基于MATLAB仿真单级环形倒立摆课程设计说明书

1、专业课程设计说明书单级旋转倒立摆的稳定控制系统设计学生姓名：赵晓博学号：1307054153学院：计算机与控制学院专业：电气工程与智能控制指导教师：崔建峰，靳鸿2016年6月 目录TOC o 1-5 h z弓丨言2单级旋转倒立摆介绍3建模41.1倒立摆数学模型的建立41.2环形单级倒立摆系统的特性分析71.2.1环形单级倒立摆系统的稳定性分析71.2.2环形单级倒立摆能控性分析82对倒立摆系统的控制81对简单线性系统进行状态反馈控制82.2最优线性二次型对旋转倒立摆的控制11总结17参考文献18单级环形倒立摆引言倒立摆是处于倒置不稳定状态、通过人为控制使其处于动态平衡的一种摆。倒立摆是一个复杂

2、的快速、非线性、多变量、强祸合、自然不稳定的非最小相位系统,是重心在上、支点在下控制问题的抽象。关于倒立摆最初的研究始于20世纪50年代，麻省理工学院脚IT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。进入60年代，人们开始对倒置系统进行研究。1966年，schaeefr和Cannon应用Bang一Bang控制理论，将一个曲轴稳定于倒立位置。60年代以后，作为一个不稳定、严重非线性系统的典型证例人们提出了倒立摆的概念，并用其检验控制方法对不稳定、非线性和快速性系统的处理能力，受到世界各国科学家的重视。倒立摆的用途主要有两个方面。其一，作为一个非线性自然不稳定系统，倒立摆系统是进

3、行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。许多抽象的控制概念如控制系统的稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干扰能力等，都可以通过倒立摆系统直观地表现出來。其二，由于倒立摆系统具有高阶次、不稳定、多变量、非线性和强祸合等特性，其作为控制理论研究中的一个严格的控制对象，通常用于检验控制策略的有效性。研究人员不断从对倒立摆控制方法的研究中发掘出新的控制方法,并将其应用于航天科技和机器人学等各种高新科技领域。倒立摆的控制方法在半导体及精密仪器加工、导弹拦截控制系统、航空器对接技术和机器人技术等领域有着广泛的用途。例如，机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等均

4、涉及倒置问题。另外，倒立摆的控制方法对处理一般工业过程也有借鉴作用。近年來，对倒立摆系统控制方法的研究引起了国内外学者的广泛关注。单级旋转倒立摆介绍单级旋转倒立摆系统一种广泛应用的物理模型，其物理模型如下：图示为单级旋转倒立摆系统原理图。其中摆的长度I】二0.54m,质量1=0.127kg,横杆的长度1?二0.325m,质量叫二0.202kg,重力加速度g=0.98m/s2o以在水平方向对横杆施加的力矩M为输入，横杆相对参考系产生的角位移对为输出。控制的目的是当横杆在水平方向上旋转时，将倒立摆保持在垂直位置上。图1.环形倒立摆实物图单级旋转倒立摆可以在平行于纸面360度的范围内自由摆动。倒立摆

5、控制系统的目的是使倒立摆在外力的推动下，摆杆仍然保持竖直向上状态。在横杆静止的状态下，由于受到重力的作用，倒立摆的稳定性在摆杆微小的扰动下，就会使倒立摆的平衡无法复位，这时必须使横杆在平行于纸面的方向通过位移产生相应的加速度。作用力与物体位移对时间的二阶导数存在线性关系，故单级倒立摆系统是一个非线性系统。本文综合设计以以在水平方向对横杆施加的力矩为输入，横杆相对参考系产生的角位移为输出，建立状态空间模型，在原有系统上中综合带状态观测器状态反馈系统，从而实现当横杆在旋转运动时，将倒立摆保持在垂直位置上。1.1倒立摆数学模型的建立关于倒立摆运动方程的建立和分析，主要有牛顿一欧拉方法和拉格朗日方法。

