高中数学必修34正态分布

1、2. 4 正态分布鬼辞启程夯占本前习案一新知桂学1.问题导航(1)什么是正态曲线和正态分布(2)正态曲线有什么特点曲线所表示的意义是什么(3)怎样求随机变量在某一区间范围内的概率2.例题导读请试做教材P74练习1题. 1 .正态曲线函数如，(x)=e-9 , xC(8,十8),其中实数 科和0(0)为参数, V2 7tb 2 (T6 ,，(x)的图象为 正态分布密度曲线，简称正态曲线.2.正态分布般地，如果对于任何实数a, b(avb),随机变量X满足P(avX%= bf)(x)dx,a则称随机变量X服从正态分布.正态分布完全由参数 科和(T确定，因此正 态分布常记作 NM , b 2),如果

2、随机变量 X服从正态分布，则记为 XN(也C.正态曲线的性质 1(x G 2正态曲线- (x) = j=e 2 , xCR有以下性质：02no 2 b(1)曲线位于 x轴 上方，与 x轴 不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线 x=科对称；(3)曲线在 x=科处达到峰值(4)曲线与x轴之间的面积为 1;(5)当 L定时，曲线的位置由科确定，曲线随着 科的变化而沿x轴平移，如图；(6)当科一定时，曲线的形状由(T确定，(T 越小，曲线越 瘦高”，表示总体的分布越集中；(7 越大，曲线越 矮胖”，表示总体的分布越分散，如图 .正态总体在三个特殊区间内取值的概率值p(o x|i+ 6=；P( i 2

3、 o X|i+ 2 6)=;P(四一3 oC),则 C=()A. 0B. dC 1iD.答案：D.已知随机变量 X服从正态分布 N(3, (t2),则P(X3)=()答案：D4,已知正态分布密度函数为f(x) = -e-, xC (8, +8)则该正态分布的均值2兀 4兀为,标准差为.答案：0；2兀互动探究 前例剖析正态分布的再认识(1)参数科是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计； 觉衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计.科=0, (7 = 1的正态分布叫做标准正态分布.(2)正态分布定义中的式子实际是指随机变量X的取值区间在(a, b上的概率等于

4、总体密度函数在a, b上的定积分值.(3)从正态曲线可以看出，对于固定的 W而言，随机变量在(厂仿科+ 上取值的概率 随着b的减小而增大.这说明 b越小，X取值落在区间(口内科+ 6的概率越大，即X集中 在科周围的概率越大.对于固定的 科和g随机变量X取值区间越大，所对应的概率就越大， 即3 b原则.探究案一讲练正动正态分布密度曲线例如图是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式,求出总体随机变量的均值和方差.5 10 15 20 25 3。养 40 *1斛从正态曲线可知，该正态曲线关于直线x= 20对称，取大值为 一产,2兀11所以 产 20, j- = ,、/2 兀(

5、T2 71(T = 2.1(x20) 2尸20,于是 胸，(x) = -e-xC (8, +8)总体随机变量的期望是24兀4方差是 J=(42)2=2.利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象的实质，主要有两点：一是对称轴1的另一是最值一1=,这两点确定以后，相应参数的(T便确定了，代入便可求出相应的er 2 兀解析式.扫一扫进入91导学网正态分布密度曲线也跟踪训摊1.若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数,一、一，一一，八，1，一且该函数的取大值为一7=.求该正4：2 兀态分布的概率密度函数的解析式.解：由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于0. TOC o 1-5 h

6、 z ，一 11由于 f= (=,得 0= 4,72 n 22兀4故该正态分布的概率密度函数的解析式是,、1x26(x) = =e9，xC(8, +8).求正态分布下的概率阚设XN(1, 22),试求：(1)P(-1X 3) (2)P(3vXW5)解因为XN(1, 22),所以 尸1, (r=2.P(1 vXW 3)=P(12vXW 计 2)=P(厂 oXw叶 c)= 6.(2)因为 P(3vXW 5)=P( 3冰v1),所以 P(3X5) 1= 2(P(-3X 5)-P(-1X 3)1= 2(P(1-4 XW 4 4)-P(1 -2X 2)1_2【P(猿2 Z Xw叶 2 4 P(1 o5)

7、解：因为 P(X5)=P(X03),1所以 P(X5)=21 -P(- 3X 5)一 =211 P(1 -4X1+ 4)1=1 P(厂 2(K XW 叶 2切1= 2(1 4)= 8.r者娃*体r(1)求解本类问题的解题思路是充分利用正态曲线的对称性，把待求区间的概率转化到 已知区间的概率.这一转化过程中体现了数形结合思想及转化化归思想的应用.(2)常用结论有对任意的a,有P(X叶a);P(Xv x0) = 1-P(XSx0);P(avXv b)= P(X b)- P(X至).出眼踪训锥(1)(2015高考山东卷)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0, 32), 从中随机取一

