高中数学导数精选题目附答案

1、高中数学导数精选题目(附答案)(1)函数的单调性与其导数正负的关系一般地，在区间(a, b)内函数的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调 性f (x)0单调递增f (x)0,右侧f (x)0,那么f(xo)是极大值.如果在x0附近的左侧f (x)0,那么f(x0)是极小化(5)函数y=f(x)在区间a, b上的最值一般地，如果在区间a, b上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那 么它必有最大值和最小值.(6)函数最值的求法求函数y= f(x)在闭区间a, b上的最值的步骤如下：求函数v= f(x)在区间(a, b)内的极值;将函数v= f(x)的各极值与端点处的函数值f(a), f

2、(b)比较，其中最大的一 上是最大值，最小的一个是最小值.(7)如果在区间(a, b)内恒有f (x) = 0,则f(x)有什么特性?答：f(x)为常数函数，不具有单调性.(8)在区间(a, b)内，若f (x)0,则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立 吗？答：不一定成立.比如y=x3在R上为增函数，但其在x=0处的导数等于零.也就是说f (x)0是y=f(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件.(9)下图为导函数y= f (x)的图象，则函数y=f(x)的单调区间是什么？答：单调递增区问：(8, 3, 2,1, 3, +8)；单调递减区间： 3、一 2、1,3.(10):若函数f(x)

3、为可导函数，且在区间(a, b)上是单调递增(或递减)函数， 则f (x)满足什么条件？答：f仅)0(或 (x)&0).(11):若函数 f(x)在(a, b)上满足 f (x)0(或 f (x)0,则f(x)在(a, b)上为增函数；若f (x)0或f (x)0的解集对应函数f(x)的单调递增区间；f (x)0,右侧f (x)0时，f(xo)是 极大值；当 f (xo) = 0, 且在 xo附近的左侧 f (x)0时，f(xo)是 极小值.(16):导数为0的点都是极值点吗？答：不一定，如f(x) = x3, f (0)=0,但x = 0不是f(x) = x3的极值点.所以， 当f (x0)

4、 = 0时，要判断x = x。是否为f(x)的极值点，还要看f (x)在x0两侧的 符号是否相反.(17):函数y=f(x)在给定区间(a, b)内一定有极值点吗？答：不一定，若函数y=f(x)在区间(a, b)内是单调函数，就没有极值点.(18):若af(x)恒成立，则a的取值范围是什么？若a&f(x)恒成立，则a的 取值范围是什么？答：(1)af(x)恒成立？ a/f(x)max：(2)a& f(x)恒成立？ a& f(x)mip.(1)设函数f(x)在定义域内可导，y= f(x)的图象如图所示，则导函数y= f (x)的图象可能为()(2)已知f (x)是f(x)的导函数，f (x)的图

5、象如图所示，则f(x)的图象只可能是()Ua. (1)函数y=f(x)的图象如图所示，则导函数的图象大致是()(2)函数y= f(x)在定义域R上有导数，其导函数的图象如图所示，则函数 y= f(x)的递增区间为J递减区间为.求证：函数f(x) = ex x1在(0, +00)内是增函数，在(8, 0)内是减 函数.利用导数判断函数f(x)在(a, b)内的单调性的步骤(1)求 f (x);(2)确定f (x)在(a, b)内的符号;得出结论.In x4.试证明：函数f(x) = ：厂在区间(0,2)上是单调递增函数. x5,求下列函数的单调区间：(1)f(x) = x3-2x2 + x;(2

6、)f(x)=3x22lnx.利用导数求函数单调区间的步骤(1)求函数的定义域；(2)求 f (x),解不等式 f (x)0(或 f (x)0或f (x)0.当m=1时，求曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线的斜率；(2)求函数f(x)的单调区间与极值.求下列各函数的最值.(1)f(x)= x3+3x, x -V3, 3;(2)f(x) = x2-54(x0). x.求下列各函数的最值.(1)f(x) = x3 3x2 + 6x 2, x -1,1；1(2)f(x)=2x+Sin x, x 0,2 冗.已知函数 f(x) = (4x2+4ax+a2)，x,其中 a0.(1)当a= 4时，

7、求f(x)的单调递增区问；(2)若f(x)在区间1,4上的最小值为8,求a的化.已知函数f(x) = ax3 6ax2+b, xC 1,2的最大值为3,最小值为一29, 求a, b的值.已知 f(x) = xlnx, g(x) = x2+ax3.(1)求函数f(x)的最小值；(2)对一切x (0, +8), 2f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围.提示：2f(x)g(x)恒成立，可转化为2f(x) g(x)0包成立，然后利用分 离参数法求a的取值范围.(1)a1f(x)(或 f(x)包成立？ af(x)max(或 0(其中 F(x) = f(x) g(x);(4)f(x户g(x)恒有解？

