高三数学第一轮复习空间角与空间距离的计算知识精讲

1、高三数学第一轮复习：空间角与空间距离的计算【本讲主要内容】空间角与空间距离的计算空间直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角的大小，直线与直线、直线与平面、 平面与平面间的距离的求解【知识掌握】【知识点精析】空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等.解 这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决.1.空间的角的概念及计算方法(1)空间角概念一一空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素 间的位置关系进行定量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值范围，如两

2、异面直线所成的角 0 (0,)2直线与平面所成的角 0 0 ,3二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角0 (0,兀).说明：对于空间角的计算， 总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的， 因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用.通过空间角的计算和应用进一步提高运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力.(2)空间的角的计算方法求异面直线所成的角常用平移法(转化为相交直线)；求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角；求二面角al P的平面角(记作6)通常有以下几

3、种方法：(i )根据定义；(ii)过棱l上任一点O作棱l的垂面Y设？na=OA nP=OB则/AOB=9(图1);图1(iii)利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面 支内一点A,分别作另一个平面P的垂线AB(垂足为B),或棱l的垂线AC(垂足为C),连结AC则/ ACB=8或/ ACB=n日(图2);图2(iv)设 A为平面a外任一点，ABL。，垂足为B, ACL民垂足为 C,则/ BAC=MZBAO冗-日(图3);图3(v)利用面积射影定理，设平面o.内的平面图形 F的面积为S, F在平面P内的射影图 形的面积为S ,则cos 0= S .S2.空间的距离问题(1)空间各种距离是对点、线、面

4、组成的空间图形位置关系进行定量分析的重要概念.空间距离是指两点间距离、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离以及面面距离等，距离 都要转化为两点间距离即线段长来计算，在实际题型中，这六种距离的重点和难点是求点到平面的距离，因线线距离、线面距离和面面距离除用定义能直接计算出结果的外，都要转化为求点到平面的距离进行计算.(2)空间的距离问题主要是：求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线 之间(限于给出公垂线段的)、平面和它的平行直线、以及两个平行平面之间的距离.(3)求距离的一般方法和步骤是：一作一一作出表示距离的线段； 二证一一证明它就是所要求的距离；三算一一计算其值.此外，我们还常用

5、体积法或向量法求点到平面的距离.【解题方法指导】例 1.三棱锥 P-ABC中，/ ABC= 90 1 PA= 1 , AB= v3 , AC= 2, PAL平面 ABC.(1)求直线AB与直线PC所成的角；(2)求PC和面ABC所成的角;(3)求二面角 A-PC-B的大小.解：（1）作矩形ABCDJAB和PC所成角即为 CD和PC所成角，且 CDL PD. CD= J3 ,26 , k ,、A ,6AD= 1, PD= 2 , tanPCD=.故 AB和 PC所成角为 arctan P1PAa面ABC PC和面ABC所成角即为/ ACP求得tanACP=-,21 / acp= arctan 一

6、2.PA1面 ABC 二面 PACL面 ABC过 B作 BGLAC于 G,贝U BGL面 PAC.过 G作 GHL PC于H,连接BH,贝U BHL PC / BH助二面角 A-PC-B的平面角.c BGsinBHG =BH. 5在 RtABC与 RtPBC 中，PB= 2, BC= 1 , AC= 2, AB= 73.32 _ 15T 一 7- 5故二面角 A-PC-B的大小为arcsin23PC= 5 5 B+ , BG = 一5 / BHG = arcsin 4例2.在正三棱柱 ABC - ABG中，各棱长都等于 a, D E分别是AC1、BB1的中点,(1)求证：D蕾异面直线AC1与B

7、B1的公垂线段，并求其长度；(2)求二面角EAC1C的大小；(3)求点Ci到平面AEC勺距离.解：(1)取AC中点F,连接DF.D是庆q的中点，1 一 一 一 ，一、d DF/ CCi ,且 DF =一CCi .又 BB1/CC1, E是 BBi 的中点, 2DF/ BE DF= BE ，四边形 BED喔平行四边形，D曰 BF, DE= BF.BB面 ABC BF 二面 ABCBB1 BF.又.F是AC的中点， ABC是正三角形,3BFL AC BF = a .2BB1 BF, BB1 / CC1 , . . BF CC1, . . BF，面 ACC1A1 ,又 AC1 u 面 ACC1A ，

