结构力学静定结构的位移计算课件

1、项目二静定结构的内力与位移计算 子项目二静定结构的位移计算 1. 理解结构位移的概念。 2. 了解引起结构位移的原因。 3. 掌握位移计算的目的。 情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的 学习能力目标项目表述 建筑结构在施工和使用过程中常会发生变形，由于结构变形，其上各点或截面位置会发生改变，称为结构的位移。通过本项目介绍，使同学们能够理解结构位移的概念、了解引起结构位移的原因和掌握位移计算的目的。学习进程知识链接1结构位移的概念 建筑结构在施工和使用过程中常会发生变形，由于结构变形，其上各点或截面位置会发生改变，这称为结构的位移。如图 2 56a 所示的刚架，在荷载作用下，结构产生变形如

2、图中虚线所示，使截面的形心 A 点沿某一方向移到 A点，线段 AA称为 A 点的线位移，一般用符号 A 表示。它也可用竖向线位移 Ay 和水平线位移 Ax 两个位移分量来表示，如图 2 56b 所示。 情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的 知识链接情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的 知识链接2引起位移的原因 众所周知，引起位移的原因主要是荷载作用。除此之外，温度改变使材料膨胀或收缩、结构构件的尺寸在制造过程中产生误差、基础的沉陷或结构支座产生移动等因素，均会引起结构的位移。如图 2 56a、图 2 57a 所示，由荷载作用产生的位移。如图 2 57b 所示，因温度改变或材料胀缩产

3、生的位移。如图 2 57c 所示，因制造误差或支座移动产生的位移。 情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的 知识链接3位移计算的目的 校核结构的刚度。在结构设计中除了满足强度要求外还要求结构有足够的刚度，即在荷载作用下（或其他因素作用下）不致变形太大，而影响正常使用。例如列车通过桥梁时，若桥梁的挠度（即竖向线位移）太大，则线路将不平顺以致引起过大的冲击、振动，影响行车。 在结构的制作、架设施工与养护等过程中，也常须预先知道结构变形后的位置，以便采取相应的施工措施，因此也需要计算其位移。例如图 2 58 所示三孔钢桁梁，进行悬臂拼装时，在梁的自重、临时轨道、吊机等荷载作用下，悬臂部分将下垂而

4、发生竖向位移 fA，若 fA太大，则吊机容易滚落，同时梁也不能按设计要求就位。因此，必须先行计算 fA 的数值，以便采取相应措施，确保施工安全和拼装就位。 情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的 知识链接 为计算超静定结构打下基础。计算超静定结构的支座反力和内力时，只用静力平衡条件是不够的，还必须考虑变形条件，而建立变形条件就需要计算结构的位移。因此，位移计算是超静定结构计算的基础。情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的 项目实施如图 259 所示刚架，在荷载作用下发生虚线所示的变形，截面 A 的角位移为A （顺时针方向），截面 B 的角位移为B （逆时针方向），截面 A、B 的相对角

5、位移是这两个截面的角位移（方向相反）之和，即AB=A+B。同样，C、D 两点的水平相对线位移是这两个点的水平位移（指向相反）之和，即 AB= A +B。情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的 项目实施2梁的挠度 如图 2 60 所示，在平面弯曲变形的情况下，梁的轴线 AB 在 xOy 平面内弯成一条光滑而又连续的曲线 AB，称为梁的挠曲线。梁任一横截面的形心在垂直于轴线方向的线位移，称为该横截面的挠度，用 y 表示。规定沿 y 轴正向（向下）的挠度为正，反之为负。实际上，横截面形心沿轴线方向也存在线位移，但在小变形条件下，这种位移与挠度相比很小，一般略去。情景一 引起结构位移的原因及位移计

6、算的目的 项目实施情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的 横截面转角即为角位移，规定以顺时针转向为正，反之为负。梁横截面的挠度y和转角都是随截面位置x而变化，是x的连续函数，则梁的挠曲线方程为 y=y（x）在小变形条件下，转角很小，两者之间的关系为项目实施对梁的挠曲线微分方程分别积分一次和两次，再由已知的位移条件来求出积分常数，便可得到梁的转角方程和挠度方程，这种计算梁位移的方法称为积分法。 3线弹性体系 本项目只讨论线性弹性变形体系的位移计算，计算的理论基础是虚功原理，计算方法是单位荷载法，同时可以应用叠加原理。 线弹性体系是指位移与荷载呈线性关系的体系，当荷载全部撤除后，位移将全部消失

