特征值和特征向量

1、 第五章矩阵的特征值对1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义：设A为阶矩阵，是一个数，如果存在非零维向量，使得：A，则称是矩阵A的一个特征值，非零向量为矩阵A的属于(或对应于)特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对应特征向量的计算方法。设A是阶矩阵，如果是A的特征值，是A的属于的特征向量，00则AA0(EA)0(0)000因为是非零向量，这说明是齐次线性方程组(0IA)X0的非零解，而齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是其系数矩阵EA的0行列式等于零，即EA=而属于的特征向量就是齐次线性方程组(EA)x0的非零解。00定理：设a是阶矩阵，则是a的特征值，是a的属于的特

2、征向00量的充分必要条件是是EA二的根，是齐次线性方程组00(EA)XC的非零解。0定义：称矩阵EA称为A的特征矩阵，它的行列式EA称为A的特征多项式，EA二称为A的特征方程，其根为矩阵A的特征值。由定理可归纳出求矩阵A的特征值及特征向量的步骤：()计算EA；()求EA=的全部根，它们就是A的全部特征值；()对于矩阵A的每一个特征值，求出齐次线性方程组(EA)X0的一个00基础解系：,，,其中r为矩阵EA的秩；则矩阵A的属于的全部12nr00特征向量为：KKK1122nrnr其中K,K，K12nr为不全为零的常数。 # #0ll求A0l的特征值及对应的特征向量。ll0l1211ll解：A=11

3、21(2)1 # 11210(2)(“1)200“1令A=得：1,2TOC o 1-5 h z123当1时，解齐次线性方程组(EA)X01211111即：EA11100 HYPERLINK l bookmark16110可知r(EA)1，取x,x为自由未知量，对应的方程为xxx023123求得一个基础解系为1,1,0T，1,0,1，所以A的属于特征值的全12部特征向量为KK，其中K,K为不全为零的常数。112212当.血时，解齐次线性方程组(EA)X0312EA:11112112111033011033002110r(EA)2，取兀3为自由未知量,对应的方程组为1x22x30 xx023333

4、010例2求A001的特征值及对应的特征向量。000I0解：EA0100K，其中K是不为零的常数。令EA解得：求得它的一个基础解系为31，所以A的属于特征值的全部特征向量为0。123对于0，解齐次线性方程组(0EA)X0A001，A的秩为0，取X为自由未知量，对应的方程组为.21x3001231求得它的一个基础解系为，所以A的属于特征值的全部的特征向量为K，其中为不为零的常数。122例3求A212的特征值及对应的特征向量。221122122解：EA=212011221221122120(I)011(1)010=(“1)(lX3)221223令EA=解得：11,233 当1时，1EA121020

5、012000IX20，解得一个基x031础解系为1110，所以的属于特征值-1的全部特征向量为K，其中K是111不为零的常数。022110202011220000当1时，EA22r(EA)2，取x为自由未知量，对应的方程组为X223xx230，解得一个基0础解系为211，所以A11的属于特征值的全部特征向量为K，其中K是222r(EA)2取x为自由未知量对应的方程组为.1 # #不为零的常数。222111EA22201132222000当33时,r(EA)2，取x为自由未知量，对应的方程组为1.“2.“3，解得一个33xx0230基础解系为1，所以A的属于特征值1的全部特征向量为K，其中K33

6、3 # 是不为零的常数。例已知矩阵贮030有一个特征向量*5，求x的值。12x320解：由已知有：3055x3K3得：105503x3所以有：2x181练习：（1）求矩阵A2222224的特征值及相应的特征向量42解：的特征向量为K2,2；112的特征向量为KH2,1,0K,0,l（K,K不全为零）。232323（）已知矩阵B应的特征值。112有一个特征向量2，试求a,b,13及所对1解：设是特征向量所对应的特征值，由定义得:1122b11122=21313133解得：，a!，b6。1二、特征值、特征向量的基本性质（）如果是A的属于特征值的特征向量，则一定是非零向量，且对于任0意非零常数，也是

7、A的属于特征值的特征向量。0（）如果,是A的属于特征值的特征向量则当kk0时，1201122kk也是A的属于特征值的特征向量。11220证：A（kk）=kAkAkk（kk）112211221012020112（）阶矩阵与它的转置矩阵AT有相同的特征值。证：IAT（IA）TIA注:A与At同一特征值的特征向量不一定相同；A与At的特征矩阵不一定相同。（4）设Aa，则jnn 23 ()aaa12n1122nn()A12n推论：可逆的充分必要条件是的所有特征值都不为零。即A0。12n定义：设A，把的主对角线元素之和称为的迹，记作tr(A),jnn即：tr(A)aaa。1122nn由此性质(a)可记为