8、 BF AC1 ,. DEE/ BF, , . DEL ACi , DEL BBi,3D%异面直线 ACi与BBi的公垂线段，且 DE = a .2 BB1/CC1, DE BB1, /.DEL CC1 , 又.为 DEI AC1 ,DEL面 ACC1A .又 DE u 面 AEC1，面 AEC1，面 ACC1 ,二面角E -AC1 -C的大小为90。. TOC o 1-5 h z a23 一(3)连接CE,则二棱锥 A-CEC1的底面面积为 S*eCi =万，局h=1a.所以1 Aa . _Va_cec =La- -aa3 .在三棱锥 C1 -AEC 中，底面 AEC 中，13 2212c

9、.5 b ca2AE =CE =a ,则其高为a,所以Sec =.22,2设点C1到平面AEC勺距离为d,由Vaqeg =Vguec得1d = a3,32123_ 3所以d = - a 即点C1到平面AEC勺距离为 a22【考点突破】【考点指要】空间角是立体几何中的一个重要概念. 它是空间图形中的一个突出的量化指标， 是空间 图形位置关系的具体体现，故它以高频率的姿态出现在历届高考试题中， 可以在填空题或选 择题中出现，更多的在解答题中出现.空间中各种距离都是高考中的重点内容，可以和多种知识相结合，是诸多知识的交汇点，考查题型多以选择题、填空题为主，有时渗透于解答题中，所以复习时应引起重视.【

10、典型例题分析】例1.如图，已知正四棱柱 ABCD A1B1clD1,AB =1,AA1 = 2,点E为CC1中点，点F 为BD1中点.（1）证明EF为BD与CC的公垂线；（2）求点D1到平面BDE的距离.解法1:(1)连结AC交BD于点O,则点O为BD中点，连OF,则可证OCE助矩形, 故 EH CC , EF/ AC.又可证 Ad平面 BD .1. ACL BD, . EFL BD, 故EF为BD与CC的公垂线.(2)连结DE,则有三棱锥 D-DBE的高d即为点D1到平面BDE的距离.由已知可证三角形 DBE为边长为 J2的正三角形,故 VD1 DBE1又 VD1_DBE =VE_DBD1

11、=VC_DBD1 - CO S.DBD1 3,3 , 112c d =_ d = -m3 ,2332即口1到平面BDE的距离为733解法2:D(0,0,0), D1 (0,0,2)则解(1)以D为原点，建立如图所示的直角坐标系,1 1B”。)，cm。)，C1(Q3 E(0,1,1), F(-，21),1 、, ，一、 EF =(,0), BD1 =(-1,-1,2), CC1 =(0,0,2)2 2EF BD1 = 0, EF CC1 =0； EF _L BD , EF _L BD 又EF与CC、BD分别交于 E、F,故EF为BD与CC的公垂线.(2)由(1) BD -(-1,-1,0), B

12、E -(-1,0,1), BD1(-1,-1,2), 设 平面BDE的法向量为 n = (x, y,z),则n _L BD , n 1 BE ,n，BD=0X y = 0 x = -yn BE =0-x + z = 0 x = z不妨设n=(1,-1,1),则点D1到平面BDE的距离为| BD1 n |2= = _|n I,3二 2,3,3即为所求.例2.如图，|，I2是互相垂直的异面直线， MN是它们的公垂线段.点A, B在I上，C 在 I2上，AM =MB = MN .(I)证明 AC NB ;(n)若ZACB =60,求NB与平面ABC所成角的余弦值.解法一：(I)由已知 |2 .LMN

13、 , l2 _L I1, MNI1 =M ,可得 I2，平面 ABN . 由已知 MN _L h AM = MB = MN ,可知 AN = NB 且 AN _L NB .又AN为AC在平面ABN内的射影，: AC I NB.(n) ；RtACNA RtACNB ,AC = BC,又已知jACB = 601因此 AABC为正三角形.7RtAANB RtACNB,NC = NA=NB,因此N在平面ABC内的射影H是正三角形 ABC的中心，连结BH , /NBH为NB与平面ABC所成的角.在 RtANHB 中，cos/NBH =HBNB招AB 3二 AB 2J63解法二:令 MN =1,则有 A(

