数值分析 第一章 基础知识资料

1、数值(shz)分析Numerical Analysis任课教师：任国彪rengbQQ:1336648313525524413Department of Mathematics of Zhengzhou University（郑州大学数学系）23/jzyusername: yan2015password: yan2015郑州大学硕士研究生课程（2014-2015学年第一(dy)学期） 共七十七页2/76 郑州大学2014-2015学年硕士研究生课程(kchng) 数值分析 Numerical Analysis计算的目的不在于数据，而在于洞察(dngch)事物。 理查德哈明The purpose

2、of computing is insight，not numbers. RichardWesleyHamming理查德哈明美国工程院院士,1968年图灵奖得主。共七十七页3/76 郑州大学2014-2015学年硕士(shush)研究生课程 数值分析 Numerical Analysis课程主题 讨论如何构造高效适用的计算机数值算法，来解科学与工程中的数值计算问题(wnt)。课程内容 各类数值算法的构造、理论评价及程序实现。 各应用学科的共性问题共七十七页4/76 郑州大学2014-2015学年(xunin)硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis算法和误差分析；数据代数

3、插值；数据拟合；数值微分和数值积分；解线性代数方程组的直接法和迭代法；非线性方程和非线性方程组解法(ji f)；常微分方程初值问题的数值解法；计算工具C/Matlab和Mathematica；课程主要内容共七十七页5/76 郑州大学2014-2015学年硕士研究生课程 数值(shz)分析 Numerical Analysis微积分和常微分方程；线性代数；数值计算(j sun)程序设计 （C/Matlab和Mathematica） 预备知识共七十七页6/76 郑州大学2014-2015学年(xunin)硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis参考(cnko)教材教材李庆扬,

4、王能超,易大义.数值分析(第五版).北京:清华大学出版社,2008 李清善，宋士仓. 数值方法. 郑州：郑州大学出版社，2007.参考资料1.关治，陈景良. 数值计算方法. 北京：清华大学出版社，1990.2.周铁，徐树方等. 计算方法. 北京：清华大学出版社，2006.3.徐翠微，孙绳武. 计算方法引论. 北京：高等教育出版社，2005.4.John H.Mathews, Kurtis D.Fink. 数值方法(MATLAB版). 北京：电子 工业出版社，2005.5.徐士良. 数值分析与算法. 北京：机械工业出版社，2007.6.葛哲学.精通Matlab.北京：电子工业出版社，2008.7

5、.任玉杰.数值分析及其MATLAB实现.北京：高等教育出版社,2007.共七十七页7/76 郑州大学2014-2015学年(xunin)硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis课程(kchng)教学活动和计划 周次课次 课时 教学内容 备注 2周二 3课时 第一章 基础知识 3周二3课时第二章 代数插值14周二 3课时第二章 代数插值25周二3课时第三章 数据拟合的最小二乘法16周二3课时第三章 数据拟合的最小二乘法27周二3课时第四章 数值微分与数值积分18周二3课时第四章 数值微分与数值积分29周二3课时习题课10周二3课时第五章 解线性代数方程组的直接法111周二3

6、课时第五章 解线性代数方程组的直接法21.8.1 教学内容时间安排共七十七页8/76 郑州大学2014-2015学年硕士研究生课程(kchng) 数值分析 Numerical Analysis课程(kchng)教学活动和计划 周次课次 课时 教学内容 备注 12周二 3课时 第六章 解线性代数方程组的迭代法113周二3课时第六章 解线性代数方程组的迭代法214周二 3课时第七章 非线性方程的数值解法115周二3课时第七章 非线性方程的数值解法216周二3课时第八章 常微分方程初值问题数值解法117周二3课时第八章 常微分方程初值问题数值解法218周二3课时习题课19周二3课时总复习1.8.1

