数学建模周讲座(应正卫2014-6-20)

1、指导(zhdo)教师：应正卫 电话：139 7005 0237QQ: 22307 29699 数学(shxu)建模 简介共六十页 有下列情况会导致(dozh)课程 挂科(1) 理论课缺课；(2) 未按时交论文；(3) 抄袭他人论文或被他人抄袭；(4) 论文为不超过3人合作完成， 否则课程挂科（超过3人）。共六十页数学具有超越民族和时空的尺度(chd)。数学可能高傲地直达星宿，也可能谦恭地为市场服务。 H.W.邓博 共六十页知识(zh shi)能力力量 缺乏(quf)知识的能力是低层次的能力, 缺乏能力的知识是僵死的知识。 大百科全书式的知识积累，如果缺乏转化到应用中去的能力，仅仅是百科全书而已

2、。 因此，强调培养“应用能力”是本课程的主要特点。共六十页本课程(kchng)着重于如下能力的培养:1.培养实际问题(wnt)与数学问题(wnt)之间的 “双向翻译”能力。2.培养灵活而恰当地应用数学知识， 创造性地解决问题的能力。 3.培养敏锐的对问题本质的洞察能力4.培养计算机的应用能力。共六十页教学内容一、论文(lnwn)书写格式与要求二、 什么是数学模型三、 数学建模的一般步骤四、 案例分析共六十页一、论文格式摘要 建模方法 主要结果(ji gu)问题重述假设符号设定问题分析建立模型及求解模型检验参考文献 A4纸打印(d yn) 封面不要彩页 正文为宋体共六十页 数学建模周论文格式规范

3、 将论文用word文档或pdf文件储存。 每篇论文总页数控制在25页之内。 论文第一页为封面，使用统一(tngy)封面样式，A4大小。 论文的第二页必须是论文摘要，用单独一页书写，放在封面后正文前。 共六十页 论文(lnwn)第三页开始是论文正文。 论文从第二页（摘要）开始编写页码，页码必须位于每页右下角。 论文题目用初号或1号黑体字、一级标题用4号黑体字，并居中。论文中其他汉字一律采用小4号黑色宋体字，行距用单倍行距。共六十页论文(lnwn)递交时间: 2014年6月24日 (星期二) 下午2:00-5:00地址：班长统一交至 核工楼 1 2 0 3共六十页参考资料：共六十页二、 什么(sh

4、n me)是数学模型 例1 航行(hngxng)问题 甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?初中生就能解决的问题！共六十页解：用x表示(biosh)船速，用y表示水速，列出方程：答：船速每小时(xiosh)20千米.共六十页 例2 流水(lishu)问题 一只装满水的圆柱型桶，底半径(bnjng)为1米，高为2米，底部有一直径为0.1米的洞。问桶流空要多少时间？共六十页分析(fnx)由流体力学中的托里(tu l)拆利定律知：忽略摩擦引起的能量损失，则在一个t时间区间内，水面降低减少的势能应等于等量的水流出小洞的动能。即在任意时刻共六

5、十页 设A为桶的水平(shupng)截面积，B为洞的水平截面积，h为桶内水的高度，s为由洞口流出的水柱的长度，则有AdhBds一阶微分方程(wi fn fn chn)共六十页方程(fngchng)的求解答：桶中水流(shuli)完约需要4.3分钟。共六十页 数学模型是对于一个特定的对象，为了一个特定的目标，根据(gnj)事物的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。共六十页“特定的对象”表明了数学模型的应用性，即它是为解决某个实际问题而提出的（桶中的水）。 “特定的目的”表明了它的功能性，即当研究(ynji)一个特定对象时，不是笼统地研究该对象的方方面面，而是

6、为实现特别的功能而研究的（水流完的时间）。共六十页 “必要的简化假设(jish)”表明了数学模型的抽象性。 从繁杂的现象中将那些最本质的因素提炼出来(ch li)，忽略次要因素。 一个因素是否可忽略，须依建模目的而定。例如考虑炮弹射程时可忽略地球自转因素，但洲际导弹则必须考虑此因素。共六十页“运用适当的数学工具，得到数学结构(jigu)”表明了数学模型的数量性。“数学结构”可以是数学公式、算法、表格、图示等。它体现(txin)了数学模型不同于其他模型，是一种用数学语言表达的定量化的抽象模型。共六十页 数学模型的桥梁(qioling)作用 每个工程技术人员 应成为(chngwi)架设这座桥梁的工