6、这里釆用拉格朗口方程推导环形倒立摆运动学方程的方法得到系统的运动方程。在距摆杆转动轴距离为1处取一小段dl,这一小段dl的坐标为：x=hsinq-lsiiiftcosqy=cos+1sillsinqz=lcosQ对q、g求导，得x=l191cosq-102cosQcosq+iqsingsiny=一1包sinq+1cosgsinq+iqsin02cos。】z=-lftsin&X2=/p2cos2q+/M22cos202cos20+l202sin20?sin20-11IOO7cos26cosg+2ljpjcos0 xsinsin02-2126x02cosQcos02sinQsin32y2=l谜si

7、n2q+l2e；cos2sin2Q+sin，$cos?0_21J002siQcos_2/1/&2sinqsingcosq十cos&cosgsinjsing则这一小段摆杆dl的动能dT为:dTnu(x2+y2+z2)22厶八二*寻他仏询2+尸&2+尸律sin2ft_纠/&cosg)连杆的动能1;为摆杆的动能A?为：r2l.T=IdT叫Jo122=加4mJjD：4mJjOfsin.2%加丿人&久cosg233质量块的动能为：如(警)如代系统的总动能T为：7二加丿3弓帅口如儕+知再毋+91Sin_&2_加2“21&28S&2+2/系统的势能为(以连杆水平的位置为0势能位置):r=f+v十厂rnm2蚀

8、=mgl+加202(1+cos)+m3gl3拉格朗日算子l=t-v,系统广义上的坐标为q=q,Q,由于2上无外力，由拉格朗日方程与鲁-鲁二耳(i=l,2)等式帶令鲁=0成立。dt內內dt002d02L=T-V117?=也晋即+-加丛2&2*土皿8?+兰加厶丝2sin2仇_6233叫“2如2cos2-叫一叫妙2+cosQ)+叫03dL42-2.二一讪1&：sinEcos&+人/J&sin3+nughsin迢32=士用jjOr+加2仏&COS昭3亠ddLdL由等式石希一右可得出dt附0&340,=:一（昵cosE+sin0、cos仇十m.glysin久）4/nJj32=人3取平衡位置时各变量的初值

9、为零(0p020iX)=(0O0,0)将上式在平衡位置进行泰勒级数展开，并线性化处理，令dOx=蓝1昭昭d02K-%=00、=0,0=0胡=0,?7=00=0&=0,色=0,&=0,。2=0,&=03g/（4厶）=00=0血=0血=0妙=0=0=0q=oq=0,=0A=o同=o15前i=0A=0,=0,=04=0得到线性化之后的公式：=3Z1/（4Z2）二心&2十心9Lt=B、系统的传递函数可写成如下的形式:0($)_心_J41)U(s)-Kns?-(3g/4厶)设定状态变量如下：可得系统线性化状态方程为:x=Ax+Buy=(rX+D”(Ay缶、I00 x20000a000I&X0K乜J1/5

10、OKo1LooX7zrI.ooJ/rrslewtoMATLAB?A/otchthisX/icjuo.sddOumon-o77unxiT丄eonemnengguanUe097600976001.46301049010200一23.08031.00001.0000一14630-23O8Q3Lintitn2图4MATLAB计算结呆由于N二4因此系统是能控能观的。用MATLAB看该系统是否稳定如下图图5.MATLAB系统仿真图因此可以看出原系统是不稳定的，要使系统稳定，需要加入状态反馈，使系统的极点全部位于左半平面，控制系统的各种特性及其品质指标在很大程度上是由其闭环系统的零点和极点的位置决定。极点配

