【学习课件】第三节逻辑函数的图解化简法

1、 对于任何一个逻辑函数的功能描述都可以作出真值表，根据真值表可以写出该函数的最小项之和及最大项之积的形式。ABF000011101110最小项之和：最大项之积：真值表和逻辑函数的最小项、最大项之间存在一一对应关系。 但是把真值表作为运算工具十分不便。用图解化简法，化简逻辑函数方便简单。第三节 逻辑函数的图解化简法F = 1 的输入变量组合有 AB = 01、10 两组。F = 0 的输入变量组合有 AB = 00、11 两组。从以上分析中可以看出：编辑ppt 如果把真值表按特定规律排列成方格图的形式，这种方格图称为卡诺图。利用卡诺图可以方便地对逻辑函数进行化简。通常称为图解法或卡诺图法。3、

2、卡诺图小方格相邻数 = 变量数。2、 每个相邻小方格彼此只允许一个变量不同。通常采用格雷码排列。保证逻辑相邻，几何位置相邻。一、卡诺图构成二、卡诺图构图思想：1、 n 变量函数就有 2n 个小方格。每个小方格相当于真值表中的一个最小项。小方格的编号就是最小项的编号。逻辑函数的图解化简法编辑ppt1 变量卡诺图 变量数 n = 1 在卡诺图上有 21 = 2 个小方格，对应m0、m1两个最小项。0 表示 A 的反变量。 1 表示 A 的原变量。2 变量卡诺图 变量数 n = 2 在卡诺图上有 22 = 4 个小方格，对应m0、m1、m2、m3四个最小项。每个小方格有二个相邻格：m0和m1、m2相

3、邻。 A B 0 0 0 1 1 1 1 0二变量格雷码排列： 任何相邻码组之间只有一个码元不同。逻辑相邻，几何位置相邻。逻辑函数的图解化简法编辑pptABC0000010110101101111011003 变量卡诺图 变量数 n = 3 在卡诺图上有 23 = 8 个小方格，对应八个最。每个小方格有三个相邻格。m0 和m1、m2、m4 相邻。m1 和m0、m3、m5 相邻。m2 和m0、m3、m6 相邻。三变量格雷码排列顺序： 卡诺图小方格相邻数 = 变量数。 小方格的编号就是最小项的编号。 逻辑相邻，几何位置也相邻。要求掌握格雷码排列规律。逻辑函数的图解化简法编辑ppt4 变量卡诺图 变

4、量数 n = 4 在卡诺图上有 24 = 16 个小方格，对应十六个最小项。每个小方格有四个相邻格。m0 和m1、m2、m4 、m8 相邻。m5 和m1、m4、m7 、m13 相邻。m9 和m1、m8、m11 、m13 相邻。四变量格雷码排列：A0000000011111111B0000111111110000C0011110000111100D0110011001100110逻辑函数的图解化简法编辑ppt5 变量卡诺图 变量数 n = 5 在卡诺图上有 25 = 32 个小方格，对应32个最小项。每个小方格有5个相邻格。m0和m1、m2、m4、m8 、及对称相 m16。m5和m1、m4、m7

5、、m13 、及对称相 m21。m23和m19、m21、m22、m31 、及对称相 m7。m27和m25、m26、m19、m31 、及对称相 m11。找相邻格的方法： 先按四变找 再找对称相 随着输入变量的增加，小方格数以 2n 倍增加。若 N=6 有 64个小方格，使卡诺图变得十分复杂，相邻关系难以寻找。所以卡诺图一般多用于5变量以内。逻辑函数的图解化简法编辑ppt 卡诺图的目的是用来化简逻辑函数，那么如何用卡诺图来表示逻辑函数？方法有四种：1、 真值表法 已知一个真值表，可直接填出卡诺图。方法是：把真值表中输出为 1 的最小项，在的卡诺图对应小方格内填 1 ，把真值表中输出为 0 的最小项，

