁性（UD）条件遭到破坏。 致此，阿罗所给出的前四个合理条件（教材P135之R、P、UD、I）与第五个合理条件（ND）出现了冲突，阿罗不可能定理得到了证明。11三、定理的意义与摆脱困境的思路 （一）阿罗不可能定理的理论意义： 集体决策可能是无效的，以此为基础的民主制度并不合理。 民主制度要正常运行，要求人们的偏好实质上是一致的。 由此形成福利经济学第三基本原理： 社会选择理论对于加总个人偏好得到社会福利函数的过程进行了剖

8、析，指出：基于个人偏好次序（而不是基数效用）和民主社会的要求，可能找不到合意的社会福利函数。12（二）阿罗不可能定理的现实意义： 不应该高估民主的集体选择过程的效率，当人们在面对市场失灵转向政府时，对于政府行为的合意性应保持清醒的认识。即指出了政府或公共部门的运行存在缺陷或失灵。13二、摆脱困境的思路 简单多数表决制和阿罗的社会选择过程都只考虑个人的偏好次序而不考虑具体的偏好强度，忽视了关于个人偏好的许多重要资料，因此考虑偏好强度的投票办法就成为摆脱困境的重要思路。但学者们发现，许多考虑了偏好强度的投票办法往往又会违背阿罗的无关备选方案的独立性条件（IIA条件），因而不够理想，于是寻根问底地提

9、出：为什么不能放松阿罗不可能定理的条件呢？14 例如，放松无关备选方案的独立性条件；放松非独裁性条件（若存在善意的独裁者，则公共品的公共提供将是有效率的，但需要一些偏好显示机制），等等。15 自由新解 所谓自由就是自私的理由。16第二节 偏好显示机制 一、MDP过程 这是由马林沃德等学者最早提出的一种通过善意的独裁者（可视之为中央政府）有效配置公共品的机制。这一机制应能有效激励社会成员真实显示其对公共品的偏好。 （一）过程的描述 MDP过程向参加者保证，每位真实显示了其偏好的人都不会由于这一合作行为而被伤害，最坏的结果是停留在以前的公共水平带给人们的福利状态下，而如果每个人合作，就将出现帕累托

10、17 改善，直到收敛于帕累托最优。 该过程的具体运行机制如下： 考虑简单的两人-两商品的模型，假定公共品生产成本不变，以私人品为标准物品，设公共品生产的边际成本等于1；令参与者A和B向计划者申报他对于公共品数量增加一单位所愿做出的支付a和b，也就是个人消费公共品与私人品的边际替代率；这一申报当然可真可假，计划者在参与者声称的边际替代率之和大于边际转换率（这里等于边际成本）时，即，18 在满足a+ b1时增加公共品的生产， 在满足a+ b1，二人所愿进行的支付大于公共品的生产成本，可在原来的基础上增加公共品数量， x 0，这时要求二人的收入必须减少，即， ya0，yb 0；由假定可知，二人收入的

11、减少刚好可等于多生产公共品的成本，即： -（ ya+yb）= x ； 请大家由式81、式82推导出这个结果。20 当a+ b1，二人所愿进行的支付小于公共品的生产成本，可在原来的基础上减少公共品数量， x 0，yb 0；由假定可知，二人补贴的增加刚好可等于少生产公共品的成本，即：（ ya+yb）= -x 可见，在这一机制中，计划者刚好收取够用的钱，也刚好发放节约下来的钱，计划者不谋求自己的利益。21 上述公共品生产的调整将一直进行到 a+ b=1为止，而这正是公共品有效提供的条件：MRS=MRT，帕累托最优实现。 （二）对真实显示偏好的激励 在这个机制里面，参与者会发现，真实显示偏好从来不会使

12、他的状况恶化，而只会使他的状况变好，因此，参与者能够得到说真话的激励。分析如下： 设个人A说真话， a=MRSa；个人B少报其偏好， b 0时 这时，a+ b-10， 即 a+ b-1-2 a -2 a ， 两边同乘以 -x /2， 号变为，亦即：-x（ b a -1）/20时所做的支付小于他的真实意愿，存在一个消费者剩余，A的状况可以得到改善。23（2） x 0时 这时，a+ b-1 0， 即 a+ b-1-2 a - a x 此式左边为个人A可从公共品少生产x中得到的补贴，在数值上等于其收入的增加；右边为个人A对于少生产x的真实偏好，即他愿索取的补偿；此式表明说真话的A在x 0时 这时：a

13、+ b-10， 即 ： a+ b-1-2 b -2 b ， 亦即：-x（ a- b -1）/2 b x， 此式左边为个人B须为公共品多生产x须做的贡献，在数值上等于其收入的减少；右边为个人B虚假申报的偏好；说明只要公共品数量可以增加，越低申报越对自己有利（收入减少得越 少）。不过这个结论不总是对的。如果一旦b过低了，反而会使个人的状况恶化。26（2） x 0时 若申报的b过低，会导致a+ b 1 这时：a+ b-1 0， 即： a+ b-1-2 b -b x， 此式左边为个人B可从公共品少生产x中得到的补贴，在数值上等于其收入的增加；右边为个人B 虚假申报的偏好（低于真实意愿），说明MDP过程

