高中数学三角恒等变换总结与习题苏教版必修4

1、三角恒等变形及应用.课标要求：.经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作 用；.能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和差、和差化积、半角 公式，但不要求记忆)。.命题走向从近几年的高考考察的方向来看，这部分的高考题以选择、解答题出现的机会较多， 有时候也以填空题的形式出现，它们经常与三角函数的性质、解三角形及向量联合考察， 主要题型有三角函数求值，通过三角式的变换研究三角函数的性质。本讲内容是高考复习的重点之一，三角函数的化简、求值及三角恒等

2、式的证明是三 角变换的基本问题。历年高考中，在考察三角公式的掌握和运用的同时，还注重考察思 维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算及观察能力、运算推理能力和综合分析能力。 三.要点精讲.两角和与差的三角函数sin(a P) =sin 汽 cos P cosu sin P ；cos(、二 I ,) = cos: cos : - sin : sin :; TOC o 1-5 h z tan 二 tan : tan(a P) =a 。+ tan : tan -.二倍角公式sin 2：cos 2：tan 2 ;=2sin ct cos a ；22= cos a -sin a =2cos 口 1 =1

3、2sin a ；2tan ;21 - tan -3.三角函数式的化简常用方法：直接应用公式进行降次、消项；切割化弦，异名化同名，异角化同 角；三角公式的逆用等。(2)化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数 尽量少；使项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函 数。(1)降哥公式21 -cos2：21 cos2：sin 口 cosa = sin 2a ； sin a =； cos a =。22(2)辅助角公式asin x+bcosx = Ja2+b2 sin (x+平),其中sin 丁 =.a2b2 a2 b2.三角函数的求值类型有三类(1)给角求值：一般所给出的角都是非

4、特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系， 利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；(2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如& =(口 +P )-P,2 =(u +P )+(o( P )等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；(3)给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所 求角的范围及函数的单调性求得角。.三角等式的证明(1)三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；(2)三角条件等式的证题思路是通过

5、观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。四.典例解析题型1:两角和与差的三角函数例 1.已知 sin a +sin P =1,cosa +cosP =0,求 co s(a + P)的值。a + B分析：因为(a + 0)既可看成是支与P的和，也可以 看作是的倍角，因而可2得到下面的两种解法。解法一：由已知 sin a +sin P =1,cos 工 +cos : =02+ 2得 2+2cos ( a B) = 1 ；cos ( a _ P)= 22 2得 cos2a +cos2 + +2cos ( a + P)= 1,即 2cos (汽 + P ) cos(

6、a P) +1= 1。cos( + P )= T。“,r0( + P 0( P解法二：由得2sin cos =122ot + B a _ B由得 2coscos=022ot + P -一得cot-=0,21 - tan21 tan2,2 ：cot2,2 ：cot2-1点评：此题是给出单角的三角函数方程，求复角的余弦值，易犯错误是利用方程组解sin a、cos a、 sin P、 cosP，但未知数有四个，显然前景并不乐观，其错误的原因在于没有注意到所求式与已知式的关系本题关键在于化和为积促转化，“整体对应”巧应用。例 2 , 已知 t a, n P是方箱x2n x+ =的两个或根根6的2sin

7、2 (a +B )3sin(a + 0 )cos(a + 0 )+cos2 (a +，?勺值。分析：由韦达定理可得到tana + tanP及tana tanP的值，进而可以求出tan( + P)的值，再将所求值的三角函数式用tan。+ P )表示便可知其值。解法一：由韦达定理得 tana+tan B =5, tana tan B = 6 ,tan - tan ：5所以 tan 二=1 -tan 二 tan :1 -6国 2sin21：工 一；) 3sin i 一 口)cosi - Fecos2 :2 一 F ：i原式-2:2:sin工 一 Pcos 工-P)2tan21y. I)3tan ;t