6、在卡诺图对应小方格内填 0 。例：已知真值表为ABCFm i0000m 00011m 10101m 20110m 31001m 41010m 51101m 61111m 7 填有1 的所有小方格的合成区域就是该函数的卡诺图。二、卡诺图表示逻辑函数的方法编辑ppt例：画出四变量卡诺图，并填图： 将 F 中的所有最小项填在卡诺图的对应小方格内。最小项填“1”，其余位置填“0”。2、配项法（四变量函数） 首先通过配项法将非标准与或式变换为标准与或式。即最小项之和的形式。卡诺图表示逻辑函数的方法编辑ppt是 m13 和 m12 的公因子所以只要在 A=B=1 ，C=0 所对应的区域填1即可。同理：在

7、A=0， B=D=1 所对应的区域填1。 在 A=1，C=1 所对应的区域填1。3、直接观察法：（填公因子法）卡诺图表示逻辑函数的方法编辑ppt最大项和最小项互为反函数。 因此：在卡诺图上最小项用“1”格表示，最大项用“0”格表示。4、 将最小项之和形式化简为最大项之积形式： 任何一个逻辑函数不但可以表示成最小项之和的形式，也可以表示为最大项之积的形式。卡诺图表示逻辑函数的方法编辑ppt 本例说明：任何一个逻辑函数，根据需要可以用“1”格表示，也可以用“0”格表示。例：已知要求将F表示为最大项之积的形式。 在三变量卡诺图中填“1”格表示最小项，其余填 “0”格表示最大项。10101111“0”

8、格表示最小项的非。卡诺图表示逻辑函数的方法编辑ppt以四变量为例说明卡诺图的化简方法: 若规定：代表一个最小项的小方格叫做“0”维块。 “0”维块： 表示四个变量一个也没有被消去。“0”维块相加“1”维块“2”维块“3”维块从上述分析中可以看出：二个“0”维块相加，可合并为一项，并消去一对有 0，1变化因子。四个“0”维块相加，可合并为一项，并消去二对有 0，1变化因子。八个“0”维块相加，可合并为一项，并消去三对有 0，1变化因子。m0+m1m3+m2m4+m5m7+m6 将相邻“0”维块相加，可以将两项合并为一项，并消去一对因子。相邻项三、卡诺图化简逻辑函数的方法：编辑ppt2、画出表示该

9、函数的卡诺图。3、画合并圈。 将相邻的“1”格按 2n 圈一组，直到所有“1”格全部被覆盖为止。1、合并圈越大，与项中因子越少，与门的输入端越少。2、合并圈个数越少，与项数目越少，与门个数越少。3、由于 A+A=A，所以同一个“1”格可以圈多次。4、每个合并圈中要有新的未被圈过的“1”格 。卡诺图化简原则：4、将每个合并圈所表示的与项逻辑相加。1、将函数化简为最小项之和的形式。卡诺图化简步骤：编辑ppt解：1、正确填入四变量卡诺图ABCD=0000 处填 1ACD=010 处填 1ABC=011 处填 1ABD=011 处填 1ABC=111 处填 1ACD=110 处填 1ABCD=1001

10、 处填 1112、 按 2n 圈一原则画合并圈，合并圈越大越好。 每个合并圈对应一个与项。3、 将每个与项相加，得到化简后的函数。 例1：化简1 111111编辑ppt解：本例说明：同一逻辑函数，可能有两种以上最简化简结果。例2：化简 本题直接给出最小项之和地形式，因此，在卡诺图对应小方格处直接填“1”。编辑ppt作业8(2)、10（3）、11、12（3）（4）、13、14、15（2）（4）P113编辑ppt2、画出表示该函数的卡诺图。3、画合并圈。 将相邻的“1”格按 2n 圈一组，直到所有“1”格全部被覆盖为止。1、合并圈越大，与项中因子越少，与门的输入端越少。2、合并圈个数越少，与项数目

