2020春考数学模拟题及答案

1、2020春考数学模拟题设集合A=1,2,3,集合B=3,4,则AUB二1,2,3,4【考点】并集及其运算.【分析】根据集合的并集的定义求出A、B的并集即可.【解答】解：集合A=1,2,3,集合B=3,4,则AUB=1,2,3,4,故答案为：1,2,3,4.【点评】本题考查了集合的并集的定义以及运算，是一道基础题.不等式|x-1|V3的解集为（-2,4）.【考点】绝对值不等式的解法.【分析】根据绝对值的性质去掉绝对值，求出不等式的解集即可.【解答】解：|x-1|V3,.-3Vx-1V3,-2VxV4,故不等式的解集是（-2,4）,故答案为：（-2,4）.【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，是一

2、道基础题.若复数z满足2z-仁3+6i（i是虚数单位），则z=2-3i【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【解答】解:远-1=3+6i,2匚二姑紐，则2二戈+夯，z=2-3i.故答案为：2-3i.【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.TOC o 1-5 h z1兀1若，则U= HYPERLINK l bookmark2 o Current Document ：32【考点】运用诱导公式化简求值.【分析】由已知利用诱导公式即可化简求值.【解答】解:匚罰二寺，.兀i1二-cosa=.故答案为：-言.【点评】本题主要考查了诱

3、导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题.若关于x、y的方程组，无解，则实数a二6.I旳+且【考点】根的存在性及根的个数判断.1k+2v=4【分析】把方程组无解转化为两条直线无交点，然后结合两直线平行3工+ay=6与系数的关系列式求得a值.(s+2y=4【解答】解：若关于x、y的方程组无解，3x-l-ay=6说明两直线x+2y-4=0与3x+ay-6=0无交点.解得：a=6.故答案为：6.【点评】本题考查根的存在性与根的个数判断，考查数学转化思想方法，是中档题.若等差数列a的前5项的和为25,则a+a=10.n15【考点】等差数列的前n项和.【分析】由等差数列前n项和公式得主二且十互)=2

4、5，由此能求出a+a.【解答】解：等差数列a的前5项的和为25,nTOC o 1-5 h z=25,2a+a=25X-=10.15故答案为：10.【点评】本题考查等差数列中两项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用.若P、Q是圆X2+y2-2x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为2.【考点】直线与圆的位置关系.【分析】圆X2+y2-2x+4y+4=0，可化为(x-1)2+(y+2)2=1，|PQ|的最大值为直径长.【解答】解：圆X2+y2-2x+4y+4=0，可化为(x-1)2+(y+2)2=1，P、Q是圆X2+y2-2x+4y+4=0上的动点，|PQ|的最

5、大值为2,故答案为2.【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，比较基础.8.已知数列aj的通项公式为务二叫,则【考点】等比数列的前n项和；极限及其运算.【分析】利用等比数列的求和公式，结合极限，即可得出结论.【解答】解：=二，3故答案为：【点评】本题考查等比数列的求和公式，考查极限方法，属于中档题.若的二项展开式的各项系数之和为729,则该展开式中常数项的值为x160.【考点】二项式系数的性质.【分析】令x=1，由题意可得：3n=729，解得n.再利用二项式定理的通项公式即可得出.【解答】解：令x=1，由题意可得：3n=729，解得n=6.展开式的通项公式为：T=2rCrX6-2r，r+

6、16令6-2r=0，解得r=3，其展开式中常数项=8X20=160，故答案为：160.【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.设椭圆的左、右焦点分别为F、F,点P在该椭圆上，则使得AFFP1212是等腰三角形的点P的个数是6.【考点】椭圆的简单性质.【分析】如图所示，当点P与短轴的顶点重合时，FFP构成以FF为底边1212的等腰三角形，此时有2个.当FFP构成以FF为一腰的等腰三角形时，共有4个.1212【解答】解：如图所示，当点P与短轴的顶点重合时，FFP构成以FF为底边的等腰三角形，1212此种情况有2个满足条件的等腰AFFP；12当FFP构成以FF为一腰

7、的等腰三角形时，共有4个.1212以FP作为等腰三角形的底边为例，2VFF=FP，121点P在以F为圆心，半径为焦距2c的圆上1因此，当以F为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，1存在2个满足条件的等腰AFFP.12同理可得：当以F为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足2条件的等腰FFP.12综上可得：满足条件的使得FFP是等腰三角形的点P的个数为6.12故答案为：6.【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、等腰三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.11.设a、a、a为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a-a|+|a-TOC o 1-5

