【三角形全等】重要模型【合集】

1、 i全等三角形相关模型总结、角平分线模型（1）角平分线+两边垂线今全等三角形：角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边距离相等；已知：AD平分ZBAC,CD囹AC，垂足为C,过点D作DB0AB，垂足为B；（角分线垂两边，对称全等必呈现）（2）角平分线+垂线模型等腰三角形必呈现：遇到垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形;已知：OP平分ZAOB，MP丄OP，垂足为P,延长MP交OB于点N；结论：OPM9AOPN；AOMN为等腰三角形；P是MN的中点（三线合一）;（3）在角的两边上截取相等的线段，构造全等三角形:已知：OC是ZAOB的角平分线，D为OC上一点；辅助线

2、：在OA上取一点E,在OB取一点F,使得OE=OF,并连接DE，结论：OED9AOFD； (4)作平行线以角分线上一点作角的另一边的平行线,过一边上的点作角平分线的平行线与另-已知：OP平分ZMON,ABON,结论：AOAB等腰三角形M则AOAB等腰三角形；边的反向延长线相交，贝yODH等腰三角形;已知：OC平分ZAOD,DHOC,结论：AODH等腰三角形角平分线+两边垂线今全等三角形辅助线：过点G作GE丄射线AC已知：AD是ZBAC的角平分线，CD丄AC,DB丄AB,求证：CD=DB证明：TAD是ZBAC的角平分线,AZ1=Z2,TCD丄AC,DB丄AB,AZACD=ZABD=90,在厶AC

3、D和厶ABD中，Zl=Z2AC,ZA的平分线与BC的垂直平分线相交于D,过D作DE丄AB、DF丄AC,垂足分别为E、F.求证：BE=CF.AN平分ZBAC，若AN丄BD且交例3：如图，在ABC中，ACAB,M是BC中点,1BD的延长线于点D,求证：MN=2（AC-AB）.例4：如图，在ABC中，M为BC的中点，DM丄BC,DM与ZBAC的角平分线交于点D,角平分线+垂线模型等腰三角形必呈现例1如图，在RtABC中，AB=AC,ZBAC=9O,Z1=Z2,CE丄BE交BA的延长于F.求证：BD=2CE例2、如图，在AABC中，ZBAC的角平分线AD交BC于点D,且AB=AD,作CM丄AD交AD的

4、延长线于M.求证：2AM=(AB+AC)例3：如图，已知ABC中，CF平分ZACB，且AF丄CF,ZAFE+ZCAF=180,求证：EFBC.截取构造全等：例1：如图，ABAC,Z1=Z2,求证：ABACBDCD。例2:如图，AB/CD,BE平分ZABC,CE平分ZBCD，点E在AD上，求证:BC=AB+CD.A例3:在AABC中，ABAC，AD是ZBAC的平分线.P是AD上任意一点.求证:AB-ACPB-PC.例4：已知ABC中,AB=AC,ZA=100,ZB的平分线交AC于D,求证：AD+BD=BCA 角平分线+平行线模型例、AABC的两条角平分线OB、OC相交于点O,MN经过点0,且MN

5、BC交AB、 二、等腰直角三角形模型（1）将厶ABD逆时针旋转90，得ACM9ABD，从而推出ADM为等腰直角三角形.（2）辅助线作法：过点C作MCIBC，使CM=BD，连结AM.二）旋转中心为斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：操作过程：连结AD.使BF=AE(或AF=CE),导出BDF9ADE.使ZEDF+ZBAC=180，导出BDF9ADE.三）构造等腰直角三角形1）利用以上（一）和（二）都可以构造等腰直角三角形（略）2）利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角形.四）将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：题型1】证角等如图，RtABC中，ZBAC=90,AB=AC,M为AC中点

6、，连结BM,作AD丄BM交BC于点D,连结DM,求证:ZAMB=ZCMD.解析：作等腰RtEABC关于BC对称的等腰Rt囹BFC，延长AD交CF于点N,ANBM，由正方形的性质，可得AN=BM,易证RtEABMERtECAN，AMB=CND，CN=AM，囹M为AC中点，ECM=CN，EE1=E2，可证得ECMDEECND，EECND=ECMD，EEAMB=ECMD题型2】判定三角形形状如图，RtABC中，ZBAC=90,AB=AC,AD=CE,AN丄BD于点M,延长BD交NE的延长线于点F,试判定ADEF的形状.解析：作等腰RtEABC关于BC对称的等腰RtEBHC,可知四边形ABHC为正方形

7、，延长AN交HC于点K,EAKEBD，可知AK=BD，易证:RtEABDERtECAK，EEADB=ECKN，CK=AD， AD=EC,CK=CE,易证CKNCEN,CKN=CEN,易证EDF=DEF,DEF为等腰三角形.题型3】利用等积变形求面积如图，RtABC中，ZA=90,AB=AC,D为BC上一点，DEIIAC,DFAB,且BE=4，CF=3，求S矩形DFAEBEA解析：作等腰RtEABC关于BC的对称的等腰Rt囹GCB,可知四边形ABGC为正方形，分别延长FD、ED交BG、CG于点N、M,可知DN=EB=4,DM=FC=3,由正方形对称性质，可知S=S=DMDN=3x矩形DFAE矩形