7、教学内容时间安排注：数值算法演示主要用Matlab和C语言实现，有时采用Mathematica实现。课后实验题可用任何一种计算工具完成。共七十七页9/76 郑州大学2014-2015学年硕士研究生课程 数值(shz)分析 Numerical Analysis课程(kchng)教学活动和计划 1.8.1 电子教案和课后习题请登录163邮箱 账户： 密码：zzumoe2014(请不要修改)下载电子教案、算法实现代码及课后习题。 1.每周周一上传本周课程电子教案，每周周三上传本周课程的算法实现代码。每章学习完成上传本周习题。 2.请结合教材及电子教案课前预习教学内容，课后及时复习并调试算法代码，完成

8、习题。 共七十七页10/76 郑州大学2014-2015学年硕士研究生课程 数值(shz)分析 Numerical Analysis第一章 基础知识 1.1 计算第三种科学(kxu)方法1.2 计算机算法及其评价 1.3 浮点数系1.4 误差的基本概念 1.5 数值算法的稳定性 1.6 计算工具 1.7 参考教材1.8 课程教学活动和计划 共七十七页11/76 郑州大学2014-2015学年硕士(shush)研究生课程 数值分析 Numerical Analysis1.1 计算(j sun)第三种科学方法 “当今，科学活动可分为三种:理论、实验和计算。定义计算科学最好是通过比较它的核心活动和实

9、验及理论的核心活动。试验科学家从事于测量和设计科学设备及利用这些设备去进行测量，致力于可控、可重复试验的设计以及分析这些试验的误差；理论科学家研究实验数据之间的关系、这些关系满足的原理（如牛顿定律、对称性原理等）及把这些原理运用到具体特殊情形所需的数学概念和技术；计算科学家构造求解科学问题的计算方法，把这些方法软件化，设计和进行试验，分析这些数值试验的误差。他们研究计算方法的数学特征，通过计算揭露所求解科学问题的基本性质和规律。” 诺贝尔奖获得者、计算物理学者Wilson教授共七十七页12/76 郑州大学2014-2015学年硕士(shush)研究生课程 数值分析 Numerical Anal

10、ysis 试验(shyn)方法伽利略Galileo1564-1642理论方法牛顿Newton1643-1727计算方法冯.诺依曼Neumann 1903-19571.1 计算第三种科学方法共七十七页13/76 郑州大学2014-2015学年硕士研究生课程(kchng) 数值分析 Numerical Analysis1.1 计算(j sun)第三种科学方法全球高性能计算机500强（TOP 500）2010.05.31共七十七页14/76 郑州大学2014-2015学年硕士研究生课程 数值(shz)分析 Numerical Analysis1.1 计算第三种科学(kxu)方法2010年6月的Top

11、500()超级计算机排行上，来自中国的超级计算机“星云”以其峰值理论运算能力为2.98 PFlop/s，而Linpack性能则为1.27PFlop/s，位于第35届超算排行榜第二位，这是中国超级计算机在Top500榜单历史上的最高名次。 位列本次Top500第一名的超级计算机是来自Cray的美洲豹“Jaguar”，凭借1.75 PFlop/s(每秒1750万亿次)的计算能力继去年12月份之后再次成为冠军。而值得注意的是，“Jaguar”采用了224162个处理器核心，而名列第二的“星云”则只用了120640个处理器核心。 Top10排名中IBM “Roadrunner” 位列第三，Cray K

12、raken位列第四,而德国的JUGENE凭借IBM蓝色基因位列第五。而从国家角度来看，有7台超级计算机位于美国，欧洲1台，而中国有2台，分别是星云与位于第七的天河一号。 共七十七页15/76 郑州大学2014-2015学年(xunin)硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis 美洲豹Jaguar 美国橡树岭国家实验室 目前，橡树岭国家实验室承担着很多科学计算相关(xinggun)项目，其中包括恶劣天气模拟、星体研究、生物元素研究、新型燃料、聚变以及火山爆发模拟等等。 橡树岭实验室承担着全球首个对极端天气变化的模拟以及全球变暖 的进程等等。 1.1 计算第三种科学方法共七十