8、an2 户-F11 2 1-3-11=3解法二：由韦达定理得 tan： tan : = 5,tan: tan ： =6,tan 二 tan ：5所以 tan I -=二1 -tan 二 tan : TOC o 1-5 h z 一一， -3于是有 a + P =kir +-n (k = Z ),一八.2 A33 3 . f3 )2 3 ) , 31八原式=2sin kn+n Isin 2kn+-n +cos kn 十一冗 |=1 十一十一=3。I4J 2 I2 )I4 J 22点评：（1）本例解法二比解法一要简捷，好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结构，从而寻找解答本题的知识“最近发展区”。（2

9、）运用两角和与差角三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数 关系，三角函数名等抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用， 而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点。（3）对公式的逆用公式，变形式也要熟悉，如cos（口 + C JcosP +sin（ + P Sin P =cosa,tan：工 一 I； !1 -tan： tan : = tan工 tan :,tan:工一I； itan : tan ： = tan ：- tan- -

10、tan :,tan +tan B +tan（a + P ）tan tan B = tan（ + B ）题型2:二倍角公式例3.化简下列各式：（1） J1 -1 I - +1cos2ct let 3 ii ,2n S,2 2、2 2 I I 2）2 . 2 .c cos 1 一sin -一公一V2 cot 十口 icos 一一口 |4 J U J分析：（1）若注意到化简式是开平方根和2 a是口的二倍，c（是巴的二倍 以及其范2 TOC o 1-5 h z JIJIJ围不难找到解题的突破口；（2）由于分子是一个平方差， 分母中的角 一+0（+口=一,442若注意到这两大特征，不难得到解题的切入点。

11、一 一 ,3n一11 , 1,解析：（1）因为 a 2几，所以一十cos2a = cos =cosa , 212 2又因卜上”所以4一3四a=sin 一2a= sin,2CL所以，原式=sin 。2(2)原式=cos2:cos 2：sinc , M 122 tan - -a icos4Jcos 2：cos 2：JT 1-CL I4=1。)cos 2a-2a I21712sin - -a cos - -a I点评：(1)在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于2a是ot的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意Ji2a三个角的内在联系的作用,71JTcos2a=sin 2 ! =

12、2sin 土a cos 土a |是常用的三角变换。(2)化简题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次，消元，切割化弦，异名化同名,sin2.：s21 cos2：(3) 公式变形 cosot =, cos a =,2sin :2法。异角化同角是常用的化简技巧。3 17分析:.2 sin(ji注思x = 一4产-,一n x -n5 122，求 sin2x + 28s x 的值。1 - tanx及 2x=2 仁 +4-二的两变换，就有以下的两种解2解法一：由1712ji二 x 一:二 2 二4&又因cos x43 .一,sin 5(jix4cosxcos - x -八44=cos 一 x cos

13、 sin - x sin 二4444二,10107:2 ,一 从而 sin x = , tanx =7.22原式 2sin xcosx 2sin x1 - tan x10I 10 J1 -7+ 2用28752sin xcosx 1 tanx解法二：原式:1 -tanx= sin2xtan + x I,4而sin2x =sin 2 +x L2=-cos2 +x 1= - |2cos + x 1-114)tan - x4(兀sin - x4(JIcos x4所以，原式25 I 3 J点评：此题若将(Jicos x的值，就很繁琐，把2875=3的左边展开成5一刀 3工cos- cos-sin- si

14、nx 一再求 cosx, sinx45三+x作为整体，并注意角的变换 2 -4-+x= +2x,运用二0,a= R),x且f(x)的图象在y轴右侧的第一个局点的横坐标为一6的值;(H)如果f(x)在区间-一，一 3 6L ”.更上的最小值为J3,求a的值。解析：(I)f (x)=31 .-3cos2 x sin 2 x -二.3: sin(2 x)a32JI TC TE依题意得20一 =(II)由(I)知,JT f (x): sin(x -)3二 5 二又当x ,53 631时，x+ 一0,3.-1 ，一，故一; sin(x+ )1,从而 f(x)在区上的最小值为近1+旦a,故”与 222HJ

