STR-ECM模型的协整检验及转移函数的确定

1、第1组 计量经济学理论与方法，13000字STR-ECM模型的协整检验及转移函数确实定欧阳志刚 华东交通大学经济管理学院摘要：在解析现有阈值协整文献的根底上，本文揭示了非线性调节转移函数的阈值协整模型设定在实际应用中的缺乏，为此，本文将ECM中的非线性调节转移函数由扩展为转移函数未知。进一步，本文设计了一套可行的程序并分别使用，和统计量检验阈值协整以及转移函数形式。蒙特卡罗仿真实验说明，统计量有较好的有限样本性质，因此，本文的方法可以方便地应用实际经济研究中。关键词：阈值协整 转移函数 非线性调节 蒙特卡罗 有限样本中图分类号：F224.0 文献标识码 ATesting for Thresho

2、ld Cointegration and Transition Function in STR-ECMAbstract: Based on the analyzing on the lecture of threshold cointegration, this paper explain the shortcoming of the threshold cointegration model in which the nonlinear adjustment transiting function is known, therefore this paper set a ECM in whi

3、ch the nonlinear adjustment transiting function is unknown, Furthermore, we propose a set of testing procedure and use ， and statistic to test threshold cointegration and transiting function. The Monte Carlo simulation result shows their small-sample wonderful performances, so the methods developed

4、by this paper can be better used in empirical studies.Key words: Threshold Cointegration Transition Function Nonlinear Adjustment Monte Carlo Finite Sample一、 引 言现有的许多研究说明，经济系统向长期均衡的调节过程是非线性的，例如，当存在交易本钱时，经济中代理人向长期均衡的调节是有本钱的，只有当偏离长期均衡超过一定的阈值，向均衡调节的收益大于调节的本钱时，经济中代理人的行为才会回到长期均衡中；再如，当经济增长发生波动而偏离长期增长路径时，央

5、行可以通过利率的调节而使经济回复到长期增长路径，但央行对利率的调节速度在不同的经济状态是不同的等等。显然，基于线性框架的标准协整理论无法分析经济系统向长期均衡的非线性调节过程。阈值协整正是改良了标准协整理论的这一缺陷，将非平稳和非线性结合起来，研究实际经济问题中的非线性调节问题，因而，阈值协整理论得到西方学者的青睐并成为国际计量经济学的前沿热点领域之一。Balke,Fomby(1997)对此作出原创性奉献，他们使用TAR模型分析了非线性调节经济现象。他们的模型说明，在给定的区间内(中间区域)协整关系不成立，一旦系统远离“均衡进入两边区域那么协整关系成立。但从检验方法看，Balke, Fomby

6、 (1997)的阈值协整检验程序采取了两步法：首先使用标准的方法(DF, ADF)确认残差的平稳性，假设单位根的虚拟假设被拒绝，再检验是否存在阈值效应，但是，随着阈值参数的扩大，这样的DF(ADF)检验的势下降得很快。因此，当残差的调节具有阈值效应时，直接在TAR模型中检验协整关系较前述的两步法有较高的检验势。后续文献主要沿着两条路径改良：第一个是直接在TR(STR)模型检验残差的单位根；第二个是将上述调节效应扩展至ECM中。Enders, Granger(1998)在两机制TAR模型中，使用F统计量检验残差对长期均衡的非对称调节效应。Caner,Hansen(2001)在阈值未知的两机制TA

7、R模型，使用SuperWald统计量检验残差的阈值调节效应。Sollis,Wohar(2006)将上述两机制TAR扩展为三机制TAR, 在阈值未知条件下，使用SuperWald统计量检验残差的非对称调节效应。上述基于残差的阈值协整检验隐含的假定是：线性协整向量(线性调节)与阈值协整向量(非线性调节)相同，也就是说，在进行阈值协整检验前，阈值协整向量是的。这一假定可能与现实情况不符。现有的基于VECM的阈值协整方法能够改良上述缺乏，即可以将阈值协整向量由扩展为未知。在阈值协整向量未知条件下，Hansen,Seo(2002)在两机制的VECM中，使用格点搜索和极大似然法估计模型，并使用SuperL