8、tr(A)=12n)设是的特征值，且是属于的特征向量，贝U()a是aA的特征值，并有(aA)=(a)()是Ak的特征值，Ak=()若可逆，则0且-是Ai的特征值，Ai=丄。证：因为是属于的特征值，有A，()两边同乘a得：(aA)(a)，则a是aA的特征值。()AkAk(A)Ak叭)Ak2(A)Ak2()(Ak2)!(A)，则k是Ak的特征值，()因为可逆，所以它所有的特征值都不为零，由A，得:A-(A)A-()，即：(A-A)(A-)(A-)再由0，两边同除以得：1_A】，所以0,且-是A-的特征值。例已知三阶方阵，有一特征值是：且tr(A)A6，求的所有特征值。解：设的特征值为：,，由上述性

9、质得：233tr(A)由此得：1,223例已知三阶方阵的三个特征值是1,3求（）A,（）AI的特征值，（）at的特征值，（4A*的特征值。解：（）A=（血）3=A1的特征值：1，-，2 #23 # 23 #（4AT的特征值:(4a*AA!即为：-6，321例已知矩阵A2116!，贝IA*的特征值为：.1,6（丄）,6丄231，且向量k是逆矩阵A-的特征向量，试求常解：设是A对于的特征值，所以A=，即121113kk121k22k11213k得:3k11或42k22kk21k12例设为阶方阵，证明A0的充要条件是为矩阵的一个特征值。证明：A00A0为矩阵的一个特征值例若A20，则的特征值只有是零

10、。证明：设是矩阵的任一特征值，是对应的特征向量，则A:0A2AH，而0，所以074I练习：已知矩阵A:47l有特征值3(二重)，12，试确定x44x之值。解：因为矩阵的全部特征值之和等于其主对角线上元素之和，故有：77x，解得：x4112得2.相似矩阵一、相似矩阵的定义定义：设、为阶矩阵，如果存在阶可逆矩阵，使得PiAPB成i，则p-左5!16，且丄61405口2严立，则称矩阵与相似，记作AB。TOC o 1-5 h z例已知A1BP冷I25166张1PAP=61丄FB66所以AB。例如果阶矩阵与阶单位矩阵相似，则二解：因为AI，所以一定存在可逆阵使PIAPI成立,由此得APPPI。二、相似矩

11、阵的性质相似矩阵具有下述性质：()反身性：对任意阶方阵、都有AA。(AI*AI)()对称性：若AB，贝【JBA。(因PAPBA(P1)1BP】)()传递性：若AB，BC。则AC。由PAPB，U1BUC(PU)1A(PU)C。()若阶矩阵、相似，则它们具有相同的特征值。证明：由已知得：P!APBBPIPPAPPi(A)PPiAA。注：相似矩阵对于同一特征值不一定有相同的特征向量。()若阶矩阵、相似，则它们具有相同的行列式。证：因为与相似，所以PiAPB两边求行列式得：PiAPBPiAPB即得：AB推论：相似矩阵具有相同的可逆性。()若阶矩阵、相似，则它们具有相同的迹。()若阶矩阵、相似，则它们具

12、有相同的秩。()若阶矩阵、相似，即PiAPB。则AkBk(为任意非负整数)且PiAkPB。证：当=时，PiAPB成立，(矩阵、相似)假设=时成立，即有PiAmPBm现证时也成立，BmBmB(PiAmP)(PiAP)PiAm(PPi)APPiAmP则时也成立。例已知阶方阵、相似，A5求Bt，(ATB)i。解：因为AB，所以有AB,又因BTB;则得bt5。(AtB)(AtB)*(At)!(AB)丄。25例若=If23i与B2相似，求x,y的值。yx4解：因为AB，所以AB，由此得22x31yH，又由于AB，所以tr(A)tr(B)，得22xi4解得：x17,y12.例如果矩阵可逆，试证与的特征值相

13、同。证：因为可逆，所以Ai(AB)A(AiA)BABA即与相似，由性质()得与的特征值相同。三、方阵对角化定义：若方阵可以和某个对角矩阵相似，则称矩阵可对角化。定理：设,为阶矩阵的不同特征值。,分别是属12m12m于,的特征向量，则,线性无关。12m12m定理：阶矩阵相似于对角阵的充分必要条件是有个线性无关的特征向量。从定理可知：只要能求出的个线性无关的特征向量,，令12nTOC o 1-5 h z1,，,就能使PiAP，其中矩阵:,对角阵的12n.n主对角元素依次为,，,所对应的特征值,，。12n12n推论：若阶矩阵有个相异的特征值,，则矩阵一定可对12n角化。定理：设是阶矩阵的特征多项式的

