概率4修改课件

1、第四章 随机变量的数字特征1 数学期望2 方差3 协方差与相关系数4 矩 随机变量的概率分布反映了随机变量的统计规律性，但是在实际问题中，要确定一个随机变量的分布不是一件容易的事情在许多情况下，并不需要求出随机变量的分布，只须知道从不同角度反映随机变量取值特征的若干个数字就够了，这些数字就称为随机变量的数字特征 例 考察一射手的水平, 既要看他的平均环数是否高, 还要看他弹着点的范围是否小, 即数据的波动是否小. r.v.的平均取值 数学期望 r.v.取值平均偏离均值的情况 方差 描述两 r.v.间的某种关系的数 协方差与相关系数本章内容1.1离散型随机变量的数学期望 例1.1 一台机床加工某

2、种零件,已知它加工出优质品、合格品和废品的概率依次为0.2、0.7和0.1如果出售优质品和合格品，每一个零件可分别获利0.40元和0.20元;如果加工出一件废品则要损失0.10元.问这台机床每加工出一个零件，平均可获利多少元？ 解 以X表示加工出一个零件所获得的利润,则X的分布律为1 数学期望 X 0.10 0.20 0.40 P 0.1 0.7 0.2 现假设该机床加工 个零件，其中废品 件，合格品件，优质品 件，这里 . 则这 个零件可以获得总利润为 其中 ， 和 分别是事件 、 和 出现的频率.当 很大时， ， 和 分别接近于0.1, 0.7和0.2。 X 0.10 0.20 0.40

3、P 0.1 0.7 0.2平均每个零件可获利为 于是可以期望该机床加工出的每一个零件所获得的平均利润为 （元）. 定义1.1 设离散型随机变量X 的分布律为则称 （要求此级数绝对收敛） 设连续型随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) , 则称 为X 的数学期望(或均值)（要求此积分绝对收敛)数学期望的本质 加权平均 ,它是一个数不再是 r.v. .为 X 的数学期望(或均值) 例1.2 设X服从参数为p的(01)分布,求X的数学期望解 X 的分布律为X 0 1P 1 p p例1.3 设 ，求 解 X 的分布律为例1.4 设 ，求 .解 X 的分布律为例1.5 设 X 参数为 p 的几何分布

4、，求E ( X ).解 X 的分布律常见离散型r.v.的数学期望分布期望概率分布参数为p 的 （0-1）分布pB(n,p)np参数为 p 的几何分布 例1.6 已知10件产品中有2件次品，求任意取3件中次品数的数学期望 解 以 X 表示任取3件中次品的个数，可取值为0, 1, 2，其分布律为 例1.7 设X在 a, b上服从均匀分布，求 E(X)解 X 的概率密度为例1.8 设 X 服从参数为 的指数分布，求E(X ) 解 X 的概率密度为例1.9 设 ，求 解 X 的概率密度为分布期望概率密度区间(a,b)上的均匀分布参数为 的指数分布N( , 2)常见连续型r.v.的数学期望 1.2 随机

5、变量的函数的数学期望 定理1.1 设随机变量 Y 是随机变量 X 的函数:Y=g( X ).（1）若X为离散型r.v. ,概率分布为（2）若X为连续型r.v. ，其概率密度为f ( x )，如果广义积分如果 绝对收敛，则随机变量 的数学期望是 绝对收敛，则随机变量 的数学期望是注：求随机变量的函数的数学期望方法（1） 先求随机变量 Y 的分布,再求数学期望（不常用）.（2） 直接应用定理1.1（常用）。 例1.10 设X的分布律为 X 2 1 0 1/2 1 P 1/6 1/3 1/4 1/12 1/6求 , . 解例1.11 设 ，求 解例1.12 设X在区间(0, a)上服从均匀分布，求

6、的数学期望.解 X 的密度为 则 例1.13 设 X 的概率密度为，求 ,解 定理1.2 设随机变量Z是 X、Y 的函数Z=g (X, Y)，（2）若( X,Y)为二维连续型随机变量,联合概率密度为（1）若(X, Y)为二维离散型随机变量，联合分布律为如果 绝对收敛，则随机变量Z 的数学期望是则随机变量Z 的数学期望是f (x, y) ，如果 绝对收敛，例1.14 设( X, Y )的联合密度为求 E( X )、 E( XY ) 解例1.15 设 (X ,Y ) N (0,1;0,1;0), 求的数学期望.解 例1.16 设X N (0,1), Y N (0,1), X ,Y 相互独立，求E

7、(max X ,Y ) . D1D2解1.3 数学期望的性质设 C 为常数, 和 都存在。 性质1 E (C ) = C 性质2性质3 证 只证明连续型随机变量情形 ，离散型的证明从略 设 ( X, Y )的概率密度为 f (x, y)，则有分别为f X ( x ) 、 f Y( y ) .则有f ( x, y ) = f X ( x ) f Y( y ) ,于是性质4 若X、Y 相互独立，则 E( XY ) = E( X ) E( Y ) 证 只对连续型加以证明 设 ( X, Y ) 的联合密度为f ( x, y ), 关于 X、Y 的边缘密度注： 若E (X Y ) = E (X )E (

