高一数学数列的概念知识精讲

1、高一数学数列的概念【本讲主要内容】数列的概念本节主要学习数列的基础知识：数列的概念、通项公式、数列的表示方法、数列的分类 以及数列递推公式的概念；通项 an与前n项和Sn的关系.【知识掌握】【知识点精析】先看下面的实例：(1)引言问题中各个格子里的麦粒数按放置的先后排成一列数： TOC o 1-5 h z , 2, 2： 23,，264 .(2)某班的学生的学号由小到大排成一列数：1 , 2, 3, 4,40.(3)从1984年到2004年，我国体育健儿共参加了六次奥运会，获得的金牌数排成一 列数：15 , 5, 16, 16, 28, 32.(4)在某次活动中，主办方为加大保洁力度，在 1

2、km长的路段上，从起点开始，每隔10米放置一个垃圾筒，由近及远各筒与起点的距离排成一列数：0 , 10, 20, 30,，1000.(5)某种放射性物质不断变为其他物质，每经过一年，剩留的这种物质是原来的84%设这种物质最初的质量是1,则这种物质各年开始时的剩留量排成一列数：, 0.84 , 0.842, 0.84 3,.(6)对数的底数e的精确到1, 0.1 , 0.01 , 0.001 ,的不足近似值排成一列数：, 2.7 , 2.71 , 2.718，.上述例子的共同特点是：均是一列数；有一定次序.1.数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做 数列.注意：数列的数是按一定次序排列的，因此，

3、如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，第n项，.数列的一般形式：a1，a2，a3,，an，或简记为专口,其中an是数列的第n项.数列的分类： 有穷数列：项数有限的数列.例如，数列都是有穷数列.无穷数列：项数无限的数列.例如，数列都是无穷数列.对于上面的数列，每一项与这一项的序号有这样的对应关系：项 010序号1220133040这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式:an =10(n-1)来表示其对应关

4、系即：只要依次用1,2, 3代替公式中的n,就可以求出该数列相应的各项.数列的通项公式：如果数列an 的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.如上述数列.注意：并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列；一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1, 0, 1, 0, 1, 0,它的通项公式1(1). n 1 .可以是 an =-一-一,也可以是 anhcosn |.22数列通项公式的作用：求数列中任意一项；检验某数是否是该数列中的一项.从映射、函数的观点来看，数列也可以看作是一个定义域为正整数集N* (或它的有限子集1 , 2, 3,，n)的函

5、数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列 的通项公式就是相应函数的解析式.ay I10n-1an =2bn=n4.Q2H_ _P-1O-1 234567X7_r642-1OM .L KJI H P.1 2 3 4 5 6 7 8、对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其公式画出其对应图象数列的图像：都是一群孤立的点.如上面数列和的图像数列有三种表示形式： 列举法，通项公式法和图象法.递推公式：已知数列 tn的第一项，且任一项 an与它的前一项an,(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的递推公式.如：数列：通项公式an=2nT

6、 ,递推公式：an = 2an 1数列： 通项公式：an= 10 (n-1),递推公式：an = an 1+ 10.数列an 的前n项和及通项an与前n项和8n的关系定义：数列an的前n项和Sn =a +a2 +anSn -Sn.(n 2)通项an与前n项和Sn的关系：an = 2)特别提示：由an的前n项和Sn求通项an时，要分n =1与n之2两种情况分别进行运算，然后验证两种情形是否可以用统一的式子表示，若不能，就采用类似分段函数的形式表本.【考点突破】【考点指要】近几年的高考试题对数列的概念的考查，无论是在广度上还是在深度上都发生了一系列新的变化，试题精彩纷呈，让人耳目一新，历年高考中所

7、占的分值为 57分，大部分以选择 题和填空题的形式出现.主要考查求通项公式、前 n项和$与an的关系及递推关系.【典型例题分析】例1. (2005辽宁卷、12题)一给定函数y = f (x)的图象在下列图中，并且对任意a1 w (0,1) TOC o 1-5 h z 关系式an+ = f(an)得到的数列an满足an+ an(n N ),则该函数的图象是()a -、3* 一,例2. (2005湖南卷、又5题)已知数列an满足a1 =0,an噌 =T(n= N ),则3an 1a 20 =()A. 0B. - v 3C. 73D.解析：由题意得 a1 = 0 , a2 = -%3 , a3 =

8、43 , a4 = 0,-于是有 a20 = a2 = 73 ,选b例3. (2006重庆理14题)在数列an中，若8=1, an41 =2an +3(n 1),则该数列的通项an =.解析：由题意得 ai=1 = 223,出=5= 233, a3=13=243, a4= 29 = 25 3,，归 纳：an= 2n+1 3小结：(1)本节主要介绍数列的概念、通项公式与递推公式、数列an的前n项和及通项an与前n项和Sn的关系；(2)运用函数的观点去研究数列.揭示数列与函数的内在联系是这节课的一个重要内容.选择题:已知数列1, H 卮 ,3, 历，J2n1 ,，则幅是这个数列的()A. 第10项

9、 B. 第11项 C. 第12项已知数列an的前4项为0, 72,0, J2,加=3+( 1” an=1+( 1)n其中可作为数列an通项公式的是()A. B . C .设a1=2, an+1=2an+3,则通项an可能是A. 5 -3n B. 3?2 n11 C. 5-设S= n2+10n,则数列an从首项到第(A. 6 B. 5 C. 5或 6 D. 7二.填空题：观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式；327/、51、.5 / 、17.26, 37(1)一,一,(),(2),( ),43121233152435求数列1, 2, 2, 4, 3, 8, 4, 16

10、, 5,的一个通项公式 *、在数列a n中，a= a2 = 2,且 an+2 = 3an+1 an, (n G N ),则 a5= 1111在数列 一、一一、一、的一个通项公式为261220三.解答题根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：D.21则下列各式3n2)2(n为偶数)0(n为奇数).)D. 5?2 n1-3 项的和最大.9,(1)3, 5 , 9, 17 , 33 ,(3) 0, 1 , 0, 1 , 0, 1 ,(2)2415(4) 1, 3 ,6 835633 , 5 , 5 ,10997 , 7 , 9 ,(5) 2,-6, 12 ,-20, 30 ,-42,.已知

11、 a = 2 , an + = 2an 求 an .1. 设函数 f(x)=log2x- ( 0 x1),数列an满足 f(2an)=2n (n =1,2,3)log 2 x(1)求数列an的通项公式;(2)判断数列an的单调性.【综合测试答案】一.选择题：1. B 2. D 3 . D 4. B二.填空题:5.(1), 12an =二；12an =n 12 16.2n22(n为正奇数)成n为正偶数”这里借助了数列1 0, 1,7.268.1n(n 1)解答题9.解：(1) an=2n+1;(4)将数列变形为1+0, HYPERLINK l bookmark6 o Current Document 1(-1)n, , an = n +;n2(5)将数列变形为1X2,an10.解一a1 = 2 a2观察可得:an=2nan 1an =anan 4aX a,nAn -2,2,n 1 2 -11-(-1)n n 1 1 (-1)n1 十 20, 1, 0的通项公式 an=1-(-1)n2n(2 )an =(2n -1)(2n 1)2+1,3 2X3,(n+ 1).=2 2=2=2anan-2-： .：ansa2 n二2a1(3)an =+ 0, 4 + 1, 5 +0,3X4,4X5,a3 =2 22 = 23an =