7、程师 共六十页数学模型的分类(fn li)应用领域人口、交通、经济(jngj)、生态 数学方法初等数学、微分方程、规划、统计 表现特性描述、优化、预报、决策 建模目的了解程度白箱灰箱黑箱确定和随机静态和动态线性和非线性离散和连续共六十页三、数学(shxu)建模的一般步骤 建立数学模型与其说是一门(y mn)技术，不如说是一门艺术。成功建立一个好的模型，就如同完成一件杰出的艺术品，是一种复杂的创造性劳动。正因为如此，这里介绍的步骤只能是一种大致上的规范。共六十页建立模型(mxng)的大致步骤（五步） 在建模前应对实际背景有尽可能深入的了解，明确所要解决问题的目的和要求，收集(shuj)必要的数据

8、。归纳为：1.模型准备深入了解背景，明确目的要求，收集有关数据。共六十页2. 模型(mxng)假设 在充分消化信息的基础上，将实际(shj)问题理想化、简单化、线性化，紧紧抓住问题的本质及主要因素，作出既合情合理，又便于数学处理的假设。归纳为 充分消化信息， 抓住主要因素， 作出恰当假设。共六十页3. 模型(mxng)建立 用数学语言描述问题。 根据变量类型及问题目标，选择适当 数学工具。 注意模型的完整性与正确性。 模型要充分(chngfn)简化，以便于求解；同时要 保证模型与实际问题有足够的贴近度。正确翻译问题，合理简化模型，选择适当方法。归纳为：共六十页 4. 模型(mxng)求解 就复

9、杂一些的实际问题而言，能得到解析解更好，但更多情形(qng xing)是求数值解。对计算方法与应用软件掌握的程度，以及编程能力的高低，将决定求解结果的优化程度及精度。掌握计算方法，应用数学软件，提高编程能力。归纳为：共六十页5. 模型检验(jinyn)与分析模型建立后，根据需要进行(jnxng)以下检验分析:结果检验： 将求解结果“翻译”回实际问题中， 检验模型的合理性与适用性。敏感性分析： 分析目标函数对各变量变化的敏感性。稳定性分析： 分析模型对参数变化的“容忍”程度。误差分析： 对近似计算结果的误差作出估计。共六十页数学建模是一个(y )迭代的过程一般(ybn)步骤可用流程图表示共六十页

10、四、数学(shxu)建模案例分析例1：贷款买房方案(fng n)的选择 如有一家庭，为了买房需要向银行贷款10万元，已知利率是按月计算,且为复利率。月利率为0.01，贷款期限为25年。问这个家庭每月平均要向银行交款多少？一共付给银行多少钱？如果25年后再开始还款，那时应付给银行多少钱？共六十页复利率：每年(或每月)都结算一次利息， 然后把本金(bnjn)和利息之和作为下一年 (或月) 的本金，即到下一年 (或月) 结算利息时就用这个数字作为本金。1、分析实际(shj)问题；2、模型假设；假设1：25年内银行的利率保持不变。假设2：25内该家庭始终具有还款能力，且不提前还清贷款。共六十页3、符号

11、(fho)设定贷款额 M0=10万元，贷款期限t=25年=300个月，月利率R=0.01，N表示贷款后的第N个月,MN为第N个月末(yum)尚欠银行的钱数，x表示平均每月向银行还款的钱数。 这里x为因变量，N为自变量。共六十页4、模型(mxng)建立；M 0 =100000M 1 = M 0(1+R)-x M 2 = M 1(1+R)-xM N = M N-1(1+R)-x （N=0，1,2,3,300）这就是该家庭(jitng)各月欠银行钱数的数学模型共六十页5、进行模型(mxng)求解；共六十页再赋值得 x=1053.22（元）这样(zhyng)，一共付给银行300 x=31.5966(万

12、元）如果一直等到25年以后再开始还贷款(di kun)，那么应还钱数为:多么可怕的数字！6、根据得到结果进行模型验证。共六十页例2:生产(shngchn)决策 某厂生产某机器，决策者可选择生产10，20，30台，实际需求10台的概率(gil)为p=0.5，需求20台的概率为p=0.3，需求30台的概率为p=0.2，又卖一台获利10万元，滞销一台损失2万元，问应如何组织生产？共六十页符号(fho)设定:设市场需求为X（台）（随机变量(su j bin lin)）生产量为Y（台）利润为Z(万元）（随机变量） 则需求分布律为：需求量 X102030 概 率0.50.30.2共六十页利润Z10X101

13、0 x1010 x10概率0.50.30.2方案(fng n)一：假设生产量y=10万台 则利润(lrn)Z的分布律为：共六十页利润Z10X10-10 x220 x1020 x10概率0.50.30.2方案(fng n)二：假设生产量y=20万台则利润(lrn)Z的分布律为：共六十页利润Z10X10-20 x220 x10-10X230 x10概 率0.50.30.2方案(fng n)三：假设生产量y=30万台则利润(lrn)Z的分布律为：共六十页 通过对利润(lrn)的期望值分析可知，应该选择第三种生产方案生产30台可获得最大利润。 由于未来的条件不是完全已知，这种决策具有一定的风险性，所以