14、-1,0,0), B(1,0,0)N(01,0).l2 l12.(I) ：*MN是h I2的公垂线,.l2，平面ABN . I2平行于z轴.T故可设 C(0,1, m).于是 AC =(1,1, m),NB =(1,-1,0), AC NB11 -1 +0 =0 AC _L NB .(n) : AC =(1,1, m) , BC =(-1,1 , m),又已知ZACB = 60，二 ABC为正三角形， AC = BC = AB 在 RtACNB 中，NB = 72 ,可得 NC =72,故 0(0,1,72).连WC，作 NH _L MC口I，设 H (0,九,J2K)(八 a 0).二 HN

15、 =(0,1 -九,一向),MC =(0,1,扬. HN MC =1 九一2九=0 , .九1 五” 2 2二 H 0,一，可得 HN =| 0,-,13 3113 皿/ 1亚)连结 BH ,则 BH = | 1,，13 3)2- HN BH = 0 - 9- HN _L平面 ABC, 又 BN =(1,1,0),.帚,就 又 MCQ BH = H , 9/NBH为NB与平面ABC所成的角.，cos. NBHBHBNBH BN43 23【综合测试】一、选择题1、已知AB是异面直线a、b的公垂线段,P到直线b的距离是（）A、2. 2B、2 5AB= 2, a与b成30 ,在直线 a上取AP 4,

16、则点C、2,142、将锐角为60。，边长为a的菱形ABCD&较短的对角线BD折成560的二面角，则 AC与BD的距离为（A、3a 43、正方体 垂足，则直线A、304、二面角角为30,则A、303a a4,6a4ABCD-ABCD中，M是DD的中点，O为正方形AiBiCiD的中心，P是棱AB上的AiM与OP所成的角（、45o-AB- 3大小为9 (0角等于（B5、（2005湖南卷文4） 平面ABGD的距离为（A、).C 0、60 D、90o90 ) , AU a , / CAB= 45, AC与平面 3 所成）.、45如图，正方体B、6、已知直线a及平面a , a与a、60D 、90ABCD-

17、AiBiGD的棱长为1, E是AiB的中点，则 E到D j-332DiCE Bi庄间的距离为d . a在平面与a相交的任一直线，则 a与l间的距离的取值范围为（A、口，收） B 、（d,代）C 、（0,d0内的射影为a , l为平面0内）D 、二、填空题7、如图，PA1平面 ABG / ACB= 90 且 PA= AC= BC= a, 正切值等于.则异面直线PB与AC所成角的PB8、已知/ AOB= 90,过O点引起/ AOB所在平面的斜线 OC与OA OB分另成45、60, 则以OC为棱的二面角A-OC-B的余弦值等于.三、解答题：9.如图，直三棱柱 ABC-ABG的底面ABC为等腰直角三角

18、形，/ ACB= 90, AC= 1, C点 到AB的距离为C口 上3, D为AB的中点.求异面直线 AB与CD之间的距离.10.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD 中，AB AC , PAL 平面 ABCD ,且PA = AB,点E是PD的中点.(I)求证：AC PB ;(n)求证：PB/平面AEC；(m)求二面角 E - AC - B的大小.BC综合测试答案、选择题1.2.3.4.5.选选选 选 选B.6.提示 提示 提示 提示过P做直线b的垂线 用异面直线距离公式求解 过Ai做OP的平行线 过C做平面3的垂线提示：转化为求 Bi到平面AB CiD的距离选D提示：转化为a与久间的

19、距离二、填空题.2 .3O. -提示：将三角形ABC#成正方形ACBD.提示：利用直线与直线所成角的大小求出边长，再求二面角平面角的大小三、解答题：.解：由CDL平面 ABiBA . .CDL DE. AB，平面 CDEDEI AB,DE是异面直线AB与CD的公垂线段八 、. 3 八八 .2CE=,AC= i , . CD= -. DE22二 J(CE)2 -(CD)2CiAiBii0.解法一：（I） （n）（略 解见第45讲【达标测试】第 9题）（出）过O作FG / AB,交AD于F ,交BC于G ,则F为AD的中点.又由(I) , ( n )知，AC PB, EO / PB，二 AC EO . :/EOG是二面角E ACB的平面角.，,11连接 EF