6-GARCH模型分析与应用解析

1、第六章 GARCH模型分析与应用学习目标了解金融市场序列的ARCH过程；掌握GARCH模型、EGARCH模型和TGARCH模型的形式及其含义；熟悉GARCH类模型的检验与估计；掌握GARCH模型在金融数据分析中的应用。 GARCH模型分析与应用第一节 ARCH过程第二节 GARCH类模型的检验与估计第三节 GRACH类模型的扩展第一节ARCH过程ARCH模型（autoregessive conditonally heteroscedastic，ARCH），即自回归条件异方差模型，它是金融市场中广泛应用的一种特殊非线性模型。按照通常的想法，自相关的问题是时间序列数据所特有，而异方差性是横截面数据

2、的特点。但在时间序列数据中，会不会出现异方差呢？会是怎样出现的？ 恩格尔和克拉格（Kraft, D., 1983）在分析宏观数据时，发现这样一些现象：时间序列模型中的扰动方差稳定性比通常假设的要差。恩格尔的结论说明在分析通货膨胀模型时，大的及小的预测误差会大量出现，表明存在一种异方差，其中预测误差的方差取决于后续扰动项的大小。从事于股票价格、通货膨胀率、外汇汇率等金融时间序列预测的研究工作者，曾发现他们对这些变量的预测能力随时期的不同而有相当大的变化。预测的误差在某一时期里相对地小，而在某一时期里则相对地大，然后，在另一时期又是较小的。这种变异很可能由于金融市场的波动性易受谣言、政局变动、政府

3、货币与财政政策变化等等的影响。从而说明预测误差的方差中有某种相关性。 为了刻画这种相关性，恩格尔提出自回归条件异方差（ARCH）模型。ARCH的主要思想：时刻 t 的t 的方差（= t2 ）依赖于时刻(t 1)的残差平方的大小，即依赖于 2t-1 。 1983年，1986年，Bollerslev在Engle的ARCH模型基础上对方差的表现形式进行了线性扩展，并形成了更为广泛的GARCH模型。后来，该类模型也得到了很大的发展，形成了如EGARCH, IGARCH,GARCH-M等模型。一、金融时间序列的异方差性特征 p197现实金融市场上，许多金融时间序列并没有恒定的均值，大多数序列在呈现出阶段

4、性的相对平稳的同时，往往伴随着出现剧烈的波动性。金融市场中，波动率（volatility）是金融时间序列最重要的特征之一，因而模拟和预测股票市场的波动性已经成为众多理论和实证研究的重要领域。然而，金融市场时间序列存在非平稳性，样本均值并不恒定，有明显的异方差性特征。因此，传统线性结构模型（以及时间序列模型）并不能很好地解释金融数据的重要特征，这包括：尖峰厚尾（Leptokurtosis）：金融资产收益呈现厚尾（fat tails）和在均值处呈现过度波峰，即出现过度峰度分布的倾向；波动丛聚性（clustering）：金融市场波动往往呈现簇状倾向，即波动的当期水平往往与它最近的前些时期水平存在正相

5、关关系。杠杆效应（leverage effects）：指价格大幅度下降后往往会出现同样幅度价格上升的倾向 Engle(1982)提出的ARCH模型，正是在不使用特定变量xt 或数据转换的情况下，同时对序列的均值和方差进行建模。要理解Engle的方法，首先我们要估计平稳ARCH模型 yt=a0+a1yt-1+t，并预测yt+1，则 yt+1的条件均值为 Etyt+1=a0+a1yt ,若我们用这个条件均值去预测yt+1，则预测误差方差为Et(yt+1-a0-a1yt )2= Et(t+1)2 =2。 若用 表示模型 yt=a0+a1yt-1+t 的残差估计值，那么yt+1 的条件方差为： var

6、(yt+1|yt)=Et(yt+1-a0-a1yt )2= Et(t+1)2 二、ARCH过程 p199现在假设条件方差不定，一个简单的处理方法就是用残差估计值的平方将条件方差建模为AR(q)过程为：其中，vt是一个白噪声过程。类似于上式的被称为自回归条件异方差（ARCH）模型。 ARCH过程Engle提出的乘法条件异方差模型中最简单的一例为ARCH(1) 模型，即： 更一般地，Engle提出的ARCH模型的高阶ARCH（q）过程为： 可见，Engle(1982)提出ARCH模型的核心思想是：残差项 的条件方差依赖于它的前期值的大小 。Bollerslev广义自回归条件异方差(Generali