7、。线弹性体系的应用条件是： 材料处于弹性阶段，应力与应变成正比。 体系变形微小（小变形）。 情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的 能力拓展如图 2 61a 所示屋架，通过对比左右两图，运用结构位移的相关知识，可以解释制作时为何通常将各下弦杆的实际下料长度做得比设计长度要短些，这样可以使屋架拼装后，结点 C 位于 C的位置（图 2 61b）， 工程上将这种做法称为建筑起拱。那么预先应知道哪些位移量？ 情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的 1. 理解变形体的虚功原理，能够区分力状态和位移状态以及二者之间的独立性。 2. 理解广义力、广义位移和实功、虚功的概念。 3. 正确理解结构位移计

8、算的一般公式。 4. 能够利用虚功原理，根据所求位移，假设出虚设的力状态。 5. 能正确理解单位荷载法的基本原理。 学习能力目标情景二 虚功原理及单位荷载法 静定结构位移计算是演算结构刚度和计算超静定结构所必需的。变形体虚功原理是结构力学中的重要理论。通过本项目学习，同学们重点理解变形体的虚功原理、单位荷载法及位移计算一般公式。对变形体的虚功原理的推导过程的理解是本项目的难点内容。项目表述情景二 虚功原理及单位荷载法 学习进程情景二 虚功原理及单位荷载法 知识链接1功、广义力、广义位移我们知道功是由力和位移两个因素组成，其大小是力与力的方向上位移的乘积。如图262a 所示，设物体上 M 点受恒

9、力 P 作用，当 M 点发生了线位移 时，则 WP = cos （28）称为力 P 在线位移上所做的功。式中 是力的方向与位移之间的夹角。情景二 虚功原理及单位荷载法 知识链接如图 262b 所示，设物体受力偶矩 M = P d 作用，如果物体在力偶作用平面内，沿力偶转动方向转过角位移 ，则力偶做的功可以用构成力偶的两个力所做功的和来计算，得情景二 虚功原理及单位荷载法 知识链接 即力偶所做的功等于力偶矩与角位移的乘积。 功是代数量，当力与位移的方向相同时，功为正值；当力与位移的方向相反时，功为负值。 当力与位移相互垂直时，功为零。 我们将力或力偶作功用一个统一的公式表示 WP = （210）

10、式中 P 称为广义力，既可代表力，也可代表力偶。 称为广义位移，既可代表角位移，也可代表线位移，它与广义力相对应。P 为集中力时， 代表线位移；P 为力偶时， 代表角位移。情景二 虚功原理及单位荷载法 知识链接情景二 虚功原理及单位荷载法 2虚功和实功在功的定义中，只有力和位移两个因素，并未规定位移是什么原因引起的。也就是说无论位移是力本身引起的还是其他原因引起的，功的定义都是正确的。根据力与位移的关系，可将功分为两种情况： 当力在由于本身作用而引起的位移上做功时，称为实功。 当力在其他因素引起的位移上做功时，称为虚功。如图 263a 所示，直杆上作用荷载 P，杆轴温度为 t，当温度升高 t

11、时，杆伸长 1 ，如图263b 所示。知识链接当位移与力的方向相同时，虚功为正；反之为负。情景二 虚功原理及单位荷载法 知识链接3实功原理 结构受到外力作用而发生变形，则外力在发生变形过程中作了功。如果结构处于弹性阶段范围，当外力去掉之后，该结构将能恢复到原来变形前的位置，这是由于弹性变形使结构积蓄了作功的能量，这种能量称为变形能。由此可见，结构之所以有这种变形，实际上是结构受到外力作功的结果，也就是功与能的转化，则根据能量守恒定律可知，在加载过程中外力所作的实功 W 将全部转化为结构的变形能，用 U 表示，即W = U （211）从另一个角度讲，结构在荷载作用下产生内力和变形，那么内力也将在

12、其相应的变形上作功，而结构的变形能又可用内力所作的功来度量。所以，外力实功等于内力实功又等于变形能。这个功能原理，称为弹性结构的实功原理。情景二 虚功原理及单位荷载法 知识链接4变形体的虚功原理情景二 虚功原理及单位荷载法 项目实施 如图 264 所示简支梁 AB 在第一组荷载 P1 的作用下，将在 P1作用点沿 P1方向产生位移，记为 11 。其双下标表示位移 是在 P1作用点沿 P1方向，由 P1作用而引起的。当第一组荷载P1作用于结构并达到稳定平衡后，再加上第二组荷载 P2，此时结构将继续变形，并引起 P1作用点沿P1方向产生新的位移12，同时P2作用点沿P2方向产生位移 22。P1在位

13、移 12上做功为W12 ，称为外力的虚功，即 W12 = P1 12 在P2加载过程中，简支梁 AB 由于第一组荷载 P1 作用而产生的内力为 M1 、Q1 、N1 ，而第二组荷载P2作用下产生的内力为M2、 Q2 、N2 ，所引起的变形为 d2 、 2ds 、 du2 ，则在其上做的功称为内力的虚功，为W12 。情景二 虚功原理及单位荷载法 知识链接情景二 虚功原理及单位荷载法 知识链接情景二 虚功原理及单位荷载法 现计算内力虚功。在图 264 上取 ds 微段，受力如图 265 所示。微段 ds 的内力虚功为 对于平面杆件结构 根据能量转变和守恒定律可得，变形体的虚功原理为：结构的第一组外