8、DMGN4=12.题型4】求线段长如图，AABC中，AD丄BC于点D,ZBAC=45,BD=3,CD=2，求AD的长.解析：以AB为轴作RtEADB的对称的RtEAEB，再以AC为轴作RtEADC的对称的RtEAFC.可知BE=BD=3,FC=CD=2，延长EB、FC交点G,EEBAC=45,由对称性，得EEAF=90,且AE=AD=AF,易证四边形AFGE为正方形，且边长等于AD,设AD=x，则BG=x3,CG=x2,在RtEBCG中，由勾股定理，得(x-21+(x-3匕=52,解得x=6,即AD=6.题型5】求最小值如图，RtABC中，ZACB=90,AC=BC=4,M为AC的中点，P为斜

9、边AB上的动点，求PM+PC的最小值.解析：将原图形通过引辅助线化归为正方形，即作RtACB关于AB对称的RtEADB，可知四边形ACBD为正方形，连接CD,可知点C关于AB的对称点D,连接MD交AB于点P,连接CP，则PM+PC的值为最小，最小值为:PM+PC=DM=42+22=2*5.三、三垂直模型（弦图模型）匚EED=AE-CD出E=AB-CD由ARE空界出BC=BE+ED=AL+CD例题：已知AB丄BD,EDIBD,AB=CD,BC=DE,求证：ACCE；若将MDE沿CB方向平移得到等不同情形，AB=CD,其余条件不变，试判断AC丄CE这一结论是否成立？若成立，给予证明；若不成立,请说

10、明理由.解析：0VAB丄BD，ED丄BDZB=ZD=90。AB=CD在ABC与MDE中(ZB=ZD,ABCACDE(SAS)、BC=DEZ1=ZEZ2+ZE=90。，ZACE=90。，即AC丄CEE囹图四种情形中，结论永远成立，证明方法与完全类似，只要证明ABCCDEZACB=严JZCED+ZDCE=90。ZDCE+ZACB=90。，111:.AC-LC1E四、手拉手模型【探究一】“手拉手”模型基本构图；如图1,若AABC与AADE旋转全等，则必有AABD与AACE为两个顶角相等的等腰三角形（即相似的等腰三角形）；反之，如图2,若有两个顶角相等的等腰三角形AABD与AACE共顶角顶点，则必有A

11、ABC与AADE旋转全等；而图2正是“手拉手”模型的基本构图；图1图2【探究二】将探究一中的普通等腰三角形换成特殊的图形，例如等边三角形、等腰直角三角形、正方形，然后再探究结论如何变化；如图3、图4、图5，当两个等边三角形、等腰直角三角形、正方形共顶点时，AABC与AADE仍然旋转全等，并且有两个共同的结论；结论1：AABC今AADE；BC=DE；结论2：BC与DE所夹锐角等于两个等腰三角形的顶角；（倒角方法如下图6、图7、图8的八字模型）BAE图6BAE图7【探究三】将探究二中的特殊图形旋转后结论是否仍然成立如下图9、图10、图11易得探究二中的两个结论仍然成立；E【探究四】深化探究二中图3

12、的结论；如图12，可得结论1：AABC今AADE；BC=DE；结论2：ZBOD=ZCOE=ZBAD=ZCAE=60。；结论3：如图12、图13、图14,可得三对三角形全等（AABC9AADE；AAHD9AAGB；AAGC9AAHE)BAEBAE图13图14结论4：如图15,连接GH，可得AAGH为等边三角形；（由结论3可得AG=AH）图15结论5：GH/BE；（由结论4可得ZAGH=ZBAD=60。）结论6：连接AO，可得AO平分ZBOE；（如图16,分别作AM丄BC、AN丄DE,AM与AN分别是全等三角形AABC与AADE对应边BC和DE上的高，故相等）例题1：如图，D4丄AB,E4丄AC,

13、AD=AB,AE=AC,则下列正确的是（）解析：DA.AABDACEC.ABMF9ACMSB.AADF9AAESD.AADC9AABE例题2：如图，正五边形ABDEF与正五边形ACMHG共点于A,连接BG、CF,则线段BG、CF具有什么样的数量关系并求出ZGNC的度数解析：先证AABG9AAFC可得BG=CF,ZACF=ZAGB囹ZNPG=ZAPC囹ZGNC=ZGAC=108。五、半角模型1条件：a=2卩,且卩+0=180。，卩两边相等.思路：1、旋转辅助线：延长CD到E,使ED=BM，连AE或延长CB到F,使FB二DN,连AF将AADN绕点A顺时针旋转90得厶ABF,注意：旋转需证F、B、M

14、三点共线结论：（1）mn=bm+dn；(2)ccmN2AB；(3)AM、AN分另Ll平分ZBMN、ZMND.s2、翻折（对称）辅助线：作AP丄MN交MN于点P将厶ADN、AABM分别沿AN、AM翻折，但一定要证明M、P、N三点共线.FF例题1：如图，ABC是边长为3的等边三角形，ABDC是等腰三角形，且ZBDC=120.以D为顶点作一个60角，使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则AAMN的周长为【解析】6例题2：如图，在四边形ABCD中，ZB+ZADC=180。,AB=AD，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且ZEAF=1ZBAD，求证：EF=BE-FD2解析：证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG.囹ZB+ZADC=180。,ZADF+ZADC=180。,囹ZB=ZADF.囹AB=AD,囹ZBAG=ZDAF,AG=AF.囹ZBAG+ZEAD=ZDAF+ZEAD=ZEAF=-ZBAD.2囹ZGAE=ZEAF.0AE=AE,囹AEGAEF.0EG=EF0EG=BE-BG,0EF=BEFD.附：正方形半角模型正方形ABCD,E、F分别在边BC、CD上，且