7、zed ARCH,GARCH)模型。GARCH类模型最早是Engle提出的ARCH模型，即自回归条件异方差模型。设标的资产时间序列为yt， Engle年建立了回归模型ARCH(q)其中，是因变量，是解释变量的向量，是未知参数的向量, 假设 在给定(t-1) 时间内的信息 满足正态分布 （，），但其条件方差为：GRACH模型 p201GRACH模型Bollerslev(1986)扩展了Engle（1982）的原始模型，引入了一种允许条件方差转化为一个ARMA过程的方法。在GARCH模型中，要考虑两个不同的假设：一个是条件均值；一个是条件方差。标准的GARCH(1,1)模型为： （6.13） （6

8、.14）其中，方程（6.13）是均值方程，它是一个带有残差项的外生变量的函数；方程（6.14）是条件方差方程，它是根据前期信息为基础向前预测方差，因此 ht 又称条件方差。同时，0、1和是待估参数 GRACH模型进一步扩展，可以得到高阶GARCH（p,q）模型。高阶GARCH模型可以包含多个ARCH项和GARCH项，它的条件方差表示为：其中，参数q是ARCH项的阶数，p是自回归GARCH项的阶数00，10，j0。实证案例6-1上证指数的GARCH（1，1）模型为说明GARCH（1，1）模型，在此我们以上证指数为例，时间区间为1990年12月19日至2006年8月31日，共3855个观测数据。其

9、中，图6-3、图6-4为上证指数收益率序列和残差序列波动图，表6-1是该指数的GARCH（1，1）检验结果。图6-3 上证指数收益率波动序列图6-4： 上证指数收益率的残差序列四、GACRCHM模型除了刻画残差项t 的方差方程之外，还可以将残差项的条件方差特征作为影响序列yt 本身的解释变量之一，引入序列的yt 的均值方差，并利用条件方差预测风险，我们将这类模型称为ARCH均值（GARCH-in-mean)模型，即GARCH-M模型。GARCH-M模型最先是Engle等人在1987年引入的，以此模型来描述风险溢价随时间的变化。GARCH-M(1,1)模型如下：当风险（波动性）增加，收益水平增加

10、时，方程中对应的条件方差的系数 0；当风险增加，收益水平减少时，对应的条件方差系数0。第二节GARCH类模型的检验与估计 p205一、ARCH效应检验检验一个模型是否存在一个ARCH效应，通常有两种方法：ARCH LM检验和残差平方相关图检验。1、ARCH_LM检验1982年，Engle提出检验残差序列是否存在ARCH效应的拉格朗日乘数检验（Lagrange multiplier test），即ARCH LM检验。GARCH类模型的检验与估计ARCH LM检验统计量是一个辅助检验统计量，即ARCH效应是通过一个辅助的回归检验计算出来的。为检验原假设 ：残差序列中直到q阶不存在ARCH效应，即

11、= = =0。为此，我们需要进行如下检验： 从检验结果，我们会得到两个统计量：（1）F统计量：对所有残差滞后的联合检验，用于检验所有滞后残差平方项都联合显著；（2）TR2统计量：观测样本个数T乘以回归检验的拟合优度R2。GARCH类模型的检验与估计2、残差平方相关图残差平方相关图显示残差平方序列任意指定滞后阶数的自相关（AC）和偏自相关（PAC）系数，并且计算相应滞后阶数的Ljung-Box Q统计量。残差平方相关图可用于检验残差序列中是否存在效应。如果残差序列不存在ARCH效应，自相关和偏自相关系数在所有的滞后阶数都为，并且统计量也不显著；否则，就说明序列中存在ARCH效应。使用Eviews

12、软件进行GARCH估计由于ARCH类模型是非线性的，不能应用OLS进行估计。原因在于OLS可使得残差平方和（RSS）最小化，而RSS仅取决于条件均值方程的参数，而不是条件方差。为估计GARCH类模型，为此应用极大似然法（maximum likelihood）的技术方法。极大似然估计法是一种估计回归参数的常用方法，它既可以用来估计线性模型，又可以用来估计非线性模型。从本质上而言，这种方法是通过在给定的实际数据中寻找最有可能的参数值进行的，更确切地说，要形成一个对数似然方程和寻找最大化的参数值，对线性和非线性模型运用极大似然估计来寻找参数。在EViews中估计ARCH模型 估计GARCH和ARCH

13、模型，首先选择Quick/Estimate Equation或Object/ New Object/ Equation，然后在Method的下拉菜单中选择ARCH，得到如下的对话框。 (EViews4.0)的对话框 (EViews5)的对话框与选择估计方法和样本一样，需要指定均值方程和方差方程。 （一）均值方程 在因变量编辑栏中输入均值方程形式，均值方程的形式可以用回归列表形式列出因变量及解释变量。如果方程包含常数，可在列表中加入C。如果需要一个更复杂的均值方程，可以用公式的形式输入均值方程。 如果解释变量的表达式中含有ARCHM项，就需要点击对话框右上方对应的按钮。EViews4.0中，只有

