高三数学立体几何中的最值问题四则

1、立体几何中的最值问题四则1.用配方法求距离的最值例1.如图1,正方形 ABCD、ABEF边长都是1,且平面 ABCD、ABEF互相垂直，点 M在AC上移动,点N在BF上移动，若CM = BN = a(0 a 囱。试求当a为何值时，MN的值最小。分析：此题的解题关键是想用含 a的代数式表示距离，再用配方法求最值。解：过M作MH _LAB ,垂足为H,连结NH ,如图1所示。在正方形 ABCD中，AB_LCB ,所以 BC /MH ,因为平面 AC_L平面AE,所以MH _L平面AE ,即MH 1NH 。因为 CM = BN =a, AB =CB = BE =1 ,所以 AC = BF = 2即

2、AM = J2-a, TOC o 1-5 h z 22MH = AH =1 - a, BH =a ,22由余弦定理求得NH=X2a。2所以 MN = . MH2 NH22222=(1 - 2 a)(2 a)二，a2 - 2a 12 21=缶一万)2万(0=扬2 ._2 当a =彳2时，MN =32 ,即M、N分别移到AC、BF的中点时，MN的值最小，最小值为.结合实际找最值位置例2.在一张硬纸上，抠去一个半径为 ，3的圆洞，然后把此洞套在一个底面边长为4,高为6的正三棱锥连结平面所以A-BCD上，并使纸面与锥面平行，则能穿过这张纸面的棱锥的高的最大值是A- BCD的顶点A在平面BCD上的射影为

3、A,在平面BCD上的射影为O。解：如图BA、BO并延长分别交 CD、CD于E、BC D/ 平面 BCD ,BE BCBE BC E点，则33BE= BO, BE = BA,BO BCBA BC一一、， _4 3 _ _又因为 BA = ,BO = 3,BC =4, 3所以BC = 3又能AABCBC，所以AO二BCBC即能穿过这张纸面的棱锥的高的最大值是.利用函数的有界性求体积最值例3.如图3,已知在MBC中，/C=90 PA_L 平面 ABCAE_LPB 于 E,AF1PC 于 F,AP = AB = 2,2AEF = ,当日变化时，求三棱锥 P AEF体积的最大值。Px解：因为PA_L平面

4、ABCBC仁平面ABC ,所以PA_BC又因为 BC_AC, PA . AC = A ,所以BC_L平面PAC ,又AF u平面PAC ,所以BC _AF ,又 AF _PC, PC - BC =C ,所以AF _L平面PBC ,即AF _LEF。EF是AE在平面PBC上的射影，因为AE1PB,所以EF_PB ,即PE_L平面AEF。在三锥P AEF中，AP = AB -2, AE_PB ,所以 PE = J2, AE = J2 ,AF = 2sin，EF = 2cosi TOC o 1-5 h z 、，1-Vp SEF S AEF PE31 一 一二一一.2sini . 2 cos.23 22 .=sin 2-6一、一八几因为 0 :二 ：二一，2所以 0 ： 2：二，0 : sin2i ： 1因此，当e=时，vp AEF取得最大值为.L _C匚厂44.结合图形列方程求解。例4.棱长为2cm的正方体容器盛满水，把半径为1cm的铜球放入水中刚好被淹没，然后再放入一个铁球，使它淹没水中，要使流出来的水量最多，这个铁球的半径应该为多大？图4解：过正方形对角线的截面图如图4所示。AC1 =2V3,AO =、13,AS u AO - OS = ： J3 -1设小球的半径为