8、 F(x)max0(其中 F(x) = f(x)g(x).a.设函数 f(x) = xex x 那+ 1 +2.(1)若a=1,求f(x)的单调区问；(2)当x0时，f(x)x2 x+2恒成立，求a的取值范围.参考答案：解：(1)由函数的图象可知：当x0时，函数先增后减再增，即导数先正后负冉正，对照选项，应选 D.一 一a+b.(2)从f (x)的图象可以看出，在区间a, 一万一内，导数单调递增;a+ b在区间 亨，b内，导数单调递减.a+ ba + b即函数f(x)的图象在a, 内越来越陡，在一2一，b内越来越平缓，由此 可知，只有选项D符合.解析：选D 因为函数f(x)在(0, +00)和

9、(00, 0)上都是单调递减的，即 f (x)0；当 xC ( 8, 2)U ( 1,1)U (3,4)时，f (x)0.故函数f(x)在(0, +8)内为增函数，当 xC ( 8, 0)时，ex1,即 f (x) = ex10.故函数f(x)在(一8, 0)内为减函数.In x4.证明：由于f(x) = 丁，所以f (x) =x1.xx|n x 1-ln xx2x2由于 0 x2,所以 In xl n 20,xIn x即函数f(x) =工在区间(0,2)上是单调递增函数 x5.解：(1)函数的定义域为R,. f(x) = x3-2x2+x,f (x) = 3x24x+ 1.令 f (x)0,

10、解得 x1 或 x1.31 因此f(x)的单调递增区间是 8, 3 , (1, +).令 f (x)0,解得1x0,即 210,解得邛 x 曰，又 x0, 7岑；令 f (x)0,即 2 3： 1 0,解得 x 乎或 0 x0, . .0 x0, (x-2)20.由 f (x)0 得 x3,所以函数f(x)的单调递增区间为(3, +oo);由 f (x)0 得 x0,所以f(x)在(一8,+00)上为增函数.(2)当a0时，令3x2a= 0,彳3x= 旦变. 3当 x1a或 x0; TOC o 1-5 h z 当一vxv3a时，f (x)0时，f(x)在一,埠，号，一 上为增函数，在一埠，华

11、3333上为减函数.解：(1)由已知得 f (x) = 3x2 a,因为f(x)在(一8, +OO)上是单调增函数，所以f (x) = 3x2a0在(一00 , +oo)上包成立，即a03x2对x R包成立.因为3x20,所以只需a0,f(x) = x31在R上是增函数，所以a 0在(1, 十 0)恒成立，所以a&3x2在(1, +8)恒成立，即a的取值范围为(一00, 3.23乂2在乂 ( 1,1)恒成立.(3)由 f (x)=3x2a00 在(一1,1)上包成立，得 因为一1x1, 所以3x23.即a的取值范围是3, +8).(4)由例题可知，f(x)的单调递减区间为一fa, a, 33.

12、 .蹲=1,即 a = 3. 3(5)f(x) = x3ax 1,f (x)=3x2a,由 f (x) = 0,得 x= (a。)， 3.f(x)在区间(一1,1)上不单调, 3a. 0-1,即 0a3.故a的取值范围为(0,3).9.解：(1)函数的定义域为 R.f (x)=2xe-xWeTx = x(2 x)e-x.令 f (x)=0, 得 x = 0 或 x= 2.当x变化时，f (x), f(x)的变化情况如下表：X(- 8.0)0(0*2)分(2 * +g)0十004e-2由上表可以看出，当x=0时，函数有极小值，且f(0)=0.4当乂= 2时，函数有极大值，且f(2) = ). e

13、- In x函数y=7的定义域为(0, +oo), xy =一令丫 =0,即=0, Wx=e.当x变化时，y , y的变化情况如下表:X(O.e)e(e.+8)f y+0yF1/温由表可知，当x=e时，函数有极大值1. e10.解：(1)函数的定义域为R, f (x) = x2 2x 3.令 f (x) = 0,得 x= 3或乂= -1.当x变化时，f (x), f(x)的变化情况如下表：f(x)极大值143，f(x)极小值二- 6.(一8. 1 1 )_ 10,y=f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去.当a=2, b=9时，f (x) = 3x2+12x+ 9=3(x+ 1)(x+3).当

14、x变化时，f (x), f(x)的变化情况如下表:JJ(一8 3 )-3(3 1)一 1 -1 十3)人工)+00十仆)Z10由表可知，f(x)在x= 1处取极小值且f(1) = 0. .a=2, b = 9.12.解：f (x)=3ax2+2bx+ c,法一：x= 1是函数的极值点,x= 1 是方程 3ax2+ 2bx+ c= 0 的两根.由根与系数的关系知2b二0,3a又 f(1)=1, . .a+b+c= 1, 13由解得a = 2，b = 0, c= - 2.法二：由 f (1) = f(1) = 0,得 3a+ 2b+c= 0,3a2b+c= 0,又 f(1)=1, . .a+b+c