14、3个选项： 1.选项None表示方程中不含有ARCHM项； 2.选项Std.Dev.表示在方程中加入条件标准差； 3.选项Variance则表示在方程中含有条件方差 2。 而EViews5中的ARCH-M的下拉框中，除了这三个选项外，还添加了一个新的选项：Log(Var)，它表示在均值方程中加入条件方差的对数ln( 2)作为解释变量。 （二）方差方程EViews5的选择模型类型列表（1）在model下拉框中可以选择所要估计的ARCH模型的类型。 （2）在Variance栏中，可以根据需要列出包含在方差方程中的外生变量。由于EViews在进行方差回归时总会包含一个常数项作为解释变量，所以不必在变

15、量表中列出C。（3）设定了模型形式以后，就可以选择ARCH项和GARCH项的阶数。缺省的形式为包含一阶ARCH项和一阶GARCH项的模型，这是现在最普遍的设定。 例，为了检验股票价格指数的波动是否具有条件异方差性，选择了沪市股票的收盘价格指数的日数据作为样本序列(这是因为上海股票市场不仅开市早，市值高，对于各种冲击的反应较为敏感，具有一定代表性)。在这个例子中，选择的样本序列sp是1998年1月3日至2001年12月31日的上海证券交易所每日股票价格收盘指数，为了减少舍入误差，在估计时，对sp进行自然对数处理，即将序列log(sp)作为因变量进行估计。 由于股票价格指数序列常常用一种特殊的单位

16、根过程随机游动（Random Walk）模型描述，所以本例进行估计的基本形式为： 首先利用最小二乘法，估计了一个普通的回归方程，结果 （15531） R2= 0.994 对数似然值 = 2874 AIC = -5.51 SC = -5.51 可以看出，这个方程的统计量很显著，而且，拟和的程度也很好。但是对这个方程进行异方差的White和ARCHLM检验，发现 q = 3 时的ARCH-LM检验的相伴概率，即P值接近于0，White检验的结果类似，其相伴概率，即P值也接近于0，这说明误差项具有条件异方差性。滞后阶数p = 3时的ARCH LM检验结果： 此处的P值为0，拒绝原假设，说明残差序列存

17、在ARCH效应。还可以计算残差平方的自相关（AC）和偏自相关（PAC）系数，结果如下： 股票价格指数方程回归残差 观察上图，该回归方程的残差，我们可以注意到波动的“成群”现象：波动在一些较长的时间内非常小（例如2000年），在其他一些较长的时间内非常大（例如1999年），这说明残差序列存在高阶ARCH效应。重新建立序列的GARCH（1, 1）模型，结果如下：均值方程： （23213）方差方程： （11.44） （33.36） 对数似然值 = 3006 AIC = -5.76 SC = -5.74 ARCH估计的结果可以分为两部分：上半部分提供了均值方程的标准结果；下半部分，即方差方程包括系数，

18、标准误差，z统计量和方差方程系数的P值。在方程中ARCH的参数对应于1，GARCH的参数对应于 （6.14式）。在表的底部是一组标准的回归统计量，使用的残差来自于均值方程。 方差方程中的ARCH项和GARCH项的系数都是统计显著的，并且对数似然值有所增加，同时AIC和SC值都变小了，这说明这个模型能够更好的拟合数据。再对这个方程进行条件异方差的ARCHLM检验，相伴概率为P = 0.924，说明利用GARCH模型消除了原残差序列的异方差效应。ARCH和GARCH的系数之和等于0.982，小于1，满足参数约束条件。由于系数之和非常接近于1，表明一个条件方差所受的冲击是持久的，即它对所有的未来预测

19、都有重要作用，这个结果在高频率的金融数据中经常可以看到。例 估计我国股票收益率的ARCHM模型选取1998年1月3日至2001年12月31日的上海证券交易所每日股票价格收盘指数sp，股票的收益率是根据公式：ARCHM模型：估计结果：对数似然值 = 3006 AIC = -5.77 SC = -5.74在收益率方程中包括 t 的原因是为了在收益率的生成过程中融入风险测量，这是许多资产定价理论模型的基础 “均值方程假设” 的含义。在这个假设下， 应该是正数，结果 = 0.27，因此我们预期较大值的条件标准差与高收益率相联系。估计出的方程的所有系数都很显著。并且系数之和小于1，满足平稳条件。均值方程

20、中t 的系数为0.27，表明当市场中的预期风险增加一个百分点时，就会导致收益率也相应的增加0.27个百分点。 第三节 GRACH类模型的扩展 p213自从GARCH模型提出以来，就出现了非常多的模型加以扩展和变化。这些扩展模型大多数是对GARCH有关条件的改变，从而产生了不同的条件异方差的表达方式，因而产生了不同的GARCH类扩展模型。 一、非对称GARCH模型GARCH模型的一个主要约束是它们对正的或负的冲击做出对称反应。然而，对于金融时间序列而言，负的冲击往往比相同程度的正的冲击引起更大的波动。这种非对称性，是受到杠杆效应（leverage effects）的影响。因为较低的股价减少了股东