8、M统计量检验阈值协整。可以看出，Hansen,Seo(2002)的改良在于将阈值协整向量由扩展为未知，但他们是以两机制描述VECM中调节效应，因此，残差对长期均衡的调节效应是急剧变化的，这与许多现实经济问题不符。例如在经济周期中,短期经济增长向长期路径调节并不是突然从萧条阶段跳跃到繁荣阶段, 而往往要经历一个从萧条中逐渐复苏的过程。另一个例子是政府对经济的干预, 政府出台新政策的效应一般都存在着时滞, 这些政策的效果是逐步表达出来。因此，将两机制或三机制的ECM设定改良为光滑机制转移的ECM，更符合多数实际经济背景。Kapetanios, Shin(2004)利用线性协整向量代替阈值协整向量协

9、整向量，对ECM中的非线性调节函数设定为指数函数，使用t和F型统计量检验ECM中非线性调节。Kristensen，Rahbek2007设定ECM中的非线性调节函数为逻辑函数，使用似然比统计量在ECM中检验阈值协整。因此，Kapetanios, Shin(2004)，Kristensen，Rahbek2007模型中的非线性调节效应是连续的，从而在一定程度上改良了Hansen,Seo(2002)的缺乏。但Kapetanios, Shin(2004)，Kristensen，Rahbek2007仍然存在两个重要问题：第一，ECM中非线性调节函数设定是的；第二，阈值协整向量是的等同线性协整向量。由此提出

10、的问题是，如何将非线性调节函数由扩展为未知，如何设定相应的检验方法和构造统计量检验ECM中的非线性调节函数形式？如何将阈值协整向量扩展为未知？本文针对第一个问题而展开研究 限于篇幅，对第二个问题的研究将在另一篇论文中阐述。本文改良表达为：在协整向量条件下，设定非线性调节函数未知的光滑机制转移ECM，为检验阈值协整和非线性转移函数的具体形式，我们设定了一套适用的检验程序和构造相应的检验统计量以实现对阈值协整和非线性函数形式的检验。对于这些检验统计量，本文给出了相应的极限分布和计算了对应的临界值，并使用仿真实验研究它们的有限样本性质。二、 非线性STR-ECM模型以表示维时间序列，表示与有协整关系

11、的标量，以表示协整向量，表示协整残差。那么线性的ECM就是： (1)其中，为服从白噪声的随机扰动项。为滞后阶数。根据Granger(1983)表述定理，假设模型1中的调节参数，那么说明协整关系不存在，假设调节参数，那么印证协整关系存在。因此，检验与之间的协整关系存在可通过检验调节参数来实现。进一步，当调节效应为非线性时，模型(1)就扩展为非线性的ECM： 2 其中，刻画了上期协整残差对的调节效应，其调节特征依赖的具体函数形式。Escribano(2004)将设定为关于的多项式形式，Kapetanios,Shin(2004)将设定为指数函数形式，Kristensen，Rahbek2007将设定为

12、逻辑函数形式。但是，在实际应用中，没有经济理论能够事先说明实际应用中具体的非线性调节函数究竟是何种形式。合理的做法应是，基于实际经济的数据特征，对备选的非线性函数形式进行诊断和检验，以确认最优的非线性函数形式。由于STR模型在描述不同经济行为的非线性特征时所表现出的灵活性、广泛适用性，以及一套较为成熟的可操作的设定检验程序，使得STR模型成为非线性时间序列模型中的首选模型见1998，Dijk et al.2002，Saikkonen, Choi(2004)等等。而最常用的STR模型的非线性函数形式为逻辑Logistic转换函数和指数(exponential)转换函数。因此，本文的研究中将非线性

13、转换函数的备选函数设定为指数函数或逻辑函数。这样，非线性调节的ECM就表述为3： 3其中，光滑转移函数为指数函数或逻辑函数, 为阈值变量，参数为决定机制转移速度的光滑参数,c为阈值。这样，是阈值变量的连续函数，其函数值随着的变化而在0，1之间连续变化。相对于两机制或三机制ECM模型，模型(3)的最大特点是，当0时，向长期均衡的调节服从一种机制，当1时，调节过程服从另一种机制；当且时，调节过程在两种机制间平滑转换，平滑变换的特征取决于的具体函数形式。不难发现，模型3意味着残差的调节效应依赖阈值变量的变化而连续变化，因此，模型3为阈值协整模型。进一步，当中的转移函数为指数函数时，此时称模型(3)为