15、If例 10. (06 上海理，17)求函数 y =2cos(x+)cos(x )+ J3sin2x 的值域和 最小正周期。解析：y=cos(x+ :)cos(x ： )+，3 sin2x=cos2x+ V3 sin2x=2sin(2x+ 1),函数y=cos(x+ ：)cos(x 亍)+ 3 sin2x的值域是2,2,最小正周期是 兀。题型6:三角函数综合问题 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark76 o Current Document 4n兀例 11.已知向量 a = (sin i,1),b = (1,cos?), 一一 ：二 1 ：二一. HYPERLI

16、NK l bookmark70 o Current Document 22 44 4(I)若a _Lb,求仕 (II)求a +b的最大值。解析：(1) a _L b, = aLb =0 = sin 9 +cos6 =0=日=4 ;(2). a +b| =|(sin 曰 +1,cos9 +1) = J(sin 9 +1)2 +(cosB +1)2-sin2 2sin 1 cos22cos 1 - 2(sin【cos?) 3=.2；5sin(:二)3当sin(日+?=1时a +b有最大值，此时日=， 最大值为 67齐3=&+1。点评：本题主要考察以下知识点：1、向量垂直转化为数量积为 0； 2,特

17、殊角的三角函数值；3、三角函数的基本关系以及三角函数的有界性；4.已知向量的坐标表示求模，难度中等，计算量不大。3T例 12. (2001 天津理，22)设 0 0 0 H故两条已知曲线有四个不同的交点的充要条件为,(0。02(2)设四个交点的坐标为(Xi, y)(i=1, 2, 3, 4),则：Xi2+yi2=2cos 0 ( J2 ,(i=1, 2, 3, 4)。故四个交点共圆，并且这个圆的半径 r= 2 cos0 C ( J2,J2).点评：本题注重考查应用解方程组法处理曲线交点问题，这也是曲线与方程的基本 方法，同时本题也突出了对三角不等关系的考查。题型7:三角函数的应用例13.有一块

18、扇形铁板，半径为 R,圆心角为60。，从这个扇形中切割下一个内接 矩形，即矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，求这个内接矩形的最大面积.分析：本题入手要解决好两个问题，(1)内接矩形的放置有两种情况，如图 2-19所示，应该分别予以处理；(2)求最大值问题这里应构造函数，怎么选择便于以此表达矩形面积的自变量。图 2-19解析：如图 2-19(1)设/ FOA= 0 ,则 FG=Rsin0 ,在 AOEF 中一v一丁 sm(60 -8)_Rsin 120，EF =2酮60,-g)忑又设矩形EFGH的面积为S,那么S = FG*EF =2R3dn(600 -fl)Rgs(2e-6ir )-cos6

19、0fl R21二书忑际(26。)-又 0 0 60 ,故当 cos(2 0 -60 )= 1,即。=30时，S取得最大值吟Q-标宏写如图 2-19 (2),设/ FOA =。，则 EF=2Rsin(30 0 )，在 OFG 中，/ OGF= 150FG R故F =即FC = 2Rsmesincr suiIjU设矩形的面积为 S.那么 S= EFFG= 4R2sin 0 sin(30 -0)= 2R2 cos(2。-30 )-cos30 .-/3= 2R2cos(2 0 .30 )-y又. 0v。v 30 ,故当 cos(2 0 -30 )= 1即6 =15时S取最大值为2R?(1-，)=R12

20、f5)6，因此内接矩形的最大面积为6。五.思维总结从近年高考的考查方向来看，这部分常常以选择题和填空题的形式出现，有时也以 大题的形式出现，分值约占5%因此能否掌握好本重点内容，在一定的程度上制约着在高 考中成功与否。.两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式,在学习时应注意以下几点：(1)不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉；(2)善于拆角、拼角如 口 = (ot + P P , 2a =(a + P )+ (a - P )2ot + P=(ot + P)+ot 等；(3)注意倍角的相对性(4)要时时注意角的范围(5)化简要求熟悉常用的方法与技巧，如切化弦，异名化同名，异角化同角等。.证明三角等式的思路和方法。(1)思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形