高中数学选修1椭圆的几何性质例题解析

1、椭圆的几何性质例题解析【例11求适合下列条件的椭圆的标准方程: 离心率为 告，准线方程为X =8； (2)长轴与短轴之和为2 0 ,焦距为 4； 5【分析】 要求椭圆的标准方程，首先判断椭圆的焦点所在的轴，然后求标准方程中待定的 和b的值.【解】(1)由准线方程为x = 8,可知椭圆的焦点在x轴上.22设所求椭圆的方程为X2 +y2 =1(a b0), a bc b0)a b2a +2b =20,2c = 4、5.a+b=10, a2 -b2 =20. TOC o 1-5 h z 22所以焦点在x轴上的椭圆的方程为x +y =1,361622同理可求当焦点在y轴上椭圆的方程为 人+ L = 1

2、.16362222因此，所求的椭圆的方程为 +匕=1和-十L = 1.36 1616 36【点评】求椭圆的标准方程，常用方法是待定系数法一般步骤是:(1)根据焦点所在的位置设椭圆的标准方程；(2)由已知条件求出待定的系数a、b; 将求得的系数a、b代入所设方程，即得所求椭圆的标准方程 TOC o 1-5 h z 22【例2】设F是椭圆+匕=1的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点R(i =1,2,3八),使 76FP1、FP2、FP3，组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为.【分析】本试题综合了解析几何与代数中的重要内容：椭圆的几何性质、焦半径的有关内容， 等差数列的通项与公差等问题，考查考

3、生对基础知识的掌握应用能力，考查考生分析问题解 决问题的能力.利用椭圆的性质求出焦半径的取值范围，利用通项公式求出公差的取值范 围.这里应注意数列可以是递增的也可以是递减的.【解】易知椭圆的焦点到椭圆上的点的最大与最小距离分别为a+c与a-c,即J7+1与,7 -1于是由等差数列的通项公式得 V7-1+(n-1) d = J7+1解得d|= - n -1111因n-120,故d 6)的一个圆，点A是圆C内的一个定点，且| AC| = 6,试求过点A且与。C内切的动圆圆心的轨迹方程.若定圆圆心 C到轨迹上的点的距离的最 大值为8,求。C的半径R.【解析】取的，C所在直线为4轴，线段的中垂线为了轴

4、（如图所 示上设动圆圆心为尸fay）. 7 |HC | = 6, .幺（-3,0）, 0（3.0）,由题意可知产川十|尸。工我依6,二产点的轨迹RJ2为以A,C为焦点的椭圆；口 =缶=3力与一9,工所 求轨迹方程为管斗静点C到轨迹上的点的距离的最大值为白+j:与+ 3=8,1.火=la t【点评】关于“曲圆的一个焦点到椭圆上点的距离的最大值为口十n 最小值为一匚”的证明如下：如图（】）,设椭圆4+4=1（a bQ50）的一个焦点为尸。）相应推线为工=之，尸点 是桶圆上的任怠一点，尸到准线的距黑为d, 丁粤1m八/Pf* n 4+ d,*a c* PF 0, bo）与直线x+y=l交于A、B两点

5、，M为AB的中点,直线OM勺斜率为2,且OALOB（g坐标原点），求椭圆的方程.【解析】设q工1R（须，了。由方程组消去了得& + &）玄* 2任一占一1 = 0,【9工2+如=1二个+不=1r4. * M 为 AB 中点，M （ Wtq :人 1 , * Aom= 2 .，日 TOC o 1-5 h z “十。小十0 出十。a-f-p .bk纵 又*OA _LOB，工4f = - i *即工/斗yj2 = 6而“必w（l 工i）（l工。工1 一工i+工）+工6,，2工遇；： + 】一（皿-kx： = 0-7-bl =0,:曰 +方=2. 口十后o十白 由】，得。=活=4.，椭圆方程为铮+孥=

6、1. o0 o【点评】对直线和椭圆的位置关系与方程组的转换、两交点存在与判别式0及韦达定理的转换、OALOB转换X1X2 丫佻=0. 22x y【例5】已知Fi、F2分别为椭圆 + 64 =1的左、右焦点，椭圆内一点M的坐标为（2, 6）,P为椭圆上的一个动点，试分别求：（1） |PM|+5|PF2| 的最小值；（2） |PM| + |PF2| 的取值范围. 3一一2255 x y【分析】 待求式|PM|+3|PF2中含有的常数3,使我们联想到椭圆 面+ 64 =1离心率恰好为e = 3 ,而胆 =5|PF2| ,它表示P到准线的距离，故第（1）小题可使用椭圆的第二定义5 e 3求解.对于第（

7、2）小题，可注意到椭圆的定义：椭圆上的点到两焦点的距离之和为定值，进 而可将和式“ |PM| + |PF2|转化为差式” |PM| |PFi|+20”进行求解50【解】（1）椭圆右准线l : x=彳，过点P作PN! l于点N,如图所小则由椭圆的第二定义知 3|PF 2|35qPNT = e = 5, 于3 |PN| = 3|PF21 所以，|PM| + 5|PF2| = |PM| 十 |PN| d（M, l）,3其中d（M, l）表示点M到准线l的距离44 易求行d（M , l）= 3所以，|PM| + 5|PF2|的最小值为?（此时点P为过点M且垂直于l的线段与椭圆的交点） 33（2）由椭圆的定义知|PF 2| 十|PFi|=2a=20,故 |PM| 十|PF2| = |PM| |PFi|+201? |PM| -|PFi| |MFi| =10 ,故|PM| +|PF2| 30 （当且仅当P为有向线段MFi的延长线与椭圆的交点时取“=”）;2? |PF i| -|PM|MFi| =i0 ,故|PM| 十|PF2|=20 （|PFi|一|PM|）i0（