14、ESTRECM，即： (4)当为逻辑函数时，此时称模型(3)为LSTR-ECM，即： (5) 在实际应用中，模型4，5中的调节效应是否显著？是否具有非线性？应使用何种函数形式刻画非线性调节？应基于严格检验。因此，在应用中，我们需要设定相应的程序，在模型1，4，5之间进行选择。三、 协整检验和转移函数确实定1、协整检验如前所述，实际应用中，变量之间是线性协整还是阈值协整，非线性转换函数是逻辑函数还是指数函数，应基于严格的统计检验，对此本文设定如下检验程序：首先，我们检验调节效应是否显著即是否存在协整关系；其次，一旦检验结果说明有协整关系，再检验是线性协整还是阈值协整；最后，当存在非线性阈值协整时

15、，再检验非线性调节函数的形式。为实现第一步的检验，即检验原假设为不存在协整，备择假设为协整，我们设定不存在协整的原假设为，或。但在原假设下，总体参数不可识别。Andrews, Ploberger(1994), Hansen(1996)等详细讨论了在总体参数不可识别的情况下进行假设检验的方法，Luukkonen(1988)的方法相对更为简单，即对模型(3)中的转移函数在原点进行泰勒展开，然后用泰勒展式近似代替转移函数。本文借鉴Choi,Saikkonen(2004)的方法，使用转移函数在原点的二阶泰勒展式近似代替转移函数，并对模型(3)重新参数化。当转移函数为指数函数时，重新参数化后的模型就是：

16、 (6) 当转移函数为逻辑函数时，由泰勒展式替换并重新参数化后的模型(5)就是： (7)不难发现，这样转换后，模型(7)嵌套在模型(6)中。进一步，检验非协整对协整的原价设就转化为，而检验线性协整对阈值协整的原假设就是。基于上述分析，我们设计了如下的检验程序。针对模型(6)，假设参数联合为零，那么协整关系不存在。因此，检验协整的原假设就是；假设拒绝原假设，那么说明协整存在。然后检验。假设拒绝，那么意味着调节具有非线性，即阈值协整；进一步，假设拒绝，我们还需确定转移函数的形式，即确定转移函数是逻辑函数还是指数函数。转移函数形式检验的原假设就是。假设接受，那么转移函数为逻辑函数，假设拒绝，那么转移

17、函数为指数函数。多数情况下，阈值协整向量未知，因此，模型6，7中的阈值协整残差不可观察，从而导致模型不可估计。为此，参照Balke, Fomby1997，Escribano(2004)的处理方法，使用线性协整向量代替阈值协整向量我们将在另一篇论文中把协整向量扩展为未知。本文使用检验统计量来检验，统计量的计算为： (8) 这里，是指在原假设下有约束，对模型(6)估计的残差平方和，是模型(6)无约束回归的残差平方和。 类似于(8)式，检验原假设的统计量为，其计算为： (9)9式中，分别为6中的有约束和无约束的残差平方和。进一步，虽然模型(6)中所有变量都是平稳的，但Jong(2001)的研究说明，

18、在ECM中，假设调节是线性，那么对ECM的最小二乘估计量具有标准的分布；假设调节为非线性，除非满足一定的正交条件，否那么，对模型(6)的非线性最小二乘估计量就是非标准分布。因此在非线性条件下，和为非标准分布。根据Escribano(2004)附录中的说明和参照Kapetanios,Shin (2004)的推导，可以方便地得到和的极限分布。定理1：考虑非线性误差校正模型(6)，在原假设，下，由(8)，(9)定义的统计量分别具有以下极限分布： (10) (11)这里，为的缩写。，和分别为独立的标量和维标准布朗运动，并且。在备择假设下，和统计值向正无穷处发散，因此，计算的和统计值大于对应的临界值，便

19、提供了备择假设成立的证据。 进一步，本文上述的分析都是假定协整关系中既没有漂移项，也没有时间趋势项称为case1。类似于上述分析，可以方便地在协整关系中引进漂移项和时间趋势项(分别称为case2和case2)。并且case2和case2的，具有相同的极限分布，不同处是将对应布朗运动改为褪去均值和褪去时间趋势的布朗运动。本文通过10000次的Monte Carlo仿真试验计算了三种不同情形下，上述两个统计量极限分布的临界值，见表1。表1：检验统计量极限分布的临界值Case 1Case 2Case 3K90%95%99%90%95%99%90%95%99%132254424151428902732