13、七页16/76 郑州大学2014-2015学年(xunin)硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis IBM走鹃 美国洛斯阿拉莫斯国家实验室 走鹃超级计算机造价高达1.33亿美元，它由IBM和洛斯阿拉莫斯 (Los Alamos)国家实验室技术人员共同开发和组装。走鹃提供给美国军方使用，其运算速度达到了1.026 petaflop，即每秒钟可进行(jnxng)1026万亿次浮点运算，是全球首个突破千万亿次的超级计算机。 主要用于运算分析美国军方的机密军事数据，如核武器及其他军事战略数据等，并模仿核战争爆发后对人类生存环境的破坏情况。正在做的项目有：纳米技术、核聚变，激光技

14、术、磁重联技术、艾滋病毒研究、暗物质、铜反应和流体动力学等研究。 1.1 计算第三种科学方法共七十七页17/76 郑州大学2014-2015学年硕士(shush)研究生课程 数值分析 Numerical Analysis 曙光魔方 上海超级计算中心位于上海超级计算机中心的曙光5000A首次亮相就让中国的身影再一次跻身(j shn)前十行列。该系统总计拥有30720个计算核心、122.88TB内存，最大性能180.6TFlops，峰值性能233.472TFlops. 据2008年统计，“魔方”上面运行的应用，包括气象预报、生物药物、生命科学、汽车、核电、钢铁、新材料、土木工程、物理、化学、航空、

15、航天、船舶等数十个应用领域。上海市着力发展的九大高新技术产业，如商用飞机、新材料、医药、重大装备、新能源以及电动汽车等六个领域都将依赖高性能计算技术。未来，“魔方”将助力上海国际金融中心建设，为金融机构设计衍生产品、控制风险、提供各种计算解决方案。 1.1 计算第三种科学方法共七十七页18/76 郑州大学2014-2015学年(xunin)硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis MareNostrum巴塞罗那超级计算中心 MareNostrum拥有10240颗处理器，峰值计算速度能够达到每秒94.21万亿次浮点计算。组成MareNostrum的2560台JS21刀片式计

16、算结点占据了大约半个篮球场（120平米）的面积，现在位于西班牙的巴塞罗那超级计算中心。 MareNostrum目前(mqin)的应用相当广泛，包含人类基因的研究、天气预报、药品研究等等领域。 1.1 计算第三种科学方法共七十七页19/76 郑州大学2014-2015学年硕士研究生课程 数值(shz)分析 Numerical Analysis 中国-科学计算 2010年6月的Top500()超级计算机排行中，来自中国的HPC超级计算机有24台，在数量上与德国并列第四位。而Top10中“星云”排名第二，“天河一号”排名第七，中国超算首次进入前两名的行列。计算(j sun)数学方面，我国已故著名学者

17、冯康先生独立于西方学者发展了有限元方法、辛几何算法等重要方法，这些方法现在已经是计算数学中具有核心地位的算法。我国科学家在计算科学和力学、材料工程、化学等学科的交叉领域也做出了诸多贡献。 1.1 计算第三种科学方法共七十七页20/76 郑州大学2014-2015学年硕士研究生课程 数值(shz)分析 Numerical Analysis实际(shj)问题建立数学模型数值分析提出算法程序设计编程上机计算分析结果并对实际问题进行解释说明 在建立了数学模型之后，并不能立刻用计算机直接求解，还必须寻找用计算机计算这些数学模型的数值方，即将数学模型中的连续变量离散化，转化成一系列相应的算法步骤，编制出正

18、确的计算程序，再上机计算得出满意的数值结果。 共七十七页21/76 郑州大学2014-2015学年(xunin)硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis 晶体生长模拟 海浪冲击(chngj)结构物模拟 桥墩受力模拟分子动力学模拟发电机磁场模拟共七十七页22/76 郑州大学2014-2015学年硕士研究生课程(kchng) 数值分析 Numerical Analysis1.2 计算机算法(sun f)及其评价 算法（Algorithm） 是一系列解决问题的清晰指令。也就是说，能够对一定规范的输入，在有限时间内获得所要求的输出。算法特性 有穷性：算法必须保证执行有限步之后结束