11、越少，与门个数越少。3、由于 A+A=A，所以同一个“1”格可以圈多次。4、每个合并圈中要有新的未被圈过的“1”格 。卡诺图化简原则：4、将每个合并圈所表示的与项逻辑相加。1、将函数化简为最小项之和的形式。卡诺图化简步骤：编辑ppt解：1、正确填入四变量卡诺图ABCD=0000 处填 1ACD=010 处填 1ABC=011 处填 1ABD=011 处填 1ABC=111 处填 1ACD=110 处填 1ABCD=1001 处填 1112、 按 2n 圈一原则画合并圈，合并圈越大越好。 每个合并圈对应一个与项。3、 将每个与项相加，得到化简后的函数。 例1：化简1 111111编辑ppt解：本

12、例说明：同一逻辑函数，可能有两种以上最简化简结果。例2：化简 本题直接给出最小项之和地形式，因此，在卡诺图对应小方格处直接填“1”。编辑ppt本例说明： 每一个合并圈要有新未被圈过的“1”格。二维块BD中所有的”1”格均被其余合并圈所包围。所以BD是冗余项，应取掉。卡诺图化简逻辑函数的方法：编辑ppt 解：题意要求将最小项之和化简为最大项之积的形式。即由与或式求出或与式。填“1”格，圈“0”格，例4：化简 F = m(0,2,3,5,7,8,10,11,13)为最简或与式。卡诺图化简逻辑函数的方法：编辑ppt 题意要求：将最大项之积化简为或与式。最大项和最小项互为反函数。最小项填“1”格，最大

13、项填“0”格。ABADACCDBD即：填“0”格，圈“0”格，例5：化简 F = M(3,5,7,9,1015) 为最简或与式。卡诺图化简逻辑函数的方法：编辑ppt为最简或与式及最简与或式。解：1、将已知为或-与式的函数 F 填入卡诺图的简便办法是：等式两边求反，然后在卡诺图上填“0” 格，其余填“1”格。 2、利用观察法，填“0”格，圈“0”格0000000011111111 3、最简与或式是填“1”格，圈“1”格,直接写出 F 的与-或式。例6：化简编辑ppt编辑ppt（一）、与非逻辑形式（用与非门实现）1、填“1”格，圈“1”格，得出 F 与或式。ABBCAC2、两次求反，一次反演得出与

14、非与非式。3、根据与非式，画出用与非门组成的 逻辑电路图。 逻辑函数的形式是多种多样的，前面我们已经学过与或式、或与式，还有与非式、或非式、与或非三种表示形式。现在讨论如何在卡诺图上实现这三种形式的化简。例：已知根据电路要求，选择不同化简方式。要求用与非门、或非门、与或非门实现。四、逻辑函数按要求形式化简&ABCF编辑ppt（二）、或非逻辑形式（用或非门实现）1、填“1”格，圈“0”格2、等式两边求反，得出 F 或与式。3、对 F 两次求反，一次反演得出或非或非式。4、根据或非或非式，画出用或非门组成的逻辑电路图。逻辑函数按要求形式化简1111ABCF编辑ppt（三）、与或非逻辑形式（用与或非

15、门实现）。1、圈“0”格，2、等式两边求反，得出 F 与或非式。3、根据与或非式，画出用与或非门 组成的 逻辑电路图。逻辑函数按要求形式化简&1编辑ppt逻辑问题分为完全描述和非完全描述两种。 在每一组输入变量的取值下，函数 F 都有确定得值，不是 0 就是 1 。 1、在输入变量的某些取值下，函数 F 取值是 0 是 1 都可以。不影响电路的逻辑功能。 2、输入变量受外界条件约束，某些输入组合不可能在输入端出现,不必考虑输出。这些输入取值组合称为无效组合。同无效输入组合相对应的最小项称为：无关项、任意项、约束项。完全描述：非完全描述：五、包含无关最小项的逻辑函数的化简编辑pptA B C F

16、0 0 0 00 0 1 10 1 0 11 0 0 1没操作乘法减法加法0 1 1 X1 0 1 X1 1 0 X1 1 1 X不允许 BC同时为 1，记作 BC=0不允许 AC同时为 1，记作 AC=0不允许 AB同时为 1，记作 AB=0不允许 ABC同时为 1，记作 ABC=0约束条件：BC+AC+AB+ABC=0通过配项展开为最小项之和形式： 从本例可以看出：将恒为 0 的最小项加入或不加入到 F 表达式，都不影响函数值。因此：将无关最小项记做 x ,对函数化简有利当作 1 ，对化简没利当作 0 。真值表：恒为 0 的最小项就是无关项 例：假设用 A、B、C、三个逻辑变量，分别代表计