20、38456333.73601045Case 1Case 2Case 3K90%95%99%90%95%99%90%95%99%12342、ESTR-ECM对LSTR-ECM的检验前文中我们分别介绍了使用，统计量检验协整和阈值协整的方法，一旦检验结果说明调节效应具有显著的非线性，我们还需进一步确定刻画非线性调节效应的函数形式。如前所述，现有文献通常使用逻辑函数或指数函数来模拟这一非线性调节过程，即使用ESTR-ECM或LSTR-ECM模型。在实际应用中，哪种函数形式更好，应针对实际数据特征进行检验，以选择最优的非线性函数形式。因此，我们需要设定检验程序，检验ESTR-ECM或LSTR-ECM。通

21、过对模型(6)，(7)的分析不难发现，实现这一检验的原假设：，备择假设：。在原假设下，转移函数就是逻辑函数；在备择假设下，转移函数就是指数函数。由于Jong(2001)的研究说明，实现检验：的统计量及其分布是非标准分布。为此，我们采用t-统计量的构造形式记为，使用蒙特卡罗仿真试验计算其相应的临界值，以实现ESTR-ECM对LSTR- ECM的检验。 (12)这里，是在数据生成过程为LSTR- ECM时即在原假设下，使用OLS对6式中的估计，为的方差。仿真实验中的数据生成过程使用了下文的13，14，15式，其中，参数， ，=1，=1，。表4：统计量的百分位表pr自由度15202530354045

22、50556065707580859095100105110115120注：表中数据含义为：当自由度为15，。 从仿真结果的百分位表来看，统计量有向左倾的趋势，并且，自由度越小时，左倾越明显。进一步，基于上述百分位表，当计算的t-统计值大于对应的临界值时，那么拒绝原假设，非线性转移函数即为逻辑函数；否那么，转移函数为指数函数。3、 有限样本性质 表1给出的，统计量的临界值仅是针对大样本的极限分布而言，在实际应用中，多数情况是有限样本，尤其是小样本，因此，我们需要分析，统计量的有限样本性质。以进一步验证本文所提出的方法在实际应用中的检验效果。本文使用一个蒙特卡罗实验，分别研究，统计量的小样本性质，

23、即名义显著性水平对应临界值下的实际显著性水平size和检验势power size是指在原假设成立和名义显著性水平对应的临界值下，所考察统计量这里指和拒绝原假设的概率即实际显著性水平，下同。因此，size使用来检验所考察统计量有限样本下的临界值和极限分布的临界值的差异；power是指在原假设不成立和名义显著性水平对应的临界值下，所考察统计量拒绝原假设的概率，因此，power使用来检验所考察的统计量在有限样本下区别原假设和备选假设的能力。由此可见，一个好的统计量的size应该和名义显著性水平大致相等，而power应越大越好。类似于Arranz,Escribano(2000)所使用的单方程的ECM，

24、本文的数据生成过程如下： (13) (14) (15)这里，我们固定=1.0，=1.0，。在检验协整对非协整统计量的原假设下，设定=0，=0，备择假设下。同时，为考察参数的变化对有限样本性质的影响，本文在仿真试验中对参数设定不同的值，分别是，。进一步，为考察在不同的信号噪音比(single-to-noise ratios)对这些统计量的有限样本性质的影响，分别设定，。在检验线性协整对阈值协整统计量的原假设下，备择假设下其余参数取值与备择假设下参数取值相同。不同参数值下，统计量的有限样本性质分别见表2，表3。表2 ，统计量的有限样本性质(size) (=0.05)T1001.084.01.04.

25、01.04.01501.04.01.04.01.04.0表2给出了重复10000次，名义显著性水平=0.05，时，各检验统计量的size。从结果看，各统计量在小样本下的size的水平扭曲(size distortion，即实际和名义的显著性水平不一致)程度较小。例如，的扭曲程度最大的是，时，其实际显著性水平为，比对应的名义显著性水平大，即扭曲了%。扭曲程度最大出现在，时，实际显著性水平为0.062，扭曲了1.2。进一步，的size整体比扭曲程度相对较小。例如，的扭曲程度为，的扭曲为。综上，在有限样本下，统计量和的实际显著性水平与其极限分布对应的显著性水平没有实质差异，在实际应用中，可直接使用本

26、文给出的各统计量的临界值，而无需对临界值进行校正。表3 ，统计量的有限样本性质(power) ()1.00.849114.00.845241.04.01.04.05.01.05.04.05.01.05.04.05.01.05.04.01.04.01.04.01.04.05.01.05.04.05.01.05.04.05.01.05.04.0续表3 ，统计量的有限样本性质(power) ()1.04.01.04.01.014.05.01.05.04.05.01.05.04.00.8415.01.05.04.01.04.01.04.01.04.05.01.05.04.05.01.05.04.05.