14、力在第二组外力作用而引起的位移上所做的外力的虚功，等于第一组内力在第二组内力所引起的变形上所做的内力的虚功。 即 W外 = W内项目实施1位移计算的一般公式 如图 266a 所示结构在荷载 P 作用下发生了如虚线所示的变形。现在求结构上任一截面沿任一指定方向上的广义位移，如 K 截面的水平位移 KP 。情景二 虚功原理及单位荷载法 项目实施 应用虚功原理，也就是要确定两个彼此独立的状态力状态和位移状态。现在的位移状态是实际发生的，为图 266a 中所表示的位移 KP ，力状态则可根据解决的实际问题来虚拟。需要考虑两方面因素，一方面，为了便于求出位移 KP；另一方面，也是为了便于计算。因此在选择

15、虚拟力系时应只在拟求位移 KP的方向设置一单位荷载 PK = 1，如图 266b 所示。由于单位荷载的作用，在支座处将有由单位力引起的反力。这样就构成了一组虚拟状态的平衡力系力状态。 根据以上两种状态，计算虚拟力状态的外力和内力在相应的实际位移状态上所做的虚功。情景二 虚功原理及单位荷载法 项目实施情景二 虚功原理及单位荷载法 外力虚功：内力虚功：由虚功原理 W外 =W内 ，得 可以看出，外力虚功在数值上恰好等于所求位移，这便是平面杆件结构位移计算的一般公式。它只要求结构满足处于平衡状态和材料为小变形两个条件。既适用于弹性材料，也适用于非弹性材料。此公式可以用于静定和超静定结构的位移计算。2单

16、位荷载法由以上可知，利用虚功原理来求结构的位移，关键在于虚设恰当的力状态，而此方法的巧妙之处在于虚拟状态中只在所求位移地点沿所求位移方向加一个单位荷载，以使荷载虚功恰好等于所求位移。这种用虚设单位荷载计算结构位移的方法称为单位荷载法。3单位荷载的虚设方法单位荷载必须根据所求位移而假设。即单位荷载要与所求位移相对应。例如悬臂刚架上作用了竖向荷载，当求此荷载作用下的不同位移时，其虚设的单位荷载有以下几种不同情况：情景二 虚功原理及单位荷载法 项目实施 当要求某水平方向的线位移时，应在该点沿水平方向加一个单位集中力，如图267a所示。 当要求某截面的角位移时，应在该截面处加一个单位力偶，如图 267

17、b 所示。 当要求两点间相对线位移时，应在两点沿其连线方向加一对指向相反的单位集中力，如图 267c 所示。 当要求两截面的相对角位移时，应在两截面处加一对方向相反的单位力偶，如图267d 所示。 在求桁架某杆的角位移时，由于桁架只受轴力，故应将单位力偶换为等效结点集中力，即在该杆两端加一对方向与杆件垂直、大小等于杆长倒数而指向相反的集中力，如图 267e 所示。情景二 虚功原理及单位荷载法 项目实施情景二 虚功原理及单位荷载法 项目实施1. 在进一步理解变形体的虚功原理的基础上，掌握结构在荷载作用下的位移计算。2. 正确理解结构位移计算的一般公式。3. 能够掌握各种不同结构在荷载作用下的位移

18、计算公式学习能力目标项目表述 本项目的主要内容是用积分法计算结构在荷载作用下的位移。本节的重点是结构在荷载作用下的位移计算，学习的基础是结构内力的计算和表示。通过项目学习，最终可以进行梁、刚架、桁架等结构在荷载作用下的位移计算。学习进程情景三 静定结构在荷载作用下的位移计算知识链接1荷载作用下的位移计算公式 若静定结构的位移仅仅是由荷载作用引起的，即 c = 0，则式（213）可改写为式中， 、 、 为虚设力状态中微段上的内力；dP ， Pds ，duP 为实际状态中微段ds上在荷载作用下产生的变形。根据材料力学的知识，由公式得到情景三 静定结构在荷载作用下的位移计算知识链接式中， 为 dx

