高中数学立体几何

1、第13讲立体几何修典型真题研近2017 全国卷 I如图 M4 13-1,图 M413-1在四棱锥 P-ABC珅 AB/ CQ1 / BAPN CDP90 .证明:平面PABL平面PAD若PA=PD=AB=DCAPD=0。，且四棱锥 P-ABCD勺体积为-,求该四棱锥的侧面积.试做命题角度证明垂直的解题策略证明线面垂直或者面面垂直白关键是证明线线垂直，进而利用判定定理或性质定理得到结论.证明线线垂直的常用方法：利用特殊图形中的垂直关系 ；利用等腰三角形底边中线的性质；利用勾股定理的逆定理；利用直线与平面垂直的性质 .2016 全国卷 田如图M4 13-2,D图 M413-2四棱锥 P - ABC

2、用,PA1底面 ABCfAD/ BCAB=AD=AC=PA=B8M为线段 AD上一点，AM2MDN 为PC的中点.证明:MN/平面PAB(2)求四面体N - BCM勺体积.试做旧命题角度证明平行的解题策略证明线面平行的一般思路：先证明线线平行(用几何体的特征、中位线定理、线面平行的性质 定理或者构造平行四边形、寻找比例式等证明两直线平行 ，再证明线面平行(注意推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误).2016 全国卷 D如图 M4 13-3,图 M413-3菱形ABCD勺对角线 AC与BD交于点Q点E.F分别在ADCD上,AE=C|EF交BD于点H.将4DEF 沿EF折到 D

3、EF的位置.(1)证明 ACL HD;若 AB=5,AC：6AE=,OD=2 一,求五棱锥 D-ABCFE的体积.命题角度折叠问题证明折叠问题中白平行与垂直，关键是分清折叠前后图形的位置关系和数量关系中的变与不变.一般地，折叠前位于“折痕”同侧的点、线间的位置关系和数量关系折叠后不变，而折叠前位于“折痕”两侧的点、线间的位置关系折叠后会发生变化.对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决.考点考法探究卜 二二解答i平行、垂直关系的证明Eli如图M413-4,在三柱 ABC- ABC中,四边形AABB为菱形，AB=AC=BCE,F分别为 ABi,CG,AA 的中点.(

4、1)求证:DE/平面AiBC (2)若平面ABC平面AABB,求证:ABLCF.图 M413-4听课笔 记【考场点拨】高考常考平行、垂直关系的解题策略：(1)证明空间中的平行、垂直关系的常用方法是转化，如证明面面平行时，可转化为证明线 面平行，而证明线面平行时，可转化为证明线线平行，但有的时候证明线面平行时，也可先证明面面平行，然后就能根据定义得出线面平行.(2)在证明时，常通过三角形、平行四边形、矩形等平面图形去寻找平行和垂直关系【自我检测】 如图M4 13-5所示，四边形 ABC西菱形，AF=2,AF/ DEDEL平面ABCD.(1)求证ACL平面BDE.当DE为何彳1时，直线AC/平面B

5、EF?请说明理由.图 M413-5,解答2体积、距离的计算2 如图 M413-6,在四麴t P - ABC珅，底面 ABC四菱形，/BAD60 ,PA=PD=AD=( M在线段PC上，且PM2MCN为AD的中点.(1)求证ADL平面PNB (2)若平面PADL平面ABC球三麴隹P - NBM勺体积.图 M413-6听课笔记【考场点拨】高考常考体积和距离问题的解题策略(1)求空间几何体的体积的常用方法有换底法，转化法，割补法.换底法的一般思路是找出几何体的底面和高，看底面积和高是否容易计算，若较难计算，则转换顶点和底面，使得底面积 和高都比较容易求出；转化法是利用一个几何体与另一个几何体之间的关

6、系，转化为求另一个几何体的体积；对于较复杂的几何体，有时也进行分割和补形，间接求得体积.(2)求立体几何中的距离问题时常利用等体积法，即把要求的距离转化成一个几何体的高,利用同一个几何体的体积相等，转换这个几何体的顶点去求解.【自我检测】1.如图 M413-7,在三柱 ABC- ABC 中，/BCA90 ,AGL 平面 AiBC.证明:平面ABC_平面ACCi;(2)若BC=AC2AiA=AC求点B到平面AiBC的距离.图 M413-72.在如图M4 13-8所示的四棱锥 P - ABC珅，四边形ABC西菱形，/ DAB60 QPA明正三角形.(1)证明 ABL PD若PDAB四棱锥P - A

7、BCD勺体积为16,求PC的长.图 M413-8解答3翻折与探索性问题位13 2018 全国卷I如图M413-9所示，在平行四边形 ABCW ,AB=AC3：,Z ACM90 ,以AC为折痕将AC晰起，使点M到达点D的位置，且ABL DA.证明:平面ACD_平面ABC(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP=DQDA求三棱锥Q- ABP的体积.图 M413-9听课笔记【考场点拨】 TOC o 1-5 h z 高考中翻折与探索性问题的解题策略：(1)翻折问题有一定的难度，在解题时，一定要先弄清楚在翻折过程中哪些量发生了变化 哪些量没有发生变化.一般情况下，长度不发生变化，而位置关系发

