高中数学变量间的相关关系课文知识点解析新课标人教版必修3A

1、变量间的相关关系课文知识点解析全析提示相关关系与函数关系的异 同点：相同点：均是指两个变量的 关系.不同点：函数关系是一种确 定的关系；而相关关系是一种非 确定关系.函数关系是自变量与 函数值之间的关系，这种关系是 两个非随机变量的关系；而相关 关系是非随机变量与随机变量 的关系.相关关系是进行回归分析 的基础，同时，也是散点图的基 础.若要考察变量（随机变量） a与（非随机变量）b的相关性， 则b为因变量，a为自变量.画散 点图时，自变量（随机变量）在 x轴上，因变量（非随机变量） 在y轴上.了解相关变量的正负相关性在我们的生活生产中有着重 要的实际意义.当运用直线近似表示施化 肥量与水稻产

2、量的关系时，学生 可能选择能反映直线变化的两 个点，例如（15, 330）, （45,相关关系的概念：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定 的随机性，则两个变量之间的关系叫做相关关系对相关关系的理解应当注意以下几点：其一是相关关系与函数关系不同.因为函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机 变量与随机变量之间的关系.而函数关系可以看成是两个非随机变 量之间的关系.因此，不能把相关关系等同于函数关系.其二是函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关 系，也可能是伴随关系.例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小 与阅读能力有很弓II的相关关系 .然而，

3、学会新词并不能使脚变大，而 是涉及到第三个因素一一年龄.当儿童长大一些，他们的阅读能力会 提高而且由于长大脚也变大.其三是在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判断和描述 相关关系，统计学发挥着非常重要的作用.变量之间的相关关系带有 不确定性，这需要通过收集大量的数据，对数据进行统计分析，发 现规律，才能作出科学的判断 .对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析例如，施化肥量对水稻产量影响的试验数据:施化肥量x15202530354045水稻厂量y330345365405445450455观察表中数据，大体上随着施化肥量的增加，水稻的产量也在增加.只是表中两者之间的关系表现的不是很

4、真切，需要对数据进行分析.我们可以作统计图、表，以便对两者有一个直观的印象和判断 散点图是研究相关关系最常用的一种统计图.我们把表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形，叫做散点图.上例的散点图如图2 31.图 23 1从散点图可以看出两变量的确存在一定关系，可见散点图能形 象地反映各对数据的密切程度 .从散点图可以看出因变量随自变量的增大而增大，图中的点分布在左下角到右上角的区域，这种相关关系称作正相关.若因变量随自变量的增大而减小则称作负相关，负相关的散点图中的点分布 在左上角到右下角的区域.进一步观察，发现图中的点分布在一条直线附近，这说明这一 正相关可以用这一直线来逼近 .如图232

5、.如果散点图中的点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就 称这两变量之间具有线性相关关系.这条直线叫做这两个变量的回归直线，回归直线的方程叫做回归方程.上例的回归直线方程是?=4.75 X+256.79.如何求回归直线方程呢 ？(1)求回归直线方程的思想方法观察散点图的特征，发现各点大致分布在一条直线的附近.类似图中的直线可画出不止一条.那么，其中的哪一条直线最能代表变量 x与y之间的关系呢？引导学生分析，最能代表变量x与y之间关系的直线的特征即直线与 n个点的偏差的平方和最小，其过程简要分 析如下：设所求的直线方程为 ？=bx+a,其中a、b是待定系数.则？i=bxi+a (i=1, 2,，

6、n).于是得到各个偏差yi - ?i =yi ( bxi+a) (i=1, 2,，n).显见，偏差yi- ?i的符号有正有负，若将它们相加会造成相互 抵消，所以它们的和不能代表几个点与相应直线在整体上的接近程 度，故采用n个偏差的平方和 Q= (y1 bx1a) 2+ (y2bx2a) 2+ + (ynbxna) 2表示n个点与相应直线在整体上的接近程度nn455)确定一条直线；也可能取 一条直线，使得直线一侧和另一 侧点的个数基本相同； 还可能多 取几组点，确定几条直线方程， 再分别算出各条直线斜率、截距 的算术平均值，作为所求直线的 斜率、截距.但这些方法缺乏理 论支持，不可靠.实际上，求

7、回归直线方程的 关键是如何用数学的方法来刻 画“从整体上看各点与此直线的 距离最小”.在学习回归方程的内容时， 同学们可以积极探索用多种方 法确定线性回归直线.在此基础 上，去体会、理解最小二乘法的 思想，根据给出的公式求线性回 归方程.感兴趣的话，可尝试推 导线性回归方程.n X1 =Xl+X2+X3+x n(i =1, i W2,，n).上述式子展开后，是一个关于a、b的二次多项式，应用配方法, 可求出使Q为最小彳I时的a、b的值，即n (Xi -X)(yi -y) bn _ 2工(Xi -x) iia = ybX.n、Xi yi -nX yi =1n22jXi -nxi 1b是回归方程的

8、斜率，a是截距.样本相关系数：r =n、(Xi -X)(yi -y) i 1一 1n其中x=1为， n y- 1 1 y= yi. n id求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方 法叫最小二乘法.Jnn、(Xi -x)2v (yi -y)2 i 1i 1叫做变量y与x之间的样本 相关系数(简称相关系数)，用 它来衡量它们之间的线性相关 程度.| r| wi,且|r|越接近于1,记Q= (yi -bXi -a)2 (向学生说明Z 的意义). i 1i 1（2）回归直线方程的求法利用计算机求回归方程（Excel软件）：在Excel的工作表中添 加“图表”得到散点图后，用鼠标选中散点

9、，单击鼠标右键，单击“添加趋势线”，在出现的对话框中单击类型标签，选择“线型（L）”,单击“选项”标签，选中“显示公式”单选框，最后点击“确定”即 可.如上例可得图2 3 3.利用科学计算器求回归方程：大多科学计算器都有回归计算（REG模式），但不同的计算器参数可能不同，这里不作详细介绍，一般在输入数据后按相应按键可直接得到a和b,这样就可以写出回归方程？=bx+a,非常简便，使用前一定要看好计算器的使用说明书.求相关变量的回归直线的意义：回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的应用.应用回归直线方程可以把非确定性问题转化成 确定性问题，把“无序”变为“有序”，并对情况进行估测、补充 .因此，学过回归直线方程以后，应能积极应用回归直线方程解决一 些相关的实际问题，去进一步体会回归直线的应用价值相关程度越大；|r|越接近于0, 相关程度越小.统计学认为，相关变量的相 关系数r 1, 0.75 1时，两 变量负相关很强；r 0.75 , 1时，两变量 正相关很强；r C （ 0.75 , 0.3 或0.3 , 0.75）时，两变量相关 性一般；r 6 0.25 , 0.25 1时， 两变量相关很弱.由学生计算本