高中数学必修一指数函数与对数函数例题精讲

1、指数函数与对数函数知识网络指数函数运算(整数寨f分数累)指数与对数函数(指数函数 指数函数性质(定义域、值域、单调性)指数函数图象(对数定义，运算法则对数函数 对数函数性质(定义域、值域、单调性) 对数函数图象I函数的应用建立数学模型解抉实际问题范题精讲一、指数及对数运算331x x 2 2【例1】(1)已知x2 +x 2=3，求 J一J一2的值；x2 x 3(2)已知 lg(x+y)+lg(2 x+3y) lg3=lg4+lg x+lgy,求的值.y TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark95 o Current Document 33(1)分析：由分数指数塞运

2、算性质可求得x2 + x空和x2+x 2的值.11解：丁 x2 +x 2 =3, 3311111- x2 x 2 =(x2 x 2)3 -3(x2 x2)=33-3X 3=18.1118 2.原式=9247 3(2)分析:注意x、x2+x 2=(x+x 1)2_ 2= (x2 +x )2 2 2 2=(32 2)2 2=47.2.5y的取值范围，去掉对数符号，找到 x、y的关系式.解:由题意可得x0,y0,由对数运算法则得lg(x+y)(2x+3y)=lg(12xy),贝 U (x+y)(2x+3y)=12 xy.(2x-y)(x-3y)=0,即 2x=y 或 x=3y.x 1 T x故一 =

3、一或 一 =3.y 2 y评注:条件代数式的求值问题包括以下三个方面：(1)若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手用上条件；(2)若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化成结论的形式；(3)若条件与 结论的复杂程度相差无几时，可同时对它们进行化简，直到找出它们之间的联系为止 .对于齐次方程的化简，也可在方程两边同除以某一齐次项，把方程转化成要求的代数式为 未知数的方程的形式.第1页共10页、指数函数、对数函数的性质应用21. . . 一 . 一 .1【例2】已知函数y= log i (a x) - loga2()(2W xw 4)的最大值为0,最小值为，ax8解:y=log 1a(a x)

4、 loga2( )=log a(a2x) log a(ax)21=(2+logax)(1+log ax)2=(logax+ )2 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark75 o Current Document 22ymin=.812x21,a 2 1 =0a1.又 y的最大值为0时，logax+2=0或log ax+1=0,1-111即 x=0或 x= . .)=4 或 一 =2.a a a a八，1又.0a1, .a=-2评注:(1)若不注意发现隐含条件0a0,且aw1,函数y=ax与y=loga(x)的图象只能是下图中的解法一：首先，曲线y=ax只可能在上半

5、平面，y=loga( x)只可能在左半平面上，从而排第2页共10页除 A、C.其次，从单调性着眼，y=ax与y=loga(x)的增减性正好相反，又可排除 D.应选B.解法二：若0v av 1,则曲线y=ax下降且过点(0,1),而曲线y=loga( x)上升且过(1, 0), 以上图象均不符合这些条件.若a1,则曲线y=ax上升且过点(0, 1),而曲线y=loga(x)下降且过(1, 0),只有B 满足条件.解法三：如果注意到y=loga( x)的图象关于y轴的对称图象为y=logax,又y=logax与y=ax 互为反函数(图象关于直线y=x对称)，则可直接选定 B. TOC o 1-5

6、h z 评注:要养成从多角度分析问题，解决问题的习惯，培养思维的灵活性四、函数应用举例【例4】某企业实行裁员增效，已知现有员工 a人，每人每年可创纯利润1评估在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收0.01每年需付给下岗工人 0.4万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的万元，据万元，但34设该企业裁员x人后纯U攵益为y万元.(1)写出y关于x的函数关系式，并指出 x的取值范围；.(注：在保证(2)当140a 280时，问该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益能获得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁 解:(1)由题意可得y=(a-x)(1+0.0

7、1 x) 0.4x= x2+( - )x+a.100100 100即x的取值范围是(0,g中的自然数.4(2) - y=x-(2-70) 2+( 70)2+a1002100 2且 140 1, B= y|y=( g)x,x1,贝U An B 等于A.y|0y -2.y|0 y 1C.y|2y1,，y0W A= y|y0.又= y=(1 )x,x 1,.-. 0y 1，即 B= y|0y0 Ay|0y 1= y|0vyv 1.答案：A2.函数y= log 1 (x26x+17)的值域是2A. RB.8, +8)C.(-oo,-3)D.解析:y=l0gl ：(x-3)2+8 10gl 8= 3.