8、 h z126123a|+|a-a|=3的不同排列的个数为48.456【考点】排列、组合的实际应用.【分析】根据题意，分析可得需要将1、2、3、4、5、6分成3组，其中1和2,3和4,5和6必须在一组，进而分2步进行分析：首先分析每种2个数之间的顺序，再将分好的三组对应三个绝对值，最后由分步计数原理计算可得答案.【解答】解：根据题意，若|a-a|+|a-a|+|a-a|=3，则|a-a|=|a-a|=|a12345612345-a|=1，6需要将1、2、3、4、5、6分成3组，其中1和2,3和4,5和6必须在一组，每组2个数，考虑其顺序，有A2种情况，三组共有A2XA2XA2=8种顺序，222

9、2将三组全排列，对应三个绝对值，有A3=6种情况，3则不同排列的个数为8X6=48;故答案为：48.【点评】本题考查排列、组合的应用，注意分析1、2、3、4、5、6如何排列时，能满足|a-a|+|a-a|+|a-a|=3.12345612.设a、bWR，若函数在区间（1,2）上有两个不同的零点，则fK（1）的取值范围为（0,1）.【考点】函数零点的判定定理.【分析】函数在区间（1,2）上有两个不同的零点，即方程X2+bx+a=0 x在区间（1,2）上两个不相等的实根,-4b4a1+卅：04+2bH-a0104-F2b+a0画出数对（a,b）所表示的区域，求出目标函数z=f（1）=a+b+1的范

10、围即可.【解答】解：函数巴g十十血区间（1,2）上有两个不同的零点,-4b4a4+2bH-a0即方程X2+bx+a二0在区间（1,2）上两个不相等的实根,2-b2-4a04-F2b+a0如图画出数对（a,b）所表示的区域，目标函数z=f（1）=a+b+1z的最小值为z二a+b+1过点（1,-2）时,z的最大值为z二a+b+1过点（4,4）时f（1）的取值范围为（0,1）故答案为：（0,1）l-a+j=O【点评】本题是函数零点的考查，涉及到规划问题的结合，属于难题.二.选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)函数f(x)=(x-1)2的单调递增区间是()A.0,+x)B.1,+x)C.(-g,

11、0D.(-g,1【考点】函数的单调性及单调区间.【分析】根据二次函数的性质求出函数的递增区间即可.【解答】解：函数f(x)的对称轴是x=1,开口向上，故f(X)在1,+8)递增，故选：B.【点评】本题考查了二次函数的性质，是一道基础题.设aWR,“a0”是“”的()条件.aA.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分也非必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】根据充分必要条件的定义判断即可.【解答】解：由，解得：a0,a故a0”是“”的充要条件，a故选：C.【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题.过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（

12、）A.三角形B.长方形C.对角线不相等的菱形D.六边形【考点】平行投影及平行投影作图法.【分析】根据截面经过几个面得到的截面就是几边形判断即可.【解答】解：过正方体中心的平面截正方体所得的截面，至少与正方体的四个面相交，所以不可能是三角形，故选：A.【点评】解决本题的关键是理解截面经过几个面得到的截面就是几边形.如图所示，正八边形AAAAAAAA的边长为2,若P为该正八边形边上的12345678动点，则的取值范围为（）A.0肝6.；门B.W.MCD.L-8-6.2【考点】平面向量数量积的运算.【分析】由题意求出以A为起点，以其它顶点为向量的模，再由正弦函数的单1调性及值域可得当P与A重合时，码

13、止才人*取最小值，求出最小值，结合选项8得答案.【解答】解：由题意，正八边形AAAAAAAA的每一个内角为135，12345678且丨嵐1A2I二丨心咖丨二戈，丨1gI二仏1%卜:2+：2，I直1A订二IA骞I二牙卜2，II二2迈.再由正弦函数的单调性及值域可得，当P与A重合时，丽最小为旷2坯8二恥比2+工X（-笃一“尸-2迁.结合选项可得丽的取值范围为K.2，站2J.故选：B.【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查数形结合的解题思想方法，属中档题.三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）（12分）（2017上海模拟）如图，长方体ABCD-ABCD中，AB二BC二

14、2,1111AA二3;1（1）求四棱锥A-ABCD的体积；1（2）求异面直线AC与DD所成角的大小.11【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角.【分析】（1）四棱锥A-ABCD的体积伦厂血强吉S拒形朋ci，XA対，由此能求出结果.（2）由DDCC，知ZACC是异面直线AC与DD所成角（或所成角的补角），111111由此能求出异面直线AC与DD所成角的大小.11【解答】解：(1)T长方体ABCD-ABCD中，AB=BC=2，AA=3,11111四棱锥A-ABCD的体积：1血U二寺S拒形壮CT2X3=4.（2）TDDCC,ZACC是异面直线AC与DD所成角（或所成角的补角），1111