19、微段变形曲线的曲率半径，如图 265b 所示。将上式代入式（214）中得情景三 静定结构在荷载作用下的位移计算 这就是结构在荷载作用下的位移计算公式。公式（215）右边三项分别代表虚拟状态下的内力 ， ， 在实际状态相应的变形上所作的虚功。该式适用于由直杆组成的结构，但对于曲率不大的曲杆（例如通常的拱结构），也可以近似应用。知识链接2计算时公式的简化在实际计算中，对于不同的结构，公式（215）右边三项在位移计算结果中所占的比重各不相同，运用时只需考虑公式中的一项或两项，公式（215）可简化为如下公式：（1）梁和刚架对于梁和刚架，其位移主要是由弯矩引起的，其公式简化为但在扁平拱中，除弯矩外，有时

20、要考虑轴向变形对位移的影响。情景三 静定结构在荷载作用下的位移计算知识链接（2）桁架对于桁架，因为只有轴力，且同一杆件的轴力 、NP 及 EA 沿杆长 l 均为常数，故公式可简化为（3）组合结构在组合结构中，对梁式杆只计算弯矩影响，对链杆只计轴力影响，故公式简化为情景三 静定结构在荷载作用下的位移计算知识链接3计算结果的正负当计算结构为正时，表示外力虚功为正值，此时所求位移 KP 的实际指向与虚拟单位荷载PK = 1 的指向相同；当计算结构为负时，KP 的实际指向与 PK = 1 的指向相反。4利用积分法计算结构位移的基本步骤 在欲求位移处沿所求位移方向虚设广义单位力，然后分别列各杆段内力方程

21、。 列实际荷载作用下各杆段内力方程。 根据不同的结构将各内力方程代入合适的公式中（式 216 式 218 中的某一个），分段积分后求出，即可算出所求位移。情景三 静定结构在荷载作用下的位移计算项目实施案例 213试求如图 268a 所示悬臂梁在 A 端的竖向位移 Ay 。情景三 静定结构在荷载作用下的位移计算项目实施情景三 静定结构在荷载作用下的位移计算解答：（1）虚设单位荷载（图 268b） （2）求内力表达式取实际状态，如图 268a 所示。A 点为坐标原点，任一截面 x 的弯矩方程为虚设单位荷载。在 A 点加一竖向单位力，如图 268b 所示，以 A 为坐标原点，弯矩方程为在 A 点加逆

22、时针转向的单位力偶，如图 268c 所示，以 A 为坐标原点，弯矩方程为 项目实施情景三 静定结构在荷载作用下的位移计算（3）位移计算计算结果得正值，表明实际位移与虚设 PK = 1 的方向一致，截面转角也与虚设力偶的方向一致。项目实施案例 214求如图 269a 所示刚架上 C 点的水平位移 Cx 。情景三 静定结构在荷载作用下的位移计算项目实施解答：（1）实际状态如图 269a 所示，列弯矩方程得 AB 段：BC 段：（2）在 C 截面加水平方向单位力，如图 269b 所示，其弯矩方程为AB 段：BC 段：（3）代入式（216），得 C 点的水平位移情景三 静定结构在荷载作用下的位移计算项

23、目实施情景三 静定结构在荷载作用下的位移计算案例 215如图 270a 所示桁架各杆 EA = 常数，求结点 C 的竖向位移 Cy 。项目实施情景三 静定结构在荷载作用下的位移计算解答： 为求 C 点的竖向位移，在 C 点加一竖向单位力，并求出 PK = 1 引起的各杆轴力N，如图 270b 所示。 求出实际状态下各杆的轴力 NP ，如图 270a 所示。 将各杆 、NP 及其长度列入表 22 中，再运用公式进行运算。因为该桁架是对称的，所以由式（217）得计算结果为正，说明 C 点的竖向位移与假设的单位力PK = 1 方向相同，即向下。项目实施情景三 静定结构在荷载作用下的位移计算能力拓展1

24、叠加法计算位移在实际工程中，梁上可能同时作用有几种或几个荷载，此时若用积分法来计算位移，其计算量较大。在小变形条件下，当梁内的应力不超过材料的比例极限时，梁的挠曲线近似微分方程是一个线性微分方程，因此可以采用叠加法求梁的变形，即梁在几个简单荷载共同作用下，某一截面的挠度和转角等于各个简单荷载单独作用时该截面挠度和转角的代数和。梁在简单荷载作用下的挠度和转角可从表 23 中查到。情景三 静定结构在荷载作用下的位移计算能力拓展情景三 静定结构在荷载作用下的位移计算能力拓展情景三 静定结构在荷载作用下的位移计算能力拓展案例 216简支梁受满跨均布荷载 q 和跨中集中力 P 作用，如图 271 所示。