14、只能保证对B的补偿大于过低申报的b，而不能保证按其真实意愿加以补偿。这点被认为可以抑制个人说谎的动机。27二、设计税制以显示偏好（克拉克税） 这一机制最早被认为由维克里提出，后来经由克拉克等人的阐发而日臻完善，简称为克拉克税。（一）基本思路 1、关键人物的确定 这一机制从一独特的角度入手设计对参与者的激励：并不需要关注所有参与者不真实显示偏好的行为，如果他们是否说谎对最终结果没有影响，那么，完全不用去管他。真正需要关注的是28那些其行为会对最终结果产生决定性影响的人，他们的评价值总会使总的评价值发生大于或小于另一公共品评价值的变化，从而会对社会决策的做出产生关键性的影响。可称这样的人物为关键人

15、物。 关键人物对于结果的这种敏感性和重要性决定了应针对他进行有效的激励，克拉克税的设计就只对“关键人物”征税，而对于一般人物不征税。但由于每个人都有可能成为关键人物，所以，在税制设计好以后，每人将都能真实地显示对于公共品的偏好。29 2、规则（1）该税制的设计只为激励人们真实显示偏好，公共品的生产成本由其他方式筹资弥补；（2）由个人申报对于有关方案的偏好强度，设可以用个人愿意支付的最大货币单位表示；（3）将各人对各方案的偏好强度相加，数值大者为获胜方案；（4）个人只有在成为关键人物时才需缴税；（5）缴税的数额并不等于他所申报的大小，而是等于其他人在没有他申报时所能获得的净收益，或者，等于有他申

16、报时其他人的净损失。30（这样设置的目的是为了显示真实偏好，公共品最终的生产成本与该税收收入无关，因为这种税的收入有可能高于或低于公共品的生产成本） 可举一例理解这一规则，如教材P143之 表81（下图）： 设有两备选方案P和S； 三投票者A、B、C； 三人从两方案中得到的满足程度的大小可用 图中数字反映。3132 由前述规则，方案P加总各人偏好强度后的数值（50）大于方案S（40），故获胜方案为P。 下面考虑如何征税？ A、C为关键人物，征税。 A：无他时其他人可得到的净收益为？ 40-20=20； 有他时其他人的净损失为？ -40+20=-20 故A的税额为2033 C：无他时其他人可得到

17、的净收益为？ 40-30=10 有他时其他人的净损失为？ 30-40=-10 故C的税额为10 B：不是关键人物，无需纳税。 3430020040020010504030353、对真实显示偏好的激励 为什么说克拉克税制可以确保人们显示其真实偏好呢？ （1）关键人物过高申报是没有意义的，只要其申报值已使他成为关键人物，再夸大自己从该方案中的受益对最终结果不会再有影响。如A只要他所申报的数值大于21（21+2040），已可使他成为关键人物，既然夸大无益，理性的关键人物当然不会过高申报。 （2）关键人物过低申报有可能使他成为非关键人物，失去决定性的投票权，从而导致符合他最大利益的方案不能获胜而遭受损

18、失。如A36 若所申报的数值低于20，则方案P将被方案S击败，A虽可免缴20元税收，但却损失30元的收益，得不偿失，因此，理性的关键人物当然也不会过低申报。（3）非关键人物过高申报有可能使他成为关键人物而遭课税，并且税额大于其实际收益，以B为例，若他夸大收益超过51，则他所偏好的方案S获胜，但他须纳税50(30+20)，大于他的真实收益40，因此理性的非关键人物不会过高申报。（4）非关键人物过低申报也是没有意义的，如果其过低申报的话将会使关键人物少缴税。以B为例，若他低报收益为30，因其申报早已不具37 关键性，所以不会改变最终结果，并且还可能因此而使别人少缴税（如A原需缴40元-20元=20

19、元的税，现只需缴30元-20元=10元的税，比原来少缴10元的税）。虽然这里可以假定个人利己而不损人，但却不能假定他还会好到愿意利他。因此，理性的非关键人物当然也不会过低申报。 综合以上四点，不论是关键人物还是非关键人物，都没有过高申报和过低申报其真实偏好的动机，因此，在这一税制之下，对公共品的偏好能够得到真实显示。38（二）克拉克税的缺陷1、预算剩余的处理（预算不足的补充） 如前所述，克拉克税并不用来弥补生产成本，因此实行此机制会带来预算剩余，处理这部分预算剩余是个麻烦事：（1）若以某种形式返还，则被认为会影响申报，所以，有专家建议，把这部分钱浪费掉； （2）若真就浪费掉，则显然违背效率原则，因预算剩余的使用完全可以带来帕累托改善；39（3）虽然专家发现，随投票者数目的增加，克拉克税的数额会大大下降，但人们又担心，如果说谎的成本过小，恐怕难以保证有充分的激励使人们将其偏好真实地显现出来。 2、策略行为（可能产生勾结行为） 某些成员可能结成联盟，夸大从其偏好的方案中可以得到的好处，使该方案获胜。试举例说明：设在前例基础上引入第四人D，他从方案S中获得的好处为5，而P方案为0，这时，B和D可以联盟共同夸大从方案S中获得的好处各为50，从而使方案S获胜，双方税额可仍为0。（50-30