15、11tanZACC11ZAiCC2V2arctan-.【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，是中档题,解题时要认真审题，注空间思维能力的培养.(12分)(2017上海模拟)设aWR，函数严+1求a的值，使得f(x)为奇函数；若fCxX对任意xWR成立，求a的取值范围.【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质.【分析】(1)由f(x)在R上为奇函数，可得f(0)=0,解方程可得a的值，检验即可；(2)由题意可得即为，V爭恒成立，等价为0,aV0，由参数分离，求得右边的范围，运用恒成立思想即可得到a的范围.【解答】解：(1)由f(x)的定义域为R,且f(x)为奇函数，可得f

16、(0)=0，即有岂亘=0，解得a=-1.小/、2s-1/、?7S-11-2h/、则f(x)=，f(-x)=-f(x)，2s-Fl2芷+11+2k则a=-1满足题意；对任意xWR成立，,+si/a+2工、即为，恒成立，2X+1等价为兮，即有2(a-1)Va(2x+1)，当a=0时，-1V0恒成立;当a0时，V2x+1,a由2x+11，可得W1,a解得0VaW2;当aV0时，2x+1不恒成立.a综上可得，a的取值范围是0,2.【点评】本题考查函数的奇偶性的运用：求参数的值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论和参数分离的思想方法，考查运算能力，属于中档题.19.（12分）（2017上海模拟

17、）某景区欲建造两条圆形观景步道M、M（宽度12忽略不计），如图所示，已知AB丄AC,AB二AC二AD=60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D,圆M与AC、AD分别相切于点C、D;2（1）若ZBAD=60，求圆M、M的半径（结果精确到0.1米）12（2）若观景步道M与M的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计12（结果精确到0.1千元）【考点】直线与圆的位置关系.【分析】（1）直接利用三角函数，可得结论；（2）设ZBAD=2a，则总造价y=0.82n60tana+0.92n60tan（45-a）,换元，利用基本不等式，可得结论.【解答】解：（1）M半径=60tan

18、3034.6,M半径=60tan1516.1;12（2）设ZBAD=2a，则总造价y=0.82n60tana+0.92n60tan（45-设1+tana=x，则y=12n(8x+、17)284n,当且仅当x=,tana二亍时,取等号，M半径30,M半径20，造价42.0千元.12【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，属于中档题.220.(12分)(2017上海模拟)已知双曲线厂：忙三二1(b0)，直线丨：y=kx+m(km工0),丨与交于P、Q两点，P为P关于y轴的对称点，直线PQ与y轴交于点N(0,n)；若点(2,0)是的一个焦点，求的渐近线方程；*3若b=1,点P的坐标

19、为(-1,0)，且，求k的值；若m=2，求n关于b的表达式.【考点】双曲线的简单性质.2【分析】(1)由双曲线厂：八丄丁二1(b0)，点(2,0)是的一个焦点，求出c=2,a=1，由此能求出的标准方程，从而能求出的渐近线方程.双曲线为：X2-y2=1,由定比分点坐标公式，结合已知条件能求出k的值.设P(x,y),Q(x,y),k=k，则F1122pq0i丄ryu由y=ks+2，得（b2-k2）X2-4kx-4-b2=0，由*y=kqn，得（if/七二1b2X2-2knx-n2-b2=0，由此利用韦达定理，结合已知条件能求出n关于b的表达0式.2【解答】解：（1）双曲线（b0），点（2,0）是的

20、一个焦b-占1、c=2，a=1，b2=c2a2413，2的标准方程为:/七1,的渐近线方程为y=/3x.(2).b1,双曲线为：X2y21，P(1,0),P(1,0),冊二丁p，设Q（x2，y2），则有定比分点坐标公式，得:3CH-才辺.24，冗二土m，1=厂，解得0=丁f2(3)设P(x,y)11y)2，kk，PQ0则.-1珥由*y=ks+2，得(b2k2)X24kx4b20,旷可二b匚_4k-4-b，W2)X2-2knx-n2-b2=0,02kanx+x二122u2-n-b-xx=2，bkoxx=12_4一/nL+bb2-k2=b2-k02.,2i2b-kr,即.旦?b-kz片丄_k|j2=n2-t-bb-k2-4-b2比-丫1JL二切-工1二只1+勢_2kb2-k2kOn-4-b化简，得2n2+n(4+b2)+2b2=0.,2n二-2或n二-，-2b-kn2n2+b当门=-2,由=，得2b2=k2+k2,04K-y=kox-2y=kx+2打-k2k+2ky=-，ho_k,4即。（L2k+2kjko_k），代入X2-2詁=1,化简，得:b2-f(=y.2),从而求出f(x)的范围，继而解出x的范围.11【解答】解：(1)f(x)=log=1,2_L-K_+工1=2，解得；(