25、试用叠加法求梁跨中截面 C 的挠度 yC 。情景三 静定结构在荷载作用下的位移计算能力拓展解答：把梁上的复杂荷载分解为两种简单荷载，如图 271b、c 所示。在均布荷载 q 单独作用下，梁的跨中截面挠度查表 23 得在集中力 P 作用下，梁跨中截面挠度查表 23 得叠加以上结果，即可得到梁的跨中截面挠度为情景三 静定结构在荷载作用下的位移计算能力拓展2梁的刚度校核（1）强度条件 构件不仅要满足强度条件，还要满足刚度条件，即要求梁的位移不能过大。例如楼板主梁挠度过大，其下的抹灰层将产生裂痕或脱落。水闸结构的闸墩或闸门的过大位移，也能影响闸门的启闭与止水。高层建筑在风荷载作用下，如果振动幅度太大，

26、会影响居住的舒适性；吊车梁的挠度太大，会影响吊车的正常运行；结构的变形过大，会影响内部装修及设备的精度等。 校核梁的刚度是为了检查梁在荷载作用下产生的位移是否超过容许值。对于梁的挠度通常是限制挠度与跨度的比值，即情景三 静定结构在荷载作用下的位移计算能力拓展案例 217简支梁由 No.28b 工字钢制成，承受荷载作用如图 272 所示，已知 P =20 kN，l = 9 m，E = 210 GPa， =170 MPa， 试校核该梁的强度和刚度。情景三 静定结构在荷载作用下的位移计算能力拓展解答：1）查型钢表得到工字钢有关数据2）强度校核满足强度条件。（3）刚度校核查表 23 得简支梁受跨中集中

27、了作用的情景三 静定结构在荷载作用下的位移计算能力拓展不满足刚度条件，需加大截面。改用 NO.32a 工字钢，查型钢表，IZ=11075.525cm4满足刚度条件。（2）提高梁刚度的措施梁的挠度和转角与梁的抗弯刚度 EI、梁的跨度 l、荷载的作用形式及支座的位置等有关。所以，提高梁的刚度应从以下几个方面进行考虑。 减小梁的跨度或增加支座。梁的跨度对梁的变形影响最大，若设法减小梁的跨度对提高梁的刚度将具有十分重要的意义。当梁的跨度无法改变时，则可以通过增加梁的支座来达到提高梁的弯曲刚度的目的。如均布荷载作用下的简支梁，在跨中最大挠度情景三 静定结构在荷载作用下的位移计算能力拓展若梁跨减小一半，则

28、最大挠度为若在梁跨中点增加一支座，则梁的最大挠度约为原梁的如图 273 所示。情景三 静定结构在荷载作用下的位移计算能力拓展 选择合理的截面形状。梁的变形与抗弯刚度 EI 成反比，而影响惯性矩的主要因素是截面高度。所以当截面面积不变时，增大梁的截面高度将会使梁的变形减小。为此可采用惯性矩较大的截面形状，如工字形、圆环形、框形等。而为了提高梁的刚度而采用高强度钢材是不合适的，因为高强度钢的弹性模量 E 较一般钢材并无多少提高。 改善荷载的作用情况。弯矩是引起变形的主要因素，变更荷载作用位置与方式，减小梁内弯矩，可达到减小变形、提高刚度的目的。如将较大的集中荷载移到靠近支座处，或把一些集中力尽量分

29、散，甚至改为分布荷载，如图 274 所示。情景三 静定结构在荷载作用下的位移计算能力拓展情景三 静定结构在荷载作用下的位移计算1. 正确理解图乘法和应用条件以及图乘法的含义。2. 能够利用图乘法计算粱、刚架的位移。3. 理解各种弯矩图的叠加并能够根据叠加组合进行图乘。 学习能力目标情境四图乘法计算位移 项目表述 图乘法是梁、刚架位移计算的主要方法也是位移计算的重点，应多做练习，重点掌握。学习进程 情境四图乘法计算位移 知识链接情境四图乘法计算位移 1图乘法的公式及其应用条件在应用公式 计算梁或刚架的位移时，结构的各杆段满足以下三个条件，就可以用图乘法来计算：1）EI 为常数。2）杆轴为直线。3

30、） 和 MP 两个弯矩图中至少有一个为直线图形。图乘法的计算公式为知识链接2图乘法公式的推导（1）公式推导情境四图乘法计算位移 知识链接如图 275 所示表示某一段等截面直杆的两个弯矩图，EI 为常数。取 的基线为 x 轴，以 图的延长线与 x 轴的交点为坐标原点，建立坐标系 xOy。公式中的 ds 可用 dx 表示， =xtan （ 表示 图直线的倾角），将其代入积分式（216），得情境四图乘法计算位移 式中d=Mpdx ，为 MP 图中有阴影线的微面积，则 XD 就是微面积 d 对 y 轴的静矩。 就是整个MP 图的面积对 y 轴的静矩。根据以前对静矩知识的讨论， 等于 MP 图的面积 乘