15、= 1,3由斛得a = 2，b = 0, c=一，.1333 3(2)f(x) = 2x32x, . f (x) = /x2 2 = 2(x1)(x+1).当 x1 时 f (x)0 ,当一1x1 时，f (x)0.，函数 f(x)在(一0, 1)和(1, +oo)上是增函 数，在(1,1)上是减函数.当x= 1时，函数取得极大值，x= 1为极大值 点；当x= 1时，函数取得极小值，x=1为极小值点.解：f (x) = 3(x2a)(aw0),当 a0 包成立，即函数在( 00 , +00)上单调递增，此时函数没有极值；当a0时，令f (x) = 0,得x= Va 或乂=也.当x变化时，f (

16、x)与f(x)的变化情况如下表：Ioof (一石y/a)而(7* + 8)八工)+00+人百)；f(x)的极大值为 f( g) = 2aja+ b,极小值为 f(Va)=-2aVa+b. 一1。.解：(1)当 m= 1 时，f(x)= -x3 + x2, f (x) = x2+2x,故 f (1)=1.所3以曲线y= f(x)在点(1, f(1)处的切线的斜率为1.x= 1 m或x= 1 + m.因为 m0,(2)f(x) = x2+2x+ m21.令f (x)=0,解得所以1+ m1 m.当x变化时，f (x), f(x)的变化情况如下表:X(一OO q1 一 m)1 m;,1 + m)1

17、+加(+ 日1 q/(x)0十0y ( 1 一m )/(1+ zn)所以函数f(x)的单调递减区间为(一8, 1 m), (1 + m, +8),递增区间为(1 m,1 + m).函数f(x)在x= 1 m处取得极小值f(1 m),且f(1 m)=-2m3 + m2-1. 332 o c 1函数 f(x)在 x=1 + m 处取得极大值 f(1 + m),且 f(1 + m) = .m3+m2 .33.解：(1)f(x) = 3 3x2=3(1x)(1+x).令 f (x) = 0,得 x= 1 或 x= 1 ,当x变化时，f (x), f(x)的变化情况如下表:-Q(yy -i)1(-M)i

18、(1,3)30+0a小值极大值-18所以乂= 1和x=1是函数在3上的两个极点,且 f(1)=2, f(1)= 2.又因为f(x)在区间端点处的取值为f( #) = 0, f(3)=18.所以f(x) max= 2, f(x)min = - 18.54 ., 一(2)f (x) = 2x+ 7令 f (对=0得乂= -3.当x变化时，f (x), f(x)的变化情况如下表:JC-3( 3+0)0+极小值所以乂= 3时，f(x)取得极小值，也就是最小值，故f(x)的最小值为f(3) = 27,无最大值.解：(1)f(x) = 3x2 6x+ 6=3(x2 2x+ 2) = 3(x1) .或xC(

19、2, +00),故函数f(x)的单调递增区可为0,占和(2,+8).5 + 3,因为f (x)在 1,1内恒大于0,所以f(x)在1,1上为增函数.故乂= 1时，f(x)取最小值为12,x= 1时，f(x)取最大值为2.一， 1 一 “一，(2)f (x) = 2+coSx,令 f (x) = 0,又xC 0,2冗解得x= 2t%c x=察 33计算得 f(0) = 0, f(2 冗今冗，f 争=3+ ，f 4f =2f-43.所以当x=0时,f(x)有最小值f(0) = 0;当x= 2几时，f(x)有最大值f(2兀壬兀2 5x-2 x-2.一，2(2)f(x) =10 x+ a 2x+ a

20、- ,a0,得 xC 0,-aa a .当xC 0,一记时，f(x)单调递增；当x - , 2时，f(x)单调递减；当xa. 一2，+00时，f(x)单调递增.易知 f(x) = (2x+a)2m0,且 f I = 0. a当一a01,即一20a0时，f(x)在1,4上的最小值为f(1),由f(1) = 4 + 4a+ a2 = 8,得a=魏一2,均不符合题意. . a 一. 1 a 4当1a04,即一80a 2时，此时54,即a0,且x变化时，f (x), f(x)的变化情况如下表：1(-1*0)0(。2/+0/(T)7a + b/b-16a +6由表可知，当x=0时，f(x)取得极大值，也就是函数在1,2上的最大值， .f(0)=3,即 b=3.又 f(1)= 7a+3, f(2) = 16a+3f(1),.f(2)=16a+3= 29,解得 a =