泛函分析小论文

1、泛函分析论文泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学等分科中都有应用，是20世 纪发展起来的一门新学科，其中泛函是函数概念的推广，对比函数是数与数之间 的对应关系，我们发现泛函是函数和数之间的对应关系。在学习泛函分析前，我 们先确定学习目标：理解和掌握“三大空间和三大定理”。学习中慢慢体味泛函 分析的综合性及专业性。 1度量空间1.1定义：若x是一个非空集合，d : X x X R是满足下面条件的实 值函数，对于W淼G X，有d3, y) = 0当且仅当 X = y ；d(x, y) = d(y,x)；d(x, y) d(x,z) + d(y,z)，则称d为x上的度量，称(X,d)为度量空间。

2、【理解】度量空间就是：集合+距离；(满足非负性、对称性及三点不等式)其实度量空间是在实变函数中接触的知识，但其在泛函分析学科中的重要 性，我们可以通过度量空间的进一步例子来感受。 1.2度量空间的进一步例子例：1、离散的度量空间(X,d)，设X是一个非空集合，Vx, y g X，当 1,当x丰yd ( x, y) = P七0,当 x=y2、序列空间s ，d(x, y)=尹1吃Fj是度量空间.2i i+i& -n.iz -1i i3、有界函数全体B(A)，d(x, y) = supix(t)-y(t)l是度量空间tG A4、连续函数Ca,b，d(X, y) = maxix(t)-y(t)l 是度

3、量空间a t b15、 空间l ，d(x, y) = Z (y -x )22是度量空间k k1.3度量空间中的极限，稠密集，可分空间 1.3.1极限：类似数学分析定义极限，如果x 是(X,d)中点列，如果3 x E X，使lim dx,X=0 ，则称点列 0,使对 X中一切满足 d(x,x ) 6的 x，有 d(Tx,Tx ) x，贝I Tx Tx(n 8)n onoY中任意开集M4、定理二:度量空间X到Y中的映射T是X上连续映射的原像T-1M是X中的开集。5、定理二(变式)：把“开集”改为“闭集”，定理二仍成立。1.4.3例题例1、设X,Y,Z为三个度量空间，/是X到Y中的连续映射，g是Y到

4、Z的连续映射，证明复合映射(对* )()=8(x)是X到Z的连续映射。证明：设G是Z中开集，因g是Y到Z的连续映射，g-1G是Y中开集， 又因f是X到Y中的连续映射， f -1(g -1G) 是x中的开集， 即(g o f)-1G是X中的开集，即(g D连续。【分析】此题就是利用定理二来证明的。 1.5柯西点列和完备度量空间1.5.1定义:设X = (X,d)是度量空间，-是X中点列，如果对* 0， n3正整数N = N()，使当n, m N时，必有d (xn, xm ) W 稠密)V 稠 (x,d):定理1:设X = (X,d)是度量空间，那么存在唯一的完备空间X = (X,d)，使X为X的

5、稠密子空间。 1.7压缩映射原理及其应用1.7.1定义：设x是度量空间，T是x到x中的映射，如果3a,0 a 1， st Vx,y GX，d(Tx,Ty) a d(x,y)，则称T 是压缩映射。1.7.2定理1(压缩映射定理)设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射， 那么T有且只有一个不动点(就是说，方程Tx = x，有且只有一个解)。定理(隐函数存在定理)设函数/(x, y)在带状域a J x Jb，一3V y V3 中处处连续，且处处有关于y的偏导数fy(x,y)。如果3常数m和M，满足0 m f （x, y） M,m M，则方程/（x，y） = 0在y区间a b上必有唯一的连续函数y

6、=9 （x）作为解： f （ X9 （x 丰）&, a b1.8线性空间1.8.1定义：设X是一非空集合，在X中定义了元素的加法运算和实数（或 复数）与X中元素的乘法运算，满足下列条件：（一）关于加法：（1）交 换律（2）结合律（3）有零元（4）有负元，（二）关于数乘：（1）分配律（2）结合律（3）Vx G X，均有lx = x，满足这样性质的集合X称为 线性空间。例：1、Rn按自身定义的加法和数乘成线性空间2、Ca,b按自身定义的加法和数乘成线性空间3、空间Ip（p0）按自身定义的加法和数乘成线性空间2 赋范线性空间 2.1赋范线性空间和巴拿赫空间2.1.1定义：设X是实（或复）的线性空间，

7、如果对Vx G X，都有确定的一 个实数，记为x与之对应，并且满足：xil0，且Hx| = 0等价于x = 0 ；（非负性）2。俨x| =1 a l|x|其中a为任意实（复）数；3 o |x + y| 1)按范数 I f|二(b I f (t) Ip dt)p成赋范线性空间。P a定理2： Lpa,b(p 1)是巴拿赫空间。例题：1、R n按范数|X| = J即2+.+ 1 &2成巴拿赫空间2、空间Ca，b按范数| x = maxI x (t )I成巴拿赫空间a t b3、空间lP是巴拿赫空间区别与联系：1、任意赋范线性空间都是度量空间2、赋范线性空间是一种特殊的度量空间，当它完备时称之为巴拿

8、赫空间。第八章有界线性算子和连续线性泛函1有界线性算子和线性泛函的定义1.1定义：设X和丫是两个同为实(或复)的线性空间，D是X的线性子空 间，T为D到Y中的映射，如果对Vx, ye D及数口 ，有 T(x + y) = Tx + Ty，T(ax)=侦亦，则称T为D到Y中的线性算子， 其D称为T的定义域，记为D(T)，TD称为T的值域，记为R(T)，当T取值于实(或复)数域时，就称T为实(或复)线性泛函。例：相似算子、微分算子、乘法算子、积分算子都是线性算子【值得一提】1、在有限维空间上，当基选定后，线性算子与矩阵是相对应的；2、n维线性空间上线性泛函与数组(以，以2，以(向量)相对应。 定义