31、以其形心 C 到 y 轴的距离 xC ，即知识链接代入式 219a，有因为，为 MP 图的形心 C 对应的 图上的纵距。这样式 219c 就可写为由此可见，计算由弯矩引起的位移，可用一个弯矩图的面积 乘以其形心所对应的另一个直线弯矩图上纵距 yC ，再除以杆件的刚度 EI。若结构上所有各段杆都可用图乘，则位移公式（216）可写成为情境四图乘法计算位移 知识链接（2）应用图乘法求结构位移时，应注意的问题 必须符合前面所列三个条件。 纵坐标 yC 只能从直线弯矩图中取值。若两图都为直线，可取任何一个图形。 若 与 yC 在杆的同侧时，即 MP 与 图同侧，则位移为正，反之为负。（3）常见图形的面积

32、及其形心位置为了应用方便，现将几种常见图形的面积及其形心位置表示于图 276。在各抛物线图形中，顶点是指其切线平行于底边的点，而顶点在中点或端点者称为“标准抛物线”图形。情境四图乘法计算位移 知识链接情境四图乘法计算位移 知识链接情境四图乘法计算位移 （4）应用图乘法时的一些技巧1）若 yC 所属图形不是一般直线而是折线时，如图 277 所示，或各段截面不相等时，均应分段图乘，然后进行叠加。知识链接2）如果图形比较复杂，则可将其分解为几个简单图形，分项计算后再进行代数求和。例如图 278 所示两个梯形相图乘，可不必定出整个 MP 图的形心位置，而将它分解为两个三角形（也可分解为一个矩形和一个三

33、角形），此时 ，故有情境四图乘法计算位移 知识链接其纵距 ya 和 yb 从 图的两个三角形中求得3）当 MP 图和 图都是直线图形，但纵距 a、b 或 c、d 不在基线的同一侧时（图 279），可将纵距在基线异侧的一个图形（设为MP 图）分解为 ABC 和 ABD 两个三角形。由于原图形任一截面的纵距MP 等于这两部分所含纵距 M P 和 M P 的代数和，故同前面一样，有情境四图乘法计算位移 知识链接情境四图乘法计算位移 知识链接4）如果是在均布荷载作用下的较复杂的弯矩图，如图 280a 所示，对于均布荷载 q 作用下的任一段直杆 AB，其弯矩图均可化为一个梯形与一个标准抛物线图形叠加。这

34、段直杆的弯矩图，与图 280b 所示相应简支梁在两端弯矩MA 、MB 和均布荷载 q 作用下的弯矩图是相同的。情境四图乘法计算位移 项目实施解答：实际状态的 MP 图如图 281b 所示，为二次标准抛物线，顶点在跨中。虚拟状态的 图如图 281c 所示，为直线变化。根据图乘法的要求，图乘面积 可取自曲线图形，而纵距 yC 应取自直线图形，因此有案例 219如图 282a 所示外伸梁，EI 为常量，试求 C 点的竖向位移 CY 。情境四图乘法计算位移 项目实施情境四图乘法计算位移 项目实施情境四图乘法计算位移 解答：MP 、 图分别如图 282b、c 所示。BC 段的 MP 图是二次标准抛物线；

35、但 AB 段的MP 图较复杂，可将其分解为一个三角形和一个二次标准抛物线图形。把它们分别和 图的相应纵距相乘，然后求其总和，于是可得能力拓展 案例 220求图 283a 所示刚架，在水平均布荷载作用下截面 A 的转角 A 和 B 点的水平位移 Bx 。各杆的 EI 为常数 。情境四图乘法计算位移 能力拓展情境四图乘法计算位移 能力拓展情境四图乘法计算位移 解答：作出实际荷载作用下的弯矩图，如图 283b 所示。 1）计算 A 。在 A 截面处加一单位力偶，作 图，如图 283c 所示。2）计算 Bx 。在 B 点加上一水平单位力，作 图，如图 283d 所示。了解支座移动引起的位移计算。 学习

36、能力目标情境五静定结构由于支座移动引起的位移计算项目表述 当有支座移动时，静定结构只发生刚体位移，即对于静定结构，支座移动并不引起任何内力和变形，所以 = 0，K = 0， = 0 。结构由于支座移动而产生的位移纯属刚体位移，根据虚功原理，代入位移计算一般公式中便可得到静定结构由于支座移动引起的位移计算公式。学习进程 知识链接 当静定结构的支座发生位移时，我们常常需要计算该结构任意方向上的位移。例如，如图284a 所示静定结构的支座发生了水平位移 c1 、竖向沉陷 c2 和转角 c3 ，现在我们要计算这种情况下其上任一点 K 的竖向位移 Ky 。 静定结构是无多余约束的几何不变体系，当有支座移