14、这种决策称为风险性决策！共六十页对于风险型决策一般(ybn)用下列三种方法解决：一、最大可能准则决策方法二、期望准则决策方法三、决策树法共六十页例3:投资决策 某市要投资一个项目，有3个方案可供选用：（1）一次投资到位，需要资金1.4亿元。根据测算，该项目产品如果销售好，每年(minin)可获利2千万元；如果销售差，每年将亏损0.5千万元，项目的服务期20年。（2）二次投资，先投资5.8千万元，如果第一次投资产品销售好，每年可获利(hu l)0.8千万元，销售差时，每年可获利0.6千万元，如果销售好时，六年后扩大项目规模，追加投资8千万元；扩大规模后，每年获利1.9千万元，扩建后的服务期是14

15、年。共六十页 根据市场预测，该项目(xingm)上马后，产品20年内：销售好的概率为0.7，销售不好的概率为0.3。（3）仅仅(jnjn)小规模投资5.8千万元，服务期20年。请选择最优决策方案。共六十页 方案A（20年总投资14千万）方案B（ 总投资13.8千万） 分2次投资方案C（20年投资5.8千万)年获利2年亏损0.5一期6年投资5.8年获利0.8一期6年投资5.8年获利0.6二期14年投资8年获利1.9年获利0.8年获利0.6概率0.70.30.70.310.70.3概括一张表格(biog)如下：用期望准则决策(juc)法对模型求解方案A：平均利润=2200.7+(-0.5)200.

16、3-14= 11（千万）共六十页方案(fng n)B：平均利润=0.860.7+0.660.3+1.914 -13.8 = 16.16（千万(qinwn)） 方案A（20年总投资14千万)方案B（ 总投资13.8千万） 分2次投资方案C（20年投资5.8千万)年获利2年亏损0.5一期6年投资5.8年获利0.8一期6年投资5.8年获利0.6二期14年投资8年获利1.9年获利0.8年获利0.6概率0.70.30.70.310.70.3共六十页 方案A（20年总投资14千万）方案B（ 总投资13.8千万）分2次投资）方案C（20年投资5.8千万）年获利2年亏损0.5一期6年投资5.8年获利0.8一期

17、6年投资5.8年获利0.6二期14年投资8年获利1.9年获利0.8年获利0.6概率0.70.30.70.310.70.3方案(fng n)C:平均利润=0.8200.7+0.6200.3-5.8= 9（千万(qinwn)）共六十页 所以选择第二种方案：分二次投资，前6年投资5.8千万(qinwn)，后14年追加投资8千万，总共投资1.38亿，利润的期望值为1.616亿元。注意(zh y)：有风险！共六十页例3:线性规划(xin xn u hu)问题 假设木匠销售桌子和书架的单位净利润分别是25美元和30美元，他希望确定每种家具每周制作多少，他每周最多有600张木板可以使用，并且每周最多工作40

18、小时。如果木板和劳动时间不用于生产桌子和书架，他能够将他们有效地使用在其他方面。 据估计，生产一张桌子需要20张木板和5小时劳动时间，生产一个书架需要30张木板和4小时劳动时间。此外，他已经(y jing)签订了每周供应4张桌子和2个书架的交货合同。他希望确定桌子和书架的周生产计划，使获得的利润最大。共六十页桌子书架需要木板数（张）2030需花费劳动时间（小时）54合同要求（张）42单位利润（美元）2530共有木板600张，工作时间40小时问题：确定桌子和书架(sh ji)的周生产计划， 使获得的利润最大。共六十页书桌书架需要木板数（张）2030需花费劳动时间（小时）54合同要求（张）42单位

19、利润（美元）2530共有木板600张，工作时间40小时符号(fho)设定设生产桌子 x1 张，书架 x2 张,获得(hud)利润 f(x1,x2)约束条件：共六十页模型(mxng)求解用lingo软件(run jin)求解:当X1=4，X2=5时有最大利润： f(4,5)= 250（美元）答：当每周生产桌子4张，书架5张时 可获得最大利润250美元。共六十页例4:钢管(gnggun)下料问题 某钢管零售商从钢管厂进货,将钢管按照顾客(gk)的要求切割后售出.从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19m长.现有客户要求(下表),应如何下料最节省?客户要求钢管长度数量4m50根6m 20根8m15根共六十页合理的切割模式: 余料不超过客户所需要(xyo)的钢管最小尺寸 即:4m钢管根数6m钢管根数8m钢管根数余料/m模式14003模式23101模式32013模式41203模式51111模式60301模式70023共六十页用x i