9、：T为赋范线性空间X的子空间D(T)到赋范线性空间Y中的线性算子，称T = sup 回为算子T在D(T)上的范数。X丰0 x&D (T)x定理1：设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y中的线性算子，则T为有界算子的充分必要条件是T为X上的连续算子。这一定理说明，对于线性算子连续性与有界性是两个等价概念。定理2 ：设X是赋范线性空间，f是X上线性泛函，那么/是X上连续泛函 的充要条件为f的零空间N( f )是X中的闭子空间。相关结论：1、若 T 有界=itii2、ITUsn |T| |q|x|3、若丁有界n网 t料2有界线性算子空间和共轭空间定义：1、有界算子全体：设X和Y是两个赋范线性空间，我们

10、以B(X Y)表示由X到Y中有界线性算子。2、共轭空间：设X是赋范线性空间，令X，表示X上连续线性泛函全体所 成的空间，称为X的共轭空间。定理1当Y是巴拿赫空间时，B(X Y)也是巴拿赫空间定理2任何赋范线性空间的共轭空间是巴拿赫空间相关结论：1、11的共轭空间为I有界序列全体，即(11)= 18，但(1 -)。112、X X, X X ,且七x, W 6 X ,则 f (X) T f (X),其中 f 连续3、设人 B(Z t Y),B B(X t Z)，令(AB)X = A(Bx)，x X，则 AB为线性算子4、lp (1 p +8)的共轭空间为0,其中上 +1 = 1, (lq) =lp

11、，当 p = 2p q时，(l2) =12i i5、同样，Lp也类似，(p黄1,+ =1)p q(D(Li y = l , (l y = l (Lp) = Lq,(L ) = Lp(L2)= L6、X是赋范线性空间，则dim(有限维)X8 o X上的任意线性泛函均连续总结：在第七章中，我们只研究一个赋范线性空间X，而在第八章中，就开始研究 从一个赋范线性空间X到另一个赋范线性空间Y中的映射一一算子，并对两个赋 范线性空间构成的有界线性算子全体进行线性运算(加法运算及数乘运算)，同 样构成赋范线性空间，并使得巴拿赫空间的知识进一步拓展到了有界线性算子全 体。总而言之，第七章和第八章的完成了 “两

12、大空间“的学习一一度量空间和赋 范线性空间的学习。应用篇泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科，是从变分问题，积分方程和理 论物理的研究发展起来的。它综合运用函数论、几何学、代数学的观点来研究无 限维向量空间上的函数算子和极限理论。泛函分析在数学物理方程等分科中都有 应用。线性空间X上的全体有界线性泛函X称为X的共轭空间.现以5函数为 例，说明共轭空间的重要性.设想在无限长的细棒上有一质量分布，只集中在一 点x = 0处，总质量为1个，也就是说，有一假象密度函数5 (X)，当x 0 时，5 (X) = 0,，在x = 0处，密度为无限大，而密度函数的积分为总质量1：七(x)dx = 1,这种

13、函数已超出通常函数概念的框架。-S5函数是由物理学家狄拉克(Dirac)最先引进的，其表示式是e 0, x。0,e5 (x) = j% (x)dx=18, x = 0,_8这样表示的函数与数学命题/ =0ae ,则j f =0矛盾，因此5函数的上述表示一直不能被数学家接受.数学家经过长期的努力，在共轭空间中找到了 5函数的位置和理论依据.我们来看数学家是怎样定义5函数的.对C- 1, 1中任意一个连续函数f(t)，对应一个C- 1, 1的泛函f (x)=j1 f (t)x(t)dt线性性是显然的,现证其连续性.对任意的C- 1, 1, -1f (x)-f (x0)l = I j1 f (t)x

14、(t) -xt)dt I有 max lx (t) - xif (t )ldt TOC o 1-5 h z -1*10 -i故f在x0 HYPERLINK l bookmark133 o Current Document =llx-x II j if (t)ldt 0-1当x x，即llx-x ll 0时，f (x) f (x )的任意性知，在C - 1, 1上连续.考察C- 1, 1中的如下函数列fn : f (t)=1 HYPERLINK l bookmark136 o Current Document n HYPERLINK l bookmark142 o Current Document

15、 当 t。0 时，lim f (t) = 0,且 j8 f (t) dt = 1，设想 / (t)的 n 8 n- 8 n极限函数应当就是有广泛应用的5函数，所以称/ (t)为5的函数序列。但由于在t= 0时，lim f (t)不收敛，故不能采用lim f (t)来作为5函n一 .一 nn8n8数的数学定义.在C： - 1, 1的共轭空间来考察.5函数序列fn对应于f (t)= j1 f (t)x(t)dt = j 1 f (t)x(t)dt|&|1 nn-1 n一士 n=x(&) j： (n-ltln2)dt = x(&),-1 n当n T8时，lim f (x)= lim x(& )=x(0),即在 C - 1, 1的共轭空间 n n sn s中，fn的极限函数(记为5 ( t )应是C - 1, 1上的如下泛函：5 (x) = x (0) , V x G C -1,1因此在泛函分析的共轭空间的帮助下，5函数有了严格的数学定义，这一 点在原空间是不可能做到.在定义了5函数后，我们就可以用5函数来描述 很多物理现象，例如力学中瞬时发生作用力的冲击力；数字信号处理中