27、01.05.04.0表3给出了重复10000次，名义时，的检验势。总体来看，在不同参数值下，统计量有限样本的检验势都较好，并且，随着样本长度的增加，的检验势也随之增加。例如，当1.2，5.0，1.0，1，时，统计量在5的名义显著性水平下，拒绝原假设的概率分别，0.819，即检验的势分别为0.829，19；在其余参数不变，样本长度增加到时，的检验势随之增加到0.844，0.831。进一步，当较大时(越大表示数据生成过程中的非线性调节特征越显著)，的势越大，但的势随的变化较小，而的势随的变化较大。例如，1.2，1.0，1.0，1.0，时，统计量在5的名义显著性水平下，拒绝原假设的概率分别0.845

28、，87，在其他参数不变而将降为0.8，在相同名义显著水平下，上述统计量拒绝原假设的概率略有下降，分别为，的势下降0.002，的势下降0.1。不难理解这一结果，使用来检验线性协整对阈值协整的，因此调节效应中非线性成分越强，检验的势越高；而是用来检验协整对非协整的，调节效应中的非线性成分对它的检验势的影响相对较小。这一结果也说明，数据生成中的非线性成分越显著，统计量鉴别备择假设的能力越强。四、 结 论标准的线性协整理论不适合分析实际经济问题中的非线性调节问题，Balke,Fomby (1997)所提出的阈值协整正是将非平稳数据和非线性特征结合在一起，针对实际经济问题中的非线性调节问题而提出的研究方

29、法。正是阈值协整基于现实经济问题的需要而成功地改良了标准协整理论的缺乏，从而成为现代计量经济学的前沿热点领域之一。Escribano(2003)，Kapetanios,Shin(2004)，Kristensen，Rahbek2007等在ECM中非线性调节函数情况下，针对ECM提出一系列检验非线性协整的方法。基于这些研究，本文把Kapetanios,Shin(2004)的非线性调节函数由扩展为未知，并参照Luukkonen(1988)的方法，将ECM中的转移函数在原点进行泰勒展开，并用二阶泰勒展开式近似代替转移函数。基于这一转变，本文分别使用，统计量在ECM中检验阈值协整和确定非线性调节函数形式

30、。Monte-Carlo仿真实验说明，在有限样本下，本文所使用的，检验统计量具有较小的水平扭曲和较好的检验势，因此，可以方便的将本文的方法应用实际经济问题的研究。参考文献Andrews,D.W.K.,1994, Optimal Tests When a Nuisance Parameter Is Present Only Under the AlternativeJ,Econometrica,62,1383-1414.Arranz,M.A.and Escribano, A.,2000, Cointgeration testing in the presence of structural br

31、eaks,Oxford Bulletin of economics and Statistics, 62,23-52.Balke,N.and Fomby,T.,1997,Threshold Cointegration, International Economic Review , 38,627645.Caner, M. and Hansen,B. E.,2001,Threshold Autoregression with a Unit Root, Journal of Econometrica, 69,1555-1596.Choi,I.and Saikkonen,P.,2004,Testin

32、g Linearity in Cointegrating Smooth Transition Regressions, Journal of Econometrics,2,341-365.Dijk,D.V., Tersvirta ,T.,2002,Smooth Transition Autoregressive Models -A Survey of Recent Developments, Journal of Econometric Review,1,1-47.Enders,W.and Granger, C.,1998,Unit-root Tests and Asymmetric Adju

33、stment with an Example Using the Term Structure of Interest rates, Journal of Business and Economic Statistics , 16,304311.Escribano,A.,2004, Nonlinear Error Correction the Case of Money Demand in the United Kingdom(1878-2000), Macroeconomic Dynamics,8,76-116.Granger, C W J.,1983, Cointegrated Varia

34、bles and Error Correction Models, Discussion Paper from University of California,San Diego.Hansen, B.E., and Seo,B., 2002, Testing for Two-regime Threshold Cointegration in Vector Error Correction Models, Journal of Econometrics, 110, 293318.Hansen,B.E., 1996, Inference When a Nuisance Parameter Is Not Identified Under the Null Hypothesis, Economatrica ,64,413-430.Jong,R.M., 2001,Nonlinear Estimation Using Estimated Cointegrating Relations, Journal of Econometrics, 101,109