19、。 确切性：算法的每一步骤必须有确切的定义。输入：算法有0个或多个输入，以刻画运算对象的初始情况。输出：算法有一个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果。可行性：算法原则上能够精确地运行，而且人们用笔和纸做有限次运 算后即可完成。 共七十七页23/76 郑州大学2014-2015学年硕士研究生课程 数值(shz)分析 Numerical Analysis 1.2 计算机算法(sun f)及其评价 共七十七页24/76 郑州大学2014-2015学年(xunin)硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis例1.2.1 （秦九韶算法(sun f)）设计算法求多项式的值.解：引

20、进记号1.2 计算机算法及其评价 共七十七页25/76 郑州大学2014-2015学年(xunin)硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis可设计如下(rxi)算法：1.2 计算机算法及其评价 请输入多项式阶数(单位:10000):10000请输入自变量x的值:0.0001100000000阶多项式在点0.000100的 取值:100010002.000100秦九韶算法运行时间:0.750000 秒100000000阶多项式在点0.000100的 取值:100010002.000100常规算法运行时间:41.547000 秒Press any key to continu

21、eVC6.0环境C语言编程结果共七十七页26/76 郑州大学2014-2015学年(xunin)硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis 常规(chnggu)方法（用重复乘法计算幂，再把各项相加） 需要次加法和次乘法 秦九韶算法 次加法和次乘法 需要1.2 计算机算法及其评价 共七十七页27/76 郑州大学2014-2015学年(xunin)硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis 1.2 计算机算法(sun f)及其评价 算法的评价指标乘除法与加减法相比花费的CPU时间较多，通常将算法所需要的乘除法的总次数作为计算量大小的尺度。 例如两个n阶矩阵相

22、乘的乘法次数是 , 则称两个n阶矩阵相乘这一问题的时间复杂度为 .共七十七页28/76 郑州大学2014-2015学年硕士(shush)研究生课程 数值分析 Numerical Analysis1.2 计算机算法(sun f)及其评价 例1.2.2 试分析用定义法和消去法计算n阶行列式的时间复杂度。解：n阶行列式的计算需要计算n!项,每项做n-1次乘法,因而用定义计算n阶行列式的时间复杂度为n! (n -1). 消去法的第k步要把第k行的后n+1-k个元素同乘以某个值加到第k+1,k+2,n行相应元素(k=1,2,n-1)，因而消去法的时间复杂度是共七十七页29/76 郑州大学2014-201

23、5学年硕士(shush)研究生课程 数值分析 Numerical Analysis当n=100的时候，可见两种算法在时间复杂度上想去甚远，后者用个人电脑(千兆1G= )只需不到1秒，而前者用千万亿次计算机(每秒1千万亿次浮点运算, )需要约 秒，需要的时间太长已经(y jing)使得计算失去了意义。1.2 计算机算法及其评价 共七十七页30/76 郑州大学2014-2015学年(xunin)硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis当前计算机的加减运算(yn sun)和乘除运算(yn sun)的速度相差甚微，因此有人提出将算法的所有运算次数的总和作为时间复杂度的度量。现代计

24、算机的运算速度已经远远高于数据的传输速度，这使得一个算法实际运行的快慢在很大程度上依赖于该算法实现后数据传输量的大小，这一点对并行算法尤其重要。 1.2 计算机算法及其评价 如果时间复杂度对问题的大小n来说是多项式级(例如 )，则称问题是可计算的，否则称为不可计算的。一个问题可能有多种算法，达到算法复杂性下界的算法称为最优算法。共七十七页31/76 郑州大学2014-2015学年硕士研究生课程 数值(shz)分析 Numerical Analysis1.3 浮点数系 所有的数值算法将要在计算机上执行，因而需要了解实数在计算机中是如何(rh)表示的。在一台典型的计算机中，每个数是由有限位二进制数