11、置问题就是通过对状态反馈矩阵的选择，使其闭环系统的极点配置在所希望的位置上，从而达到期望的性能指标的要求。极点配置是一个非常复杂的问题，是一个工程实践与理论相结合的问题。我们这里釆用一种工程实践中经常用到的简便方法-主导极点法，其基本思路是先根据期望的性能指标和经验公式确定一对主导闭环极点，然后将另外的非主导极点放在复平面上远离主导极点的位置。设倒立摆控制系统期望的性能指标为:阻尼系数=0.6,调节时间ts=2So亦即控制系统在任意给定的初始条件下，能够以适当的阻尼=0.6（大约10%的超调），在2S钟内将摆杆恢复到垂直平衡位置。根据控制理论的经验公式得到无阻尼自然频率为：wn=4/（ts）=

12、4/1.2=3.33P=wn由上述条件的很容易构建一个二阶系统，其两个极点为：pl=-2.0000+2jp2=-2.0000-2j它们就是需要的主导极点，控制系统的性能主要由这两个主导极点决定。另外两个非主导极点（为简化取两个实数极点）经过反复试验整定，分别取距离两个主导极点1倍和1.5倍的远处，即：p3=-2.0000p4=-3.0000本文设计的状态反馈要求系统期望的特征值为：L0;-8;-2+j;-2-j。手算求解状态反馈阵K有待定系数法和直接法，由于矩阵A阶数较高，本文使用Matlab中K=place(A,B,Pl),求解KA=0Z1/0/0;0Z0/-0.717/0；0/0/0Z1;

13、0,0/15.776/0;B=0;0.976;0;-1.463;C=1,O,O?O;Pl=-3;-2;-2+2j;-2-2j;K=place(A,B,Pl)K二-33453-44604-36.2550-9.1274由状态反馈矩阵可得状态反馈模型仿真图如下图所示图6.SIMULINK状态模拟仿真图O初始值M二3，0=0.152的零状态响应，响应曲线如下图所示。图了状态反馈系统和零状态响应曲线从上图可以看出在3秒左右，摆杆和竖直方向的夹角e=o系统达到稳定。2.2最优线性二次型对旋转倒立摆的控制线性二次型是指系统的状态方程是线性的，性能指标函数是对象状态变量和控制输入变量的二次型函数。对于线形系统

14、，若性能指标为二次性函数，这样实现的控制叫做线性二次型最优控制。二次型最优控制问题就是在线性系统的约束条件下，选择控制输入使得二次型目标函数达到最小。其最终目标是为系统设计线性二次型调节器简称LQRo线性二次型最优控制方法是20世纪60年代发展起來的一种普遍采用的最优控制系统设计方法。在工程实际中应用线性二次型最优控制是非常普遍的。这是因为，二次型性能指标有较为明确的物理概念;而且采用二次型性能指标在数学处理上比较简单，共至能得到解析形式表达的线性反馈规律，可以实现状态的线性反馈，线性二次型控制理论是反馈系统设计的一种重要工具，它为多变量反馈系统的设计提供了一种有效的分析方法,可以适应于时变系

15、统，能够处理扰动信号和测量噪声问题，并可以处理有限和无限的时间区间。状态调节器是指釆用状态反馈,使状态向量的各分量迅速趋近于零，而不消耗很多能量的系统。考虑系统被控对象的状态空间方程为x=AX(t)+BU(t)y=x(t)其中,x为n维状态向量,u为r维控制向量,且不受约束,A为n*n维常数矩阵,B为n*r维常数矩阵。寻找一个状态反馈控制律u()t=-Kx()t,即确定最优控制矩阵K,使得系统下面的性能指标为最小。J=2xf+2JxTQ(t)x+uTR(t)udt式中Q为n*n对称半正定矩阵，R为r*r对称正定矩阵；F为n*n对称半正定矩阵。可得状态反馈控制律为：u*=-kx(t)=-R1BT