8、生变化.再通过连线得到三 棱锥、四棱锥等几何体，最后把问题转化到我们较熟悉的几何体中去解决(2)对于探索性问题，一般根据问题的设问，首先假设其存在，然后在这个假设下进行推理 论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾就否定假设.【自我检测】1.如图M4 13-10所示，在矩形ABC丽,AB=2ADM DC勺中点，将ADM& AM|f起,使平面ADM ，平面ABCM口图M4 13-10所示.(1)求证:平面BMD平面ADM(2)当AB：2时，求三棱锥M- BCDW三麴t D- ABM勺体积比.图 M413-102.如图 M413-11 ，在四边形 ABC用,ABARAD/

9、BCAD=6,BC2AB=4,E,F分另在 BCAD上,EF/AR现将四边形 ABEF& EF折起,使平面ABEFL平面EFD0口图M4 13-11所示.(1)若BE=I,在折叠后的线段 AD上是否存在一点 P,且 =入，使得CP/平面ABEP若存在, 求出入的值;若不存在，说明理由.(2)求三棱锥A - CDF勺体积的最大值.图 M413-11第13讲立体几何典型真题研析1.解:(1)证明：由已知 /BAPN CDP=0 ,# ABI ARCDL PD.由于 AB/ CtM ABI PD从而 ABL 平面 PAD.又AB?平面PAB所以平面 PABL平面PAD.在平面PADfMPE! AD足

10、为E.由(1)知ABL平面PA佻 ABL PE可彳导PE1平面ABCD.设AB=x则由已知可得 AD= x,PEx,故四棱锥P-ABCD勺体积VP-abc=AB- AD-PE=x3. 3由题设得-X故x=2.从而 PA=PD2=,AD=BC2= 一,PB=PC2= 一，可得四棱锥P-ABCD勺侧面积为-PA PD+PA AB+PD DC+BCsin 60 =6+2 -.解:(1)证明：由已知得 AM=AD：2,取BP的中点T,连接ATTN.由N为PC的中点知TN/ BC且TN=BC2.又AD/ BC所以TN AM所以四边形 AMN为平行四边形，于是MM AT.因为AT?平面PABMN?平面PA

11、即以MN平面PAB.(2)因为PAL平面ABCCN为PC的中点，所以N到平面ABCD勺距离为-PA.取BC的中点E,连接AE.由AB=ACM导A已BCAE=-= 一.由AM/ BC导M到BC的距离为 一,故Sabc=X 4X -=2 一.所以四面体N - BCM勺体积Vn - bc=- X S abcMX 一= .解:(1)证明：由已知得 ACL BDAD=CD.又由 AE=CF导一=一，故 AC/ EF.由此得 EFL HDEU HD,所以 ACL HD.由EF/ AC得一由 AB=5,AC：6 得 DO=BO=-=4,所以 OH=,DH=DH：3,于是 OD2+OH=(2 一)2+12=9

12、=DH故 ODL OH.由(1)知 ACL HD,又 ACL Bt?BDn HD=H所以 ACL 平面 BHD；于是 ACL OD, 又 ODU OHA8 OH=0f以 ODU 平面 ABC.由一得EF=.五边形 ABCFE勺面积 ShX6X8-X-X3=.所以五棱锥 D- ABCFE勺体积 V=xX2 一二 考点考法探究1 -解答1例1证明:(1)设AB,AiB相交于点O连接ODOC.因为OD分别为ABAB的中点，所以OD/ BB,且OD=BB.因为 BB/ CC,BB=CC,E是 CC的中点，所以 CE BB,且 CE=BB,所以CE/ ODCE=O所以四边形ODEC1平行四边形，所以O。

13、DE.又OC?平面ABCD日平面ABC所以DE/平面ABC.(2)因为四边形AABB为菱形，所以ABXAB.取AB的中点M连接MFMC.因为MF分别为ABAA的中点，所以 MF/ ARAB, MF.因为ABC等边三角形，所以CMAB.因为平面 ABCL平面AABBCM1平面ABCF面ABCP平面AABB=AB所以CML平面AABB,所以CML AB.又Mm。吊=惭以AB,平面CMF所以ABXCF.【自我检测】解:(1)证明：因为DEL平面ABCfAC?平面ABCD所以ACL DE.在菱形 ABCW ,ACL BD又 DEH BD=D曰平面 BDEBDy平面 BDE.所以ACL平面BDE.当DE