25、字组成，实际上是用实数系R的一个离散子集来表示所有实数。 共七十七页32/76 郑州大学2014-2015学年硕士研究生课程(kchng) 数值分析 Numerical Analysis1.3 浮点数系 在IBM 3000系列计算机中，单精度浮点数(float)由32位二进制数字表示(biosh)，其中 它表示如下形式的数其中7位二进制数字的阶，范围是0127，但对每个阶将自动减去64，因此阶的实际范围是-6463. 称(1.3.1)表示了一个浮点数系。共七十七页33/76 郑州大学2014-2015学年硕士研究生课程(kchng) 数值分析 Numerical Analysis考虑机器数 的

26、正负指示符是0,表示 是正数。接着7位是1000 010是阶，转换成十进制是最后24位数表示尾数(wish)，等价于因此，机器数 精确表达的十进制数是1.3 浮点数系 共七十七页34/76 郑州大学2014-2015学年硕士(shush)研究生课程 数值分析 Numerical Analysis和实数系不同，在浮点数系(1.3.1)中，可以(ky)找到比 大的相邻数c和比小的相邻数b 这意味着实数在浮点数系(1.3.1)中表示的时候，位于区间 上的实数并不能得到准确描述。实际上，区间内的任何一个实数都是用 来表示的。 1.3 浮点数系 共七十七页35/76 郑州大学2014-2015学年硕士研

27、究生课程(kchng) 数值分析 Numerical Analysis为保证表示的唯一性，要求每个机器数在尾数的最左四位中至少有一个(y )位是1. 因此，在浮点数系(1.3.1)中，最小的正机器数是而最大的正机器数是在计算中，出现量级小于 的数的状况称为下溢，这时一般由将该数置为零；出现量级大于 的数的状况称为上溢，这种状况导致计算停止。 1.3 浮点数系 共七十七页36/76 郑州大学2014-2015学年硕士研究生课程(kchng) 数值分析 Numerical Analysis1.3 浮点数系 对计算机而言，凡是在机器数系量级范围内的实数，除了部分是机器数外，大部分是由最相近的机器数为

28、近似值。 因此，实数在计算机中一般为近似值，这种近似值是通过数制转换，并依据机器字长及确定的舍入规则(guz)产生的。由此而产生的误差称为舍入误差。 实际上，在实数的输入、计算、输出等每一个环节都有舍入误差产生。目前的机器字长能够保证舍入误差足够小，不会影响大部分科学和工程计算的精确度。共七十七页37/76 郑州大学2014-2015学年硕士(shush)研究生课程 数值分析 Numerical Analysis1.4 误差(wch)的基本概念 误差的来源误差来自应用计算手段解决实际问题的各个环节。建立数学模型设计计算算法算法机器实现数值结果分析算法设计编码计算数学模型结果分析误差共七十七页3

29、8/76 郑州大学2014-2015学年硕士研究生课程 数值(shz)分析 Numerical Analysis 模型误差 /* Modeling Error */ 从实际问题(wnt)中抽象出数学模型时产生的误差 观测误差 /* Measurement Error */ 通过测量得到模型中参数的值 导致输入数据的 误差 方法误差 (截断误差 /* Truncation Error */ ) 近似求解时产生的误差 舍入误差 /* Roundoff Error */ 由于计算机字长有限而在数值运算的每一步所产生的误差共七十七页39/76 郑州大学2014-2015学年硕士研究生课程(kchng)

30、 数值分析 Numerical Analysis1.4 误差(wch)的基本概念 例1.4.1 设一根铝棒在温度t时的实际长度为 ,在t=0时的实际长度为 .如果假定铝棒的单位长度增长量与温度成正比，得到如下数学模型其中 表示铝棒在温度t时的长度（理论长度）， 是通过试验观测到的常数, 则称 为此模型的模型误差，而 是比例系数 的观测误差。1.4.1 误差的类型共七十七页40/76 郑州大学2014-2015学年(xunin)硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis1.4 误差(wch)的基本概念 例1.4.2 对给定的数 ，计算 的值.解：由幂级数展开式取前面有限n+1

31、项来近似计算，可得称 为此算法的截断误差（方法误差）。 1.4.1 误差的类型共七十七页41/76 郑州大学2014-2015学年(xunin)硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis1.4 误差(wch)的基本概念 误差的类型总结 1.4.1 误差的类型共七十七页42/76 郑州大学2014-2015学年硕士(shush)研究生课程 数值分析 Numerical Analysis1.4 误差(wch)的基本概念 1.4.2 误差和有效数字 定义1.4.1 设 是某个量的准确值， 为其近似值，称 为近似值 的绝对误差。 如果 ，则称 为近似值 的绝对误差限。 定义1.4.