16、(t)P(t)x定义方程给出的线性控制矩阵K为最优控制矩阵，因此最优控制矩阵K为：K=RT(t)P(t)图8.系统的控制框图从控制效果來看,LQR是连续线性二次型最优控制函数，用于计算连续状态空间控制方程,LQR指标中引入对控制增量的约束，可以保证控制量的变化不至于太剧烈，且通过加权系数，可以选择对跟踪误差和控制量的变化的抑制两方面的侧重过程,LQR指标具有一定的鲁棒性。在MATLAB控制工具箱中有解黎卡提方程的专用函数，对于形式为A+XAXBX+C=0的代数黎卡提方程，它的调用方式为X=are(A,B,C,显然X代入P(t),A代入A(t),代入B的应是B(t)R_1(t)BT(t),代入C

17、的应是Q(t)。MATLAB也给出了求解线性二次型最优调节器的函数lqr,其调用语句为K,P,E=lqr(A,B,QR)可见公式中的输入变量都是系统中的已知矩阵，而返回的解除了增益矩阵K和方差阵P之外,还有一个特征根矩阵E,它是特征方程Hl-(A-BK)=0的根，根据它可以判断系统的动态稳定性。根据现代控制理论最优控制原理利用MATLAB提供的LQR(A,B,0,R)可以方便的算出控制矩阵K。选择合适的加权矩阵Q和R,矩阵Q是用來衡量输入量与输出量的敏感程度，从而可以计算出状态反馈增益矩阵K。Q和R的选取依据如下；在一般的情况下，令R矩阵为1,则参数调节的重心集中在Q矩阵的参数调节。Q矩阵通常

18、是对角线常数阵，对角线上的元素q,分别表示对应误差分量xi的重视程度。越加被重视的误差分量，希望它越小，相应地其加权系数q,就应取得越大。如果对误差在动态过程中不同阶段有不同的强调时，那么，相应的qi就应取成时变的。现在开始给定Q矩阵：Q=diag(q1耳2,0,0)参数的qi主要与伺服齿轮偏转角而参数q2主要与摆杆的偏转角度a有关，通过参数的设定使得哪一个变量优先为0.默认的Q=diag(l100),为此保持q2不变慢慢加大qi的值，可以调出较稳定的值。基于现代控制理论的LQR方法依赖于局部线性化后的系统状态空间模型，在系统平衡点附近的控制效果良好，但是当系统偏离平衡点较大时，非线性因素的影

19、响突显出來，造成了模型失配和系统发散。模糊控制不依赖于系统的精确模型,对旋转倒立摆在大范围内控制效果良好，但是在系统平衡点附近对零位的判断不精确，使得系统出现了较大的稳态误差，并且在平衡点附近出现了明显的振荡。此次研究的单级倒立摆实物为固高公司所产的，下面是MATLAB仿真图。图9.MATLAB仿真图根据lqr可求得状态反馈增益矩阵K选取最简单Q，R值：在Q=diag(l,O,1,O),R=1;求得状态反馈增益KK=-l.0000-1.797878.881115.1174加入状态反馈增益K后，验证系统在线性情况下是否稳定。加入K后可求得此时系统的极点P二-5.2182+0.0864i-5.21

20、82-0.0864i-0.7069+0.7069i-0.7069-0.7069i1Figure1:阶趺响应一口XFileEditViewInsertToolsDesktopWindowHelpD&H鬓鯉鸽渥謠目回ResponsetoInitialConditions1-101S1HO6L5676910Time(seconds)图10.系统阶跃响应?0010极点都具有负实部，系统稳定。且系统的阶跃响应曲线如下：由曲线可知，连杆，摆杆的摆动幅度不大，大约在四五秒后稳定在Qiag（：L,0丄0）,RJ时,连杆角度变化图n连杆角度的变化QScopeX吕鬲I回2執I因珞坯I曰ft嗥 Timeoffset:O图12.摆杆角度变化:吕陽Q爲軌E2第阳耳卞1.510.500.5-11.5051015Timeoffset:0图13输出曲线 Q=diag(5Al,0)QFigure2:耒统阶跌Q应aprlduY(DJnoolResponsetoinitiaiComditions45678910Timo(8GCondaFile-EditViewInsertToolsDesktopWindowHelpU日4IS目口图14.阶跃响应曲线