8、Y )，X ,Y 不一定独立。反例但 解例1.17 设 X 与 Y 独立， 求 注 不是所有的 r.v.都有数学期望例如 柯西(Cauchy)分布的密度函数为但发散它的数学期望不存在! 2.1 方差及其计算公式1 方差 引例 甲、乙两射手各打了6 发子弹,每发子弹击中的环数分别为：甲 10, 7, 9, 8, 10, 6, 乙 8, 7, 10, 9, 8, 8, 问哪一个射手的技术较好？解 首先比较平均环数甲 = 8.3,乙 = 8.3再比较稳定程度甲：乙：乙比甲技术稳定，故乙技术较好.进一步比较平均偏离平均值的程度甲：乙： 定义2.1 D(X)=EXE(X)2 称为随机变量 X 的方差.称

9、 为 X 的均方差或标准差. 注：D(X ) 描述 r.v. X 的取值偏离平均值的平均偏离程度，是一个数值。方差的计算公式 1设 X 为离散型随机变量，分布律为则 2设 X 为连续型随机变量，概率密度为f (x), 则3证例2.1 设 X 服从参数为 p 的( 0 1)分布，求D( X ) 解 X 0 1 p 1 p pE( X ) = p ,例2.2 设 ，求D( X )解例2.3 设X B( n , p)，求D(X ).解E(X)=n p例2.4 设X 参数为 p 的几何分布，求D( X ).解例2.5 设 X 在 a , b上服从均匀分布，求D( X ) 解例2.6 设 X 服从参数为

10、 的指数分布，求 D( X ) 解例2.7 设 ，求D( X ) 解常见随机变量的方差分布方差概率分布参数为p 的 （0-1）分布p(1-p)B(n,p)np(1-p) ()参数为 p 的几何分布分布方差概率密度区间(a,b)上的均匀分布N(, 2)参数为 的指数分布2.2 方差的性质性质1 设 C 为常数，则 D(C ) = 0证性质2证性质3证性质4若X 与Y 相互独立，则有证若X 与Y 相互独立，则性质5 随机变量X的方差D(X)=0的充分必要条件是：X以概率1取常数C=E(X),即注 X恒取常数例2.3 设X B( n , p)，求D(X ).解一 前面已求解。故解二 引入随机变量相互

11、独立，且例2.8 设 X 与 Y 相互独立， ， ，求解 例2.9 已知X ,Y 相互独立, 且都服从N (0,0.5), 求 E( | X Y | ).故解例2.10 已知 X 的 概率密度为其中 A ,B 是常数，且 E (X ) = 0.5. 求(1) A ,B. (2) 设 Y = X 2, 求 E (Y ), D (Y ).解 (1)(2)2.3 标准化随机变量为 X 的标准化随机变量.显然， 例2.11 设 相互独立，并且具有相同的期望与方差 ， ，求 ， ，解 设随机变量X的期望E(X )、方差D(X )都存在, 且D(X ) 0, 则称（1）仅知r.v.的期望与方差并不能确定其

12、分布P -1 0 1 0.1 0.8 0.1P -2 0 20.025 0.95 0.025有相同的期望方差但是分布却不相同例如注 （2）在已知某些分布类型时,若知道其期望和方差,便常能确定分布. 例如 已知 X 服从正态分布, E(X ) = 1.7, D(X ) = 3, Y =1 2 X , 求Y 的密度函数.解性质23 协方差与相关系数3.1 协方差 定义3.1 称 为X 与Y的协方差，记作易得协方差性质性质1性质3例3.1 设 求解 因为 所以 又由例1.11，于是，3.2 相关系数 定义3.2 若D (X ) 0, D (Y ) 0 , 存在，则称为 X 与 Y 的相关系数。记为若

13、称 X ,Y 不相关.相关系数的性质性质1 因此注证 由柯西许瓦兹不等式 可得性质3 若 X 与 Y 相互独立，则性质4 的充分必要条件是：存在常数 a, b,使得X , Y 不相关X ,Y 相互独立X , Y 不相关等价命题：注表明X与Y之间以概率1存在线性关系。较大表明X与Y之间线性相关程度较好。较小表明X与Y之间线性相关程度较差。表明X与Y不相关。不相关是就线性关系而言，相互独立时就一般关系而言的。 例3.2 设二维随机变量 ( X, Y )的概率分布为 X Y 1 0 1 -1 1 / 8 1 / 8 1 / 8 0 1 / 8 0 1 / 8 1 1 / 8 1 / 8 1 / 8证

14、明 X 与 Y 不相关，但 X 与 Y 不相互独立 证( X, Y )关于X 和Y 的边缘分布为X 1 0 1P 3 / 8 2 / 8 3 / 8 Y 1 0 1 P 3 / 8 2 / 8 3 / 8 于是有因此 ，即 X 与 Y 不相关由于所以 X 与 Y 不相互独立例3.3 设 ( X,Y ) 的联合概率密度为验证 X 与 Y 不相关，但不相互独立解同理于是因此 ，即 X 与 Y 不相关例3.3 设 ( X,Y ) 的联合概率密度为验证 X 与 Y 不相关，但不相互独立解所以 X 与Y 不相互独立.例3.4 设 ( X ,Y ) N ( 1,12;2,22 ; ), 求XY 解则X ,Y 相互独立X ,Y 不相关若 ( X ,Y ) N ( 1, 12, 2, 22, ),注4 矩4.1 原点矩和中心矩 定义4.1 设X与Y是两个随机变量,称E(Xk)为X的k阶原点矩; 称EX E( X ) k 为X的 k 阶中心矩；称E( X k Y l ) 为X与Y 的 k + l 阶混合原点矩；称 EXE( X ) k YE( Y ) l为X与Y 的 k + l 阶混合中心矩注 E( X )是X的1阶原点矩。D( X )是