32、2 称 为近似值 的相对误差。 在实际计算时，也将 作为近似值 的相对误差。如果 或 ，则称 为近似值 的相对误差限。 共七十七页43/76 郑州大学2014-2015学年(xunin)硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis1.4 误差(wch)的基本概念 1.4.2 误差和有效数字 例1.4.3 用最小刻度为毫米的直尺测量桌子长度，读数为1235mm. 设桌子的准确长度为 ,而其近似值为 则近似值的绝对误差限为0.5(mm),记为共七十七页44/76 郑州大学2014-2015学年硕士(shush)研究生课程 数值分析 Numerical Analysis1.4 误差

33、(wch)的基本概念 1.4.2 误差和有效数字 万有引力常数 真空中光速 普朗克常数 电子的基本电荷 电子的静质量 常用物理量的取值范围共七十七页45/76 郑州大学2014-2015学年硕士研究生课程 数值(shz)分析 Numerical Analysis1.4 误差(wch)的基本概念 1.4.2 误差和有效数字 定义1.4.3 设实数 的近似值为 其中每个 是 中的一个数字，且 如果 的绝对误差满足就称用 近似 时具有n位有效数字，或者说 准确到该位。共七十七页46/76 郑州大学2014-2015学年(xunin)硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis1.4

34、 误差(wch)的基本概念 1.4.2 误差和有效数字 圆周率的近似值和有效数字 有效数字n 3位 5位 6位 共七十七页47/76 郑州大学2014-2015学年硕士(shush)研究生课程 数值分析 Numerical Analysis练习:设 x1=1.73, x2=1.7321, x3=1.7320是其近似值,问它们分别有几位有效数字?3位5位4位共七十七页48/76 郑州大学2014-2015学年硕士研究生课程(kchng) 数值分析 Numerical Analysis有效数字与相对误差(xin du w ch)的关系 有效数字 相对误差限已知 x* 有 n 位有效数字，则其相对误

35、差限为 相对误差限 有效数字已知 x* 的相对误差限为则可见 x* 至少有 n 位有效数字。共七十七页49/76 郑州大学2014-2015学年硕士研究生课程(kchng) 数值分析 Numerical Analysis初始数据 引起计算函数值的误差1、函数(hnsh)值 A*的绝对误差略去高阶项：1.4 误差的基本概念 1.4.3 误差的累积共七十七页50/76 郑州大学2014-2015学年(xunin)硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis 问题(wnt)： 2、函数值 A*的相对误差引起A 的很大误差病态问题、坏条件问题共七十七页51/76 郑州大学2014-2

36、015学年(xunin)硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis3、初始数据误差(wch)与计算结果误差(wch)之间的关系共七十七页52/76 郑州大学2014-2015学年硕士(shush)研究生课程 数值分析 Numerical Analysis3、初始数据误差(wch)与计算结果误差(wch)之间的关系共七十七页53/76 郑州大学2014-2015学年硕士(shush)研究生课程 数值分析 Numerical Analysis1.4 误差(wch)的基本概念 1.4.3 误差的累积定理1.4.1 设 是 的近似值， 是 的近似值，则 的绝对误差界是 的绝对误差界

37、是当 且 时， 的绝对误差界是共七十七页54/76 郑州大学2014-2015学年硕士研究生课程(kchng) 数值分析 Numerical Analysis1.4 误差(wch)的基本概念 1.4.3 误差的累积定理1.4.2 设 是 的近似值， 是 的近似值，则 的相对误差界是 的相对误差界是当 且 时， 的相对误差界是共七十七页55/76 郑州大学2014-2015学年(xunin)硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis1.4 误差(wch)的基本概念 1.4.3 误差的累积例1.4.4 计算 并估计误差，其中原始数据的误差界为解：由定理1.4.1可得可见计算结果