8、22答案:C.下列结论中正确的个数是3当a0.解析：由题息得3=1x0答案:B5.设有两个命题：关于x的不等式x2+2ax+40对于一切xC R恒成立，函数f(x)= (52a)x是减函数，若此二命题有且只有一个为真命题，则实数a的范围是A.(2,2)C.( 一 00 , 一 2)解析:等价于A =(2a)B.(-oo,2)D.( 一 00 , 一 222160 2a1 a2.有且只有一个为真，aC (-00答案:C-2).6.二次函数y= ax2+bx与指数函数y=( )x的图象只可能是a1 b1 一 、一一0,则a的取值范围是A.(0二)2B.(0,2C.(1+OO)2，)D.(0,+ 8

9、)解析：f(x)=log 2a(x+1)0=log 2a1. x (1,0),，0 x+11.1 . 02a1,即 0a 一2答案：A9.右图是指数函数y=axy=b：y=c：y=dx的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是A. a b v 1 v cv dC.1 a b (1 )x+1对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为 3解析：由题意知x2 2ax x 1恒成立，即 x2- (2a 1)x+10 恒成立. TOC o 1-5 h z 一 一 2.13故 A =(2 a 1) 40 m a 一 HYPERLINK l bookmark77 o Current Document 223答案

10、：1 ：二 a :二 3 HYPERLINK l bookmark51 o Current Document 214.关于x的方程7x+1 7xaa5=0有负根，则a的取值范围是 .解法:由 7x+1 7x a a 5=0 得 a= 75 =7 HYPERLINK l bookmark81 o Current Document 7x 17x 1x 0,1 V 7x+1 v 2.126v v 12.7x 1 5 V a v 1.解法二：由 7x+1 7x - a-a-5=0 得 7x= a57-a TOC o 1-5 h z 八 x x ,- a 5,. x0,.,. 07x 1.,. 0 V

11、V 1.7-a解得5 a 64.求这个方程真正的根. HYPERLINK l bookmark71 o Current Document 482解:原方程可变形为10g 22x+blog +c=0.11由于甲写错了常数 b,得到的根为和1 , HYPERLINK l bookmark102 o Current Document 48c=log 21 - log2l =6. HYPERLINK l bookmark104 o Current Document 48由于乙写错了常数G得到的根为工和64,2b= (log 2 +log 264)= 5.2故原方程为 10g22x 5log 2x+6=

12、0.因式分解得(logzx2)(log2x3)=0.log2x=2 或 10g2x=3,即 x=4 或 x=8.17.(本小题满分12分)试讨论函数f(x)=loga工(a0且aw1)在(1,+ 8)上的单调性，并x -1予以证明.分析:本题考查复合函数单调性的判定方法，判定的法则是同增异减，判定的关键是分清函数的复合过程.x 1解:设u=，任取X2Xi1,则x -1 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark20 o Current Document x2 1X1 1U2 u1=一x2 7x1 T=(X2 +1)(Xi -1) -(Xi +1)(X2 -1)(X2

13、-1)(Xi -1)2(Xi -X2)=.(X2 -1)(Xi -1)x1 1,x2 1, - - x1 1 0,x2 1 0.第8页共10页又 x1Vx2,，X1 x2V 0.2(X1 X2)0,即 U21 时,y=logax 是增函数, . logaU2 logaui,即 f(x2)Vf(xi)；当 0 a logaui,即 f(x2)f(xi).综上可知，当ai时,f(x)=loga上二1在(i,+ 8)上为减函数；当0V avi时,f(x)=logajxu 在x -ix- i(i,+ oo)上为增函数.2x 4xai8.(本小题满分i2分)设f(x)=lg,且当x(-oo,i：时f(x)有意义，求实数3a的取值范围.解：欲使xC ( 8,i时，f(x)有意义，需i+2x+4xa 0恒成立，也就是a ()+(一) (x 3时，满足题意，4一.一 .，. 3即a的取值氾围为(，+00).19.(本小题满分12分)某种细菌每隔两小时分裂一次 (每一个细菌分裂成两个， 分裂所需 时间忽略不计)，研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数 y是研究 时间t的函数，记作y=f(t).(1)写出函数y=