37、动时，静定结构只发生刚体位移。即对于静定结构，支座移动并不引起任何内力和变形。结构由于支座移动而产生的位移纯属刚体位移。因此，可以通过几何关系求得。情境五静定结构由于支座移动引起的位移计算知识链接 现在我们仍然采用虚功原理来求解位移。虚拟状态如图 284b 所示，在单位荷载作用下，支座的水平反力、竖向反力和反力偶分别为 、 、 。由于实际状态无变形，因此内力虚功等于零。外力虚功除单位力 1KP = 做功外，支座反力也将在实际状态相应的支座位移上做功。根据虚功原理，得 将上式移项整理后得 这就是静定结构在支座移动时的位移计算公式。式中 C为反力虚功，当 与 c 方向一致时取正号，方向相反时取负号

38、。情境五静定结构由于支座移动引起的位移计算项目实施 案例 221如图 285a 所示静定刚架，若支座 A 发生如图中所示的移动，试求 C 点的水平位移 Cx 和竖向位移 Cy 。c1 = 5 mm，c2 = 10 mm。情境五静定结构由于支座移动引起的位移计算 案例 222图 286a 所示桁架右支座移动情况如图所示。求由此引起的 CB 杆的转角位移 CB 。情境五静定结构由于支座移动引起的位移计算项目实施能力拓展案例 223如图 287a 所示为三铰刚架。支座 B 有水平位移 a 和竖向位移 b，试求铰 C两边截面的相对转角。情境五静定结构由于支座移动引起的位移计算能力拓展解答：为求 C 铰

39、两边截面的相对转角，需在其两边截面施加一对方向相反的单位力偶。此时因单位力偶的作用产生的支座反力为 ，如图 287b 所示。利用式（221），得负号表示 C 处的相对转动的方向与所设的单位力偶的转向相反。情境五静定结构由于支座移动引起的位移计算学习能力目标情境六静定结构由于温度变化引起的位移计算了解静定结构温度变化时的位移计算方法 项目表述温度作用是指结构使用时或建造时温度发生改变对结构的作用。温度改变对静定结构不产生内力，但材料会发生自由膨胀和收缩，从而引起截面的应变（即温度应变），使结构产生变形和位移。假设温度改变沿杆长均匀，沿截面高度为线性分布。因此，截面发生温度变形后，仍保持为平面。截

40、面的变形可分解为沿轴向的拉伸变形和截面的转角变形。学习进程知识链接1静定结构的温度位移公式 当温度改变时，对于静定结构并不产生内力，但由于材料产生热胀冷缩，结构就会有变形和位移产生。 如图 288a 所示结构，设外缘温度升高了 t1 ，内缘温度升高了 t2 ，材料的线膨胀系数为 （温度上升 1时的线应变值）。现在计算由于温度改变所引起的任一点沿任一方向的位移，例如 K 点的竖向位移 Kt 。 仍用虚功原理来解决这个问题。实际状态和虚拟状态分别如图 288a、b 所示。实际状态的变形取长度为 ds 的一微段。为简化计算，假设温度沿截面高度 h 按直线规律变化。这样，截面在变形之后仍将保持为平面。

41、情境六静定结构由于温度变化引起的位移计算知识链接情境六静定结构由于温度变化引起的位移计算知识链接当杆件截面对称于形心轴时（即 h1 = h2 ），形心轴的温度升高为当杆件截面不对称于形心轴时（即 h1 h2 ），则这样，微段由于温度改变所产生的轴线伸长为而微段两端截面的相对转角为式中，t = t1 t2 为杆件外缘和内缘的温度改变之差。此外，温度变化并不引起微段的剪切变形。情境六静定结构由于温度变化引起的位移计算项目实施 设虚拟状态由 PK =1 引起的微段两端截面的内力为 和 （高阶微量已略去）。因为实际状态无剪切变形，所以虚拟状态的剪力不作功，因此图上未标出 。 将虚功原理应用于虚拟状态和

42、实际状态。根据虚功原理力 T12=W12情境六静定结构由于温度变化引起的位移计算将式（222a）和（222b）代入上式，得可得若各杆均为等截面杆，且温度沿杆长方向不变化，则上式可简化为知识链接2各类静定结构的温度位移公式 对于梁和刚架在计算温度位移时，不能略去轴向变形的影响，故需采用公式（223）和（224）。 对于桁架，温度位移公式可简化为 对于组合结构，温度位移公式可写成 上式右边第一项只对链杆求和，第二、第三项只对梁式杆求和。情境六静定结构由于温度变化引起的位移计算项目实施案例 224如图 289a 所示结构各杆的截面相同且与形心轴对称，各杆线膨胀系数为 ，截面高度为 h，试求当只有内侧