38、 有三位有效数字。(?)共七十七页56/76 郑州大学2014-2015学年硕士(shush)研究生课程 数值分析 Numerical Analysis1.4 误差(wch)的基本概念 1.4.3 误差的累积定理1.4.3 设 是 的近似值，函数 在包含 和 的区间上有足够阶的导数，且 与 相比不太大，则有共七十七页57/76 郑州大学2014-2015学年硕士研究生课程 数值(shz)分析 Numerical Analysis1.4 误差(wch)的基本概念 1.4.3 误差的累积例1.4.5 设 求 的误差解：因为 ,则有定理1.4.3可知共七十七页58/76 郑州大学2014-2015学

39、年硕士(shush)研究生课程 数值分析 Numerical Analysis4、推论(tuln)1.在乘、除、开方运算时，问题数据的相对误差对计算结果 的相对误差影响不大。2.尽量避免两相近数的减法运算。3.不宜用绝对值很小的数做除数.当x 与 y 同号且 x y 0 时，由公式 ( f ) 至少有一个绝对值大于1 x y 时 , 至少有一个的绝对值很大y很小时,很大共七十七页59/76 郑州大学2014-2015学年硕士(shush)研究生课程 数值分析 Numerical Analysis1.4 误差(wch)的基本概念 1.4.4 数值计算基本原则.避免两个相近的数相减。 由定理1.4

40、.2可见，若两个相近的数相减，相对误差会很大。这是因为二者前面的有效数字相同，相减以后有效数字位数严重减少。例如当充分大时应变换来进行运算。共七十七页60/76 郑州大学2014-2015学年硕士研究生课程(kchng) 数值分析 Numerical Analysis1.4 误差(wch)的基本概念 1.4.4 数值计算基本原则.两个相差很大的数进行运算，要防止大数“吃掉”小数。调整运算次序可以避免这种情况发生。 例如 则有在计算 时由于对阶 将 “吃掉了”， .共七十七页61/76 郑州大学2014-2015学年硕士(shush)研究生课程 数值分析 Numerical Analysis1.

41、4 误差(wch)的基本概念 1.4.4 数值计算基本原则例1.4.6 在8位十进制的机器上解方程利用求根公式而方程的根是 和1，即 错误。这是因为在 的计算式子中，分子遇到两个相近的数相减。使用求根的韦达公式 可以避免这种情况。共七十七页62/76 郑州大学2014-2015学年硕士研究生课程(kchng) 数值分析 Numerical Analysis1.4 误差(wch)的基本概念 1.4.4 数值计算基本原则.尽量简化计算步骤，不但可以节约解题的时间，还能减少舍入误差。.避免被除数的绝对值远远大于除数绝对值的除法。这有可能导致上溢，也会增大原有的误差 共七十七页63/76 郑州大学20

42、14-2015学年硕士研究生课程 数值(shz)分析 Numerical Analysis1.5 数值(shz)算法的稳定性 一个算法，如果在执行它的过程中，舍入误差可以在一定条件下得到控制，从而不影响算法得到可靠的结果，则称它是数值稳定的。否则称之是不稳定的。如果对输入数值的微小误差，经过某个算法的运算，输出结果产生了较大变化，则称算法是病态的；否则称算法是良性的。共七十七页64/76 郑州大学2014-2015学年硕士(shush)研究生课程 数值分析 Numerical Analysis1.5 数值(shz)算法的稳定性 例1.5.1建立一个算法来计算积分解：注意到两边在区间0,1上积分

43、可得从而可得迭代递推格式共七十七页65/76 郑州大学2014-2015学年硕士研究生课程(kchng) 数值分析 Numerical Analysis1.5 数值(shz)算法的稳定性 按照以上关系编程计算可得 n= 0 积分值I(n)= 1.000500e-003 n= 1 积分值I(n)= 5.001673e-004 n= 2 积分值I(n)= 3.328343e-004 n= 3 积分值I(n)= 8.318346e-004 n= 4 积分值I(n)= -5.810028e-001 n= 5 积分值I(n)= 5.806218e+002 n= 6 积分值I(n)= -5.800410e