17、算器的加、减、乘三种运算。假定：有操作为 1 ，无操作为 0。编辑ppt解：依题意列真值表。A B C D F0 0 0 0 00 0 0 1 00 0 1 0 00 0 1 1 00 1 0 0 00 1 0 1 10 1 1 0 10 1 1 1 11 0 0 0 11 0 0 1 11 0 1 0 X1 0 1 1 X1 1 0 0 X1 1 0 1 X1 1 1 0 X1 1 1 1 X由真值表写出 F 表达式： 例1：用 8421BCD码表示一位十进制数X,当x5时，输出 F = 1，否则输出 F = 0 ，求 F 的最简与或式。不考虑无关项的化简考虑无关项的化简包含无关最小项的逻辑

18、函数的化简编辑ppt约束条件 解：AB = 0 表示 A 与 B 不能同时为 1, AB = 11（即 AB同时为1)所对应的最小项，就是无关项。 例2:化简无关项 X 对化简有利当作 1 ，对化简无利当作0 。 包含无关最小项的逻辑函数的化简编辑ppt 前面所学的函数化简，均假定输入信号既提供原变量，又提供反变量。在实际逻辑电路设计中，只有原变量输入，没有反变量输入。因此在函数化简时采取适当方法就能得到只有原变量输入。1、公式法：先介绍几个概念头部因子和尾部因子：一个乘积项可以写作：乘积项不带反号的部分称为头部。每个乘积因子 a b c - - -称为头部因子。乘积项带反号的部分称为尾部。每

19、个乘积因子，x y z, u v w 称为尾部因子。例：头部因子尾部因子六、输入只有原变量没有反变量的逻辑函数化简编辑ppt尾部代替因子例： 头部因子可以随意放入尾部因子，也可以从尾部因子中取走。证明： 一个乘积项的尾部因子，可根据需要加以扩展，如果扩展变量是属于头部内的变量，则该乘积项的值不变。扩展后的因子，称为原乘积项尾部因子的代替因子。 即：尾部因子的反号可以任意伸长和缩短，伸长将头部因子 放进去，缩短将头部因子取出来。输入只有原变量没有反变量的逻辑函数化简编辑ppt 如果两个或两个以上乘积项的头部完全相同，则这几个乘机项可以合并为一个乘积项。例：已知在输入没有反变量的条件下化简为与非与

20、非表达式。解：a、用卡诺图常规化简乘积项合并 共用：7个门，其中，3 个非门，4 个与非门。输入只有原变量没有反变量的逻辑函数化简编辑ppt 公式法化简的目的：寻找公共项 减少与非门数量。只用4个与非门。b、用公式法化简输入只有原变量没有反变量的逻辑函数化简&ABCF编辑ppt2、禁止逻辑法先介绍一个名词：1重心：如：AB=11 ABC=111 ABCD=11111重心的特点： 凡合并圈包含 1 重心的与项不会含有反变量。CABACBD禁止逻辑法的基本思想： 但这样的合并圈有可能把不属于原函数的某些最小项也圈进去了，要保证原函数功能不变，必须扣除这些不属于原函数的最小项。在卡诺图上所有变量取值为1 的小方格称为 1 重心。 保证输入端不会出现反变量，化简函数时必须包含 1 重心。输入只有原变量没有反变量的逻辑函数化简编辑ppt例：a、常规化简b、含1重心化简 假定：m7 = 1画入合并圈，化简结果 C 与原函数不一致，因为把m7看作 1 圈入，实际 m7 = 0 因此要把m7禁止掉。证明： 推论：任一逻辑函数，如果用不属于它的最小项之和的非乘之，其逻辑功能不变。输入只有原变量没有反变量的逻辑函数化简编辑pptC、扩大禁止范围，减少输入因子输入只有原变量没有反变量的逻辑函数化简编辑ppt一、将函数化简