14、4时，直线AC/平面BEF1由如下在菱形ABC珅，设AC BD于点Q取BE的中点 M连接QMFMW QM/BDE勺中位线,所以 QM/ DE且 QM=DE=2,又 AF/ DEAF=DEZ所以 QM AF且 QM=AF.所以四边形AQM的平行四边形，则AC/ FM.因为AC?平面BEFFM?平面BEF所以直线AC/平面BEF.解答2例2 解:(1)证明：:PAmP小为AD的中点，：PNL AD.底面ABC西菱形，/BAD0 ,N为AD的中点，：BNL AD. PNn BN=N .AD1平面 PNB.(2) .平面 PADL 平面 ABCDF面 PAm 平面 ABCD=ADNL AQPN?平面

15、PAD.PNL 平面 ABCD：pnl NB又 pa=pd=ad= .pn=nb,S pnBF- X X =-.ADL 平面 PNEBAD/ BC BC1平面 PNB.PM2MC V p - nbMFV - pne= Vd - pnB=- X X X 2=- ,三棱锥P - NBM勺体积为-.【自我检测】.解：(1)证明：:AC，平面 AiBC：AC，BC.Z BCA=0 ,BBCA AC又 AS AC=A：BCL 平面 ACCA.又BC?平面ABC：平面ABCL平面ACS.(2)取AC的中点D,连接ADBC,如图所示.,.AiA=AC,.,.AiD AC.又平面 ABCL平面AC(A,平面A

16、BCP平面ACCA=ACAD?平面ACCA, AiD，平面 ABC. AC,平面 ABC：AC，AC：四边形ACCi为菱形，AA=AC.又人八二从6：4人八。是边长为2的正三角形，：AiD=,:=_X2X2X -二2 一.-设点B到平面ABC的距离为h,贝U -=-=一=-h.又 BCLACBC2,AC=2,：=2,：h二一.所以点Bi到平面ABC的距离为 一.解:(i)证明:取AB的中点Q连接PQDOBD如图所示.四边形 ABCM菱形，/DAB60。， .ABM正三角形，：DA二DB.DQL AB.PAB为正三角形，：PQL AB又 V D。PO=(PC?平面 POUDC?平面 POD AB

17、L 平面 POD,. PD?平面 POD - -ABL PD.设AB=2x,则PD=-x.在正三角形 PA珅,PO=-x,同理DOx,.PO+O作pD,PO_ OD又 PO_ ABDS AB=QD。平面 ABCAB?平面 ABCD POL平面 ABCDV P-ABC= X 2 x2 X -x=16,：x=2则 PD：2 -,CD=AB=. AB/ CDAB! PD：CDL PD;PC=2 一.解答3例3 解:(1)证明：由已知可得，/BAC90 ,BA!AC.又BAL AD所以AB1平面ACD.又AB?平面ABC所以平面 ACD_平面ABC.(2)由已知可得，DC=CM=ABDA=3 一.又

18、BP=DQ=DA以 BP=2 一.作QaA时足为E,则QE -DC.由已知及(1)可知DCL平面ABO以QEL平面ABCQE=.因此，三棱锥 Q - ABP勺体积为 M-AB=XQEXSB=X1X-X3X2 sin 45 =1.【自我检测】1.解:(1)证明：在矩形 ABC丽,AB=2ADM为DC的中点，. ADg BCMTB是等腰直角三角形，且/ ADM90。，/ BCM90。，： BML八则起后这一垂直关系不变又平面 ADM_平面ABCMF面ADM平面ABCM=AffiM 平面ABCMBM平面ADM.又BM?平面BMD .平面BMD_平面 ADM.(2)如图所示，取AM勺中点N,连接DN.

19、 DA=DM DNL AM平面 ADM_ 平面 ABCMF面 ADM 平面 ABCM=ADN?平面 ADMTDNL 平面 ABCM.AB=2, ： AD=DM=CM=CBM=BM=，： DN=-,.Sabc=CM- CB=,8ab=AM. mb=,/. Vm - BC=V)- BCI=-Sa BCM DNt,VD - ABM=-SaABM- DN=-,-=-.2.解:(1)在折叠后的图中，过C作CGL FD交FD于G过G作GPL FD交ADT P,连接PC.在折叠前的四边形 ABC丽,EF/ ABABL AD所以EF AD.折起后DFL EF所以CG/ EF又平面 ABEF_平面EFDCF面ABEF平面EFDC=E所以FD1平 面 ABEF.又 AF?平面 ABEF听以 FD AF所以 PG/ AF,又 BE=I,所以 FG=EC=GD=,故=.因为CGD PG=fFn AF=F所以平面CPG平面ABEF因为CP?平面CPGf以CP/平面ABEF.所以在线段 AD上存在一点P,且 =-，使得CP/平面ABEF.(2)因为AFL EF平面ABEF_平面EFD面ABEW平面EFDC=E所以AFL平面EFDC.设 BE=X0 xW4),所以 AF=xFD=6-x,又 CG=A主所以 VA-C