44、+005共七十七页66/76 郑州大学2014-2015学年硕士(shush)研究生课程 数值分析 Numerical Analysis1.5 数值(shz)算法的稳定性 计算结果可靠码？首先当 ，所以因此 是单调递减收敛于0的数列，因此计算结果严重错误。产生计算谬误的原因是： 如果 ，则计算 时产生999倍 的误差，计算 时产生 倍 的误差，误差的传播像洪水冲破闸门一样泛滥成灾！可见以上的算法是病态和不稳定的。共七十七页67/76 郑州大学2014-2015学年硕士研究生课程(kchng) 数值分析 Numerical Analysis1.5 数值(shz)算法的稳定性 我们可以改变以上格式

45、，取按照以上关系编程计算可得 n= 0 积分值I(n)= 1.000500e-003 n= 1 积分值I(n)= 5.001668e-004 上限1/n =1.000000 n= 2 积分值I(n)= 3.334167e-004 上限1/n= 0.500000 n= 3 积分值I(n)= 2.500500e-004 上限1/n =0.333333 n= 4 积分值I(n)= 2.000333e-004 上限1/n =0.250000 n= 5 积分值I(n)= 1.666905e-004 上限1/n= 0.200000 n= 6 积分值I(n)= 1.428750e-004 上限1/n =0.

46、166667算法是稳定的舍入误差得到良好的控制 共七十七页68/76 郑州大学2014-2015学年硕士研究生课程 数值(shz)分析 Numerical Analysis1.6 计算(j sun)工具 本书涉及的数值算法已由前人用各种编程语言实现，它们经历了数十年的考验和无数专业人士的调试、优化，是成熟、可靠的。在今后的学习和工作中，我们完全可以利用这些已有的算法库减轻编程负担，提高工作效率。可以将主要精力放在对问题的描述和对计算结果的分析上面，而把繁琐的算法实现和优化细节交给现成的科学计算与工程软件/库来处理。然而，在应用中要想准确的选择及灵活使用已实现的各种算法，必须对该算法的数学理论有

47、透彻的了解，并根据自己的课题做取舍。这也是工科各专业研究生学习本课程的切入点和动因。共七十七页69/76 郑州大学2014-2015学年硕士研究生课程 数值(shz)分析 Numerical Analysis数学软件包：针对某一类数值计算问题的子程序集，大部分为自由软件。常用的数学软件包有：( ,/petsc)LAPACK(Linear Algebra PACKage),它是用于求解线性代数方程组、线性最小二乘问题和矩阵特征值问题的Fortran77子程序包；ITPACK，它是用于迭代求解大型(dxng)稀疏线性代数方程组的Fortran77子程序包；1.6 计算工具 共七十七页70/76 郑

48、州大学2014-2015学年(xunin)硕士研究生课程 数值分析 Numerical AnalysisMINPACK，它是用于求解非线性方程组和非线性最小二乘问题的Fortran77子程序包；FITPACK,它是用于解决曲线和曲面拟合、数值微积分问题的Fortran77子程序包；ODEPACK,它是用于求解常微分方程问题的Fortran77子程序包；PETSc，它是求解偏微分方程问题的并行计算C程序包，而且还具有(jyu)计算性能分析和图形可视化功能，主要用于在超级计算机上求解大规模问题。 1.6 计算工具 共七十七页71/76 郑州大学2014-2015学年硕士(shush)研究生课程 数值分析 Numerical Analysis数学软件库：面向各类数值计算问题的子程序集，一般是由软件公司在一些优秀数学软件包的基础上进一步开发和包装而产生(chnshng)的。目前常用的数学软件库有：NAG，是由NAG(Numerical Algorithms Group)公司开发的数值计算和统计算法的Fortran和C程序库，可以在各种硬件平台使用。()NR,是与数值计算领域中的经典工具书Numerical Recipes一起发布的Fortran/C+语言数值计算程序库。()SL