43、的温度升高 10C 时，在 C 点所产生的竖向线位移。 情境六静定结构由于温度变化引起的位移计算项目实施解答：1）建立虚设状态，即在 C 点竖向加单位力 PK = 1，如图 289b、c 所示。2）在单位力作用下，分别作图 和图 ，如图 289b、c 所示。从图中可知，温度改变使结构内侧伸长， 图中是杆件外侧受拉，两图中弯曲变形方向相反，所以公式中乘积取负值；同样 AB 杆的轴向变形方向也是相反（AB 杆轴向伸长， 图 AB 杆产生压力），也取负值。3）计算各杆轴线处的温度和各杆两侧温度差，得 情境六静定结构由于温度变化引起的位移计算项目实施情境六静定结构由于温度变化引起的位移计算 温差、单位

44、力引起的 等均取绝对值，因正负号将由两种状态下各杆相对应的变形方向来决定。 代入式（224），得C 点的实际方向与 PK = 1 方向相反，即 C 点位移向上。能力拓展 案例 225试求如图 290a 所示刚架 C 点的水平位移。已知其外缘温度升高 10，内缘温度升高 20，a = 3 m，各杆截面相同且对称于形心轴，截面高 h = 0.2 m，线膨胀系数 = 510-5。情境六静定结构由于温度变化引起的位移计算1. 正确理解功的互等定理。2. 正确理解位移互等定理、反力互等定理，为今后的学习奠定良好的基础。 情境七弹性结构的互等定理 学习能力目标项目表述 互等定理是为今后的学习做准备，本情境

45、的重点是对定理的理解。学习进程 弹性结构常用的三个普遍定理是指功的互等定理、位移互等定理、反力互等定理，其中最基本的是功的互等定理。另外两个定理都可由它推导出来。这些定理在计算结构的位移、求解超静定结构时经常用到。1功的互等定理如图 291 所示，一个简支梁分别承受 P1 、P2 作用，我们称为两个状态，图 291a 为第一状态，图 291b 为第二状态。如果我们计算第一状态外力和内力在第二状态相应的位移和变形上所作的虚功 W12 和 W12 ，并根据虚功原理 W12 =W12 可得情境七弹性结构的互等定理 知识链接 这里，位移 12 的两个下标的含义与前相同：第一个下标“1”表示位移的地点和

46、方向，即该位移是 P1 作用点沿 P1 方向上的位移；第二个下标“2”表示产生位移的原因，即该位移是由 P2 所引起的。情境七弹性结构的互等定理 知识链接同理，第二状态的外力和内力在第一状态相应位移和变形上所作的虚功 W12 和W21，并根据虚功原理 W12 =W21 ，则可得情境七弹性结构的互等定理 知识链接 上式表明：第一状态外力在第二状态相应位移上所作的虚功，等于第二状态外力在第一状态相应的位移上所作的虚功，称为功的互等定理。它适用于任何形式的弹性结构。功的互等定理的重要应用之一，是用来证明其他互等定理。比较（227a）、（227b）两式即得或 2位移互等定理 现在用功的互等定理来研究图

47、 292 所示的一种特殊情况，图中两个状态的荷载都是单位力，即 P1 = P2 = 1，代入（228）式得 此处12 和21 都是由于单位力所引起的位移，为了明显起见，改用小写字母 12 和21 表示， 于是将上式写成：情境七弹性结构的互等定理 知识链接这就是位移互等定理。它表明：第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向的位移，等于第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向的位移。这里的单位力也包括单位力偶，即可以是广义单位力。位移也包括角位移，即是相应的广义位移。情境七弹性结构的互等定理 知识链接位移互等定理中的单位力应理解为广义单位力，既可以是集中力，也可以是力偶，其对应的位移也

48、应理解为线位移或角位移。 3反力互等定理 反力互等定理也是功的互等定理的一种特殊情况。它用来说明在超静定结构中假设两个支座分别产生单位位移时，两个状态中反力互等关系。情境七弹性结构的互等定理 知识链接如图 293a 表示支座 1 发生单位位移的状态，此时支座 2 产生反力 21 ；图 293b 表示支 座 2 发 生 单 位 位 移 的 状 态， 此 时 支 座 1 产 生 反 力 12 。 根 据 功 的 互 等 定 理， 应 有 212=12 1，因为1 = 2=1，则有上式表明：支座 1 由于支座 2 单位位移所引起的反力 12 ，数值上等于支座 2 由于支座 1单位位移引起的反力 21 ，称为反力互等定理。这里的反力和位移依然是广义的。情境七弹性结构的互等定理 知识链接 反力互等定理对结构上任何两个支座都适用。但必须注意，在两种状态中，同一支座的反力和位移应该是对应的，即力对应于线位移，力偶对应于角位移，两者的乘积具有功的量纲。如图 294 所示的反力互等定理例子就说明了这个问题。根据反力互等定理，反力和反力偶虽然含义不同，但它们在数值上是相等的。情境七弹性结构的互等定理 知识链接 知识链接 小结1. 截面法是受力