21、权益，从而引起公司债务对股权比率的上升，这会导致承受公司剩余风险的公司股东觉察到它们未来的现金流具有更大的风险。为解释这一现象，Engle和Ng(1993)绘制了好消息和坏消息的非对称信息曲线，认为资本市场的冲击是一种非对称性冲击 TARCH模型TARCH或者门限(Threshold)ARCH模型由Zakoian(1990)和Glosten，Jafanathan，Runkle(1993)独立的引入。条件方差指定为：其中，当 ut 0)和坏消息(ut 0 ，我们说存在杠杆效应，非对称效应的主要效果是使得波动加大；如果 0时，Dt=0；否则，Dt=1。在模型中，好消息 t-10 和坏消息 t-10

22、，我们说存在杠杆效应；如果 0 ，则信息是非对称的。GRACH类模型的扩展 p214实证案例6-2应用TGARCH模型对中国上海与英国伦敦期货市场的杠杆效应进行检验高辉（2005）应用TGARCH模型对中国上海与英国伦敦期货市场的杠杆效应进行估计，估计区间为1998年2月4日至2004年12月31日。两市铜期货市场的TARCH模型估计结果为：两市铝期货市场的TARCH模型估计结果为：从上述估计结果中可以看出，哑变量前的系数均为负值，但是均不够显著，说明两市存在的“杠杆效应”均不显著，市场利好消息的影响不能明显强于利空消息的影响。这是中国上海期货交易所金属期货市场的波动性的重要特征。由于对于金属

23、铜来说，两市的影响因素的来源相似，因此，两市波动性的非对称性程度基本一致（由哑变量的系数大小可以看出），表示两市的投资者在对待消息面的冲击的反应上具有基本相同的应变态度，但是对于金属铝来说，两市的影响因素存在一定的差异，两市波动性的非对称性程度存在一定的差异。 Nelson的EGARCH模型指数GARCH（Expoential GARCH），其条件方差为：这里，若，则说明存在杠杆效应。只要，冲击的影响就是非对称的。更高阶的EGARCH表达为：GRACH类模型的扩展EGARCH(1,1)和GARCH(1,1)的信息冲击曲线对比图 二、单整GARCH（IGARCH）模型在GARCH(p,q)模型进

24、行金融时间序列估计时，GARCH模型中的参数i 和j要服从一定的条件。可以证明：若干扰项服从GARCH(p,q)过程，则其方差为：干扰项t的方差 Var(t)，无穷大的方差说明序列是不稳定的。因此，通常将 成立时的GARCH（p,q）模型称为单整GARCH（integrated GARCH，IGARCH）模型。克里斯汀(Christie，1982)的研究认为，当股票价格下降时，资本结构当中附加在债务上的权重增加，如果债务权重增加的消息泄漏以后，资产持有者和购买者就会产生未来资产收益率将导致更高波动性的预期，从而导致该资产的股票价格波动。因此，对于股价反向冲击所产生的波动性，大于等量正向冲击产生

25、的波动性，这种“利空消息”作用大于“利好消息”作用的非对称性，在美国等国家的一些股价指数序列当中得到验证。 例 那么在我国的股票市场运行过程当中，是否也存在股票价格波动的非对称性呢？利用沪市的股票收盘价格指数数据，我们估计了股票价格波动的两种非对称模型，结果分别如下： TARCH模型：均值方程： (19689.6) 方差方程： z (5.57) (7.58) (5.31) (45.43) 对数似然值 =3012.5 AIC = -5.77 SC = -5.75杠杆效应项由结果中的(RESID0)*ARCH(1)描述，它是显著为正的，所以存在非对称影响。在TARCH模型中，杠杆效应项的系数显著大

26、于零，说明股票价格的波动具有“杠杆”效应：利空消息能比等量的利好消息产生更大的波动：出现“利好消息”时，即当 时，有 的冲击；出现“利空消息”时，即当 时， 有 的冲击。 EGARCH模型：均值方程： (19897.8) 方差方程： (-7.26) (9.63) (-5.63) (123.29) 对数似然值 =3020.3 AIC = -5.79 SC = -5.76 这个例子中，利空消息能比等量的利好消息产生更大的波动的结果在EGARCH模型中也能够得到印证，在EGARCH模型中， ，其非对称项 的系数小于零，当 时，有 倍冲击；当 时，有 倍冲击。在EViews4.0的EGARCH模型结果