8、件，其长度误差落在区间(3, 6)内的概率为()(附：若随机变量 E服从正态分布N(w, (t2),则P(丁 8%叶o)=%, P(厂2 k Ev科 + 2 6=%.)A. %B. %C. %D. %解析：选B.由正态分布的概率公式知P(-3 y 3)= 6, P(-6 y 6)= 4,故P(3v工6) = P(-6 6) 7P (- 3上 3)=错误！ = 9=%,故选 B.(2)设随机变量 XN(4, b2),且 P(4X8)=,则 P(Xc+1) = P(Xvc 1).求c的值；求P(4vXv8).解：由XN(2, 9)可知，密度函数曲线关于直线x=2对称(如图所示),又 P(Xc+ 1

9、)=P(X c- 1),故有 2(c1)=(c+1) 2,c= 2. P( 4VXV 8)=P(2 2X3V X2+2X3)= 4.探究点一正态分布的实际应用例 某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70, 102),如果规定低于60分的学生为不及格学生.(1)成绩不及格的人数占多少(2)成绩在8090之间的学生占多少 TOC o 1-5 h z 解(1)设学生的得分情况为随机变量X,则 XN(70, 102),其中 尸 70, (7 = 10.在60到80之间的学生占的比为 P(70-10X P(70-2X10X70F 2M0)P(7010XW70F 10) = 2X 4- 6)=

10、%.l方强改体 r正态曲线的应用及求解策略：解答此类题目的关键在于将待求的问题向(厂伪(1 + 4 ,(科一 2(T, (i+2o), ( 1 3(t,科+36这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会 用到化归思想及数形结合思想.3. (2015杭州质检)某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所 需时间X(单位：分)近似服从正态分布 XN(50, 102),求他在(30, 60分内赶到火车站的概 率.解：.XN(50, 102), =50, (t=10.P(30 v Xw 60)= P(30 v X 50升 P(50 v Xw 60)11 、一

11、，、2P( a 2 04) = ()8B. 7C. 6D. 5解析由于X服从正态分布 N(3, 1),故正态分布曲线的对称轴为x= 3.所以 P(X4) = P(X4)= = -2-=7.答案B感悟提高化归与转化思想是中学数学思想中的重要思想之一，在解决正态分布的应 用问题时，化归与转化思想起着不可忽视的作用.本小题考查正态分布的有关知识，求解时应根据 P(X4) + P(X2) + P(2交W4)= 1将问题转化.1.设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数1f(x)的图象，且 f(x)=如，(x)= je 48兀(x 10) 2-丁二，则这个正态总体的均值与标准差分别是 8A. 10 与 8

12、C. 8 与 1010与 2D. 2与 10(1= 10,方差 J=4,即 o= 2.10 000个点，则落入阴影部分(曲解析：选B.由正态密度函数的定义可知，总体的均值.(2015高考湖南卷)在如图所示的正方形中随机投掷线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()0A. 2 386B, 2 718C. 3 413D, 4 772附：若XN（丛（T 2）,则 P（ 1 CX0 x+ 6= 6, P（2 cX W叶 2（）= 4.解析：选C.由P(-1X 1)= 6,得P(0X1)= 3,则阴影部分的面积为3,故估计落入阴影部分的点的个数为10 000 Mt误！ = 3 413

13、 ,故选C.在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1, b2)(Q0).若X在(0, 1)内取值的概率为，则X在(0, 2)内取值的概率为 .解析：如图，易得 P(0X1)=P(1X2), 故 P(0X2)=2P(0X1)=2X=.答案：.设 XN(5, 1),求 P(6XW7) 解：由已知得P(4XW)= 6, P(3 4.又正态曲线关于直线 x=5对称, ，P(3XW4P(6XW7)= 4- 6 =8.由对称性知 P(3XW 4 )= P(6 0）都是实数B.C.D.2兀x2f(x)= 2 兀一万1(x1) 2造尸石e1二e解析：选B.对于A:函数的系数部分的二次根式包含仿而且指数部分的

14、符号是正的，故A错误；对于B:符合正态密度函数的解析式，其中尸1, =0,故B正确；对于C:从系数部分看 户2,可是从指数部分看尸也故C不正确；对于D:指数部分缺少一个负号，故D不正确.（2015高考湖北卷）设*N（u, （T2）, YN（画（T2）,这两个正态分布密度曲线如图 所示，下列结论中正确的是 （）P(Y闺9(Y此P(XWa)(XWd)C.对任意正数 t, P(X%)平(YN)D.对任意正数t, P(Xq)；P(Y4).1 ,斛析：选 D.由图象知，(11 闺=2, P(Y (i i)2,故 P(Y M2) u), 故A错；因为5 V%所以P(XW (T2)P(X d),故B错；对任

15、意正数t, P(X4)P(Y4),故C错；对任意正数t, P(Xq)平(Yq)是正确的，故选d. TOC o 1-5 h z 4.已知随机变量 E服从正态分布 N(2, (T2),且P( % 4)=,则P(0V y 2) = ()A.B.C.D.解析：选C.如图，正态分布的密度函数图象关于直线x=2对称，所以P(g 2)=,并且P(0v 2)=P(2v k： 4),则 P(0v K 2)=P(g 4)P(E 3)=P(g 1)成立，则 尸.解析：YN(w, (t2),故概率密度函数关于直线x=科对称，又P(g 1)=P(3),从1*3.而尸巧一=2,即科的值为2.答案：2.在某项测量中，测量结

16、果E服从正态分布N(1, (t2)(t 0).若E在(0, 1)内取值的概率为，则E在(2, +8止取值的概率为 .1解析：由正态分布的特征易得P(2)=2*12P(031) = 2X(1=.答案：1 000名年龄在岁至19岁为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(丛22),且正态分布密度曲线如图所示， 若体重大于kg小于等于kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于 正常情况的人数约为 .解析：依题意可知，科=, 况的人数为1 000 X 6 =683.(r=2,故PvX= P(厂o(1 4) = 1 200

17、X 63().(2015漳州高二检测)某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线可 走，第一条路线穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时间(单位为分)服从正态分布N(50,102)；第二条路线沿环城公路走，路程较长，但交通阻塞少，所需时间服从正态分布N(60,.(1)若只有70分钟可用，问应走哪条路线(2)若只有65分钟可用，又应走哪条路线解：由已知 XN(50, 102), 丫N(60, 42).由正态分布的 2(t区间性质P(四一2omw + 2o)= 4.然后解决问题的关键是：根据上述性质得到如下结果：对 X: 尸 50; 户 10, 2(r 区间为(30, 70),对Y:产60

18、; 户4, 2(T区间为(52, 68), 要尽量保证用时在 X?(30, 70), Y?(52, 68)才能保证有95%以上的概率准时到达.(1)时间只有70分钟可用，应该走第二条路线.(2)时间只有65分钟可用，两种方案都能保证有95%以上的概率准时到达，但是走市区平均用时比路线二少了10分钟，应该走第一条路线.B.能力提升.设随机变量XN(w, (T2),则随着b的增大，P(|X U34将会()A.单调增加B.单调减少C.保持不变D .增减不定解析：选C.对于服从正态分布的随机变量X,不论11, (T怎么变化，P(|X3 6总等于4.设正态总体落在区间(8, 1)和区间(3, + OO的

19、概率相等，落在区间( 2, 4)内的 概率为，则该正态总体对应的正态曲线的最高点的坐标为()A. (1,冰)B. (1, V2)C. (TT=, 1)D. (1, 1)2解析：选A.正态总体落在区间(一8, 1)和(3, +8的概率相等，说明正态曲线关于=1对称，所以尸1.又在区间(一2, 4)内的概率为%,- 1 3 o= 2, 1 + 3 o= 4,cr = 1. c、1(x 1) 2. f(x)=啦e -2，x C R ,，1，最局点的坐标为 1,1厂.设随机变量E服从正态分布 N(0, 1),则下列结论正确的是P(| *a) = P(E0);P(| *a)=2P( 0); P(| *

20、a) = 1 2P( a)(a0);P(| gva) = 1 P(| ga)(a0).解析：因为P(| Ka) = P(-a K a),所以不正确；因为 P(| |a) = P(-a a)= P(g a) - (1P(云a)=2P(g a)-1,所以正确，不正确；因为 P(|gva)+P(|aa)=1,所以 P(|gva)=1 P(|4a)(a0),所以正确.答案：.设随机变量 XN(1, 22),则Y=3X1服从的总体分布可记为 .解析：因为XN(1 , 22),所以 呼1 , (r=2.又丫=3X1,所以 E(Y)=3E(X)-1 = 3- 1 = 2,D(Y) = 9D(X) = 62,所以丫N(2, 62).答案：YN(2, 62). (2014高考课标全国卷I )从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布 N(丛(T2),其中 匹似为样本平均数x, 2近似为样本方差s2.利用该正态分布，求