14、重根，则的属于特征值的线性无关的特征向量个数最多有个。定理：设阶矩阵有个不同特征值,。设,是矩12mi1i2isi阵的属于的线性无关的特征向量(i12m)，则向量组,，i11121s1,;,线性无关。21222s2m1m2msm定理：阶矩阵与对角阵相似的充分必要条件是对每一个特征值对应的特征向量线性无关的最大个数等于该特征值的重数，即对每一个n重特征值，iiEA的基础解系含有n个向量(i1,2,m)。nnnnii12m00 23 #1例已矢口A2222，问矩阵可否对角化？若可对角化求出可逆阵及对角阵。解：=(!)(1)(3)解得：.I,1,3，由推论可得矩阵123可对角化。222当1时，EA2

15、2211222取x2为自由未知量，对应的方程组为xx12x030解得一个基础解系为：1,01022110202011220000当1，EA22取x为自由未知量，对应的方程组为13x2x02x03解得一个基础解系为：2221当3时，EA22202220取x为自由未知量，对应的方程组为3xx1x2x032x03，解得一个基础解系为：,1,13则可逆阵为P,:13123001，对应的对角阵:01000。330例已知A111，问矩阵可否对角化？若可对角化求出可逆阵1 23 #及对角阵。解：EA(2)(“1)2，令EA=得：1,1223 #23 # #23 #1111当1时，EA咱1100jii$oo取

16、x,x为自由未知量，对应的方程为xxx0，求得一个基础解系为2312311,1,0，1,0,12211112对于2时2EA1211213112211112112033011033000取x为自由未知量，对应的方程组为1x22x30，求得它的一个基础解系3xx0231110，011则由定理可得矩阵可对角化。即存在可逆阵P,312200相应的对角阵:010：。0011101，问矩阵可否对角化？若可对角化求出可逆阵及12对角阵。311110解：EA=212111211 23 #1l001&112212 #23 # #23 #2时，EAk211100为自由未知量，对应的方程组为x1x3x03x2，求得

17、它的一个基础解系为12所以矩阵的特征值为2,1。 #23 # #23 #1,1,01111l01111001KI11当1时，EA.去1.121】K取X为自由未知量，对应的方程组为1X2X30，求得它的一个基础解系为3xx023丄1。2因为只有个线性无关的特征向量,，而n3，所以矩阵不能对角12化。注意对重根一般有：r（EA）n的重数。由性质（）知：当阶矩阵、相似，即PAPB时，有AkBk，（为任意非负整数），且PAkPBk。由此可得：AkPBkp.1，如果是对角阵，贝UAkPkP1。460例已知A350，试计算A10。36146046小解：EA=350=(1)(2)(“1)2353611122

18、 23 #令EA=得：1,12231时，EA3230000000000,x为自由未知量，对应的方程为x312x0，求得一个基础解系为H2,1,0，,0,1，2当，血时，2EA33360306110R1I000取x3为自由未知量，对应的方程组为x1x2x2x30，求得它的一个基础解系为01,1,13所以可逆阵为P,101，相应的对角阵0123011020100*0110从而A10p10px-101010121011002120201024110102420460二101024121=1023204700110241120102320461011101已知A00。2，求An。1解：EA(4)(2)

19、解得的特征值为4,!，12当4时，解线性方程组EAX0，解得一个基础解系当2时，解线性方程组*2EAWX0，解得一个基础解系所以可逆阵P,1，相应的对角阵121502 23 #51从而AnPnP!10616614n(臣)n654n(臣)n6114n(H2)n66154n(2)n66设3阶矩阵的特征值为1,2,=3123对应的特征向量依次为12112求An111100解:APP，其中P,123123123020490033HUB125-23-2433112 #23 # 23 #53n!13n332n3n2n22n222253n213n】.33亶n!3n2n3222n!2253n313n2332n

20、23n22n42n22222200200例7设方阵A001与By0相似，求x,y之值；并求可逆阵p劭1x0l使PAPB。解：因为与相似，有AB,2yy1，又有：tr(A)tr(B)2x2y(l)x0。的特征值分别是：2,1,l；23而2对应的特征向量为:1l对应的特征向量为：k01。010.1对应的特征向量为:31k10所以P3.实对称阵的对角化定理：实对称矩阵的特征值都是实数。定理2：实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的。我们还可以证明：如果实对称矩阵的特征值的重数是，则恰好有个属于特征值的线性无关的特征向量。如果利用施密特正交化方法把这个向量正交化，它们仍是矩阵的属于特征值的特征向

21、量。定理：设为阶实对称矩阵，则存在阶正交矩阵，使QiAQ为对角阵。假设有个不同特征值,其重数分别为k,k,k，12m12mkkkn。由上述说明可知对同一特征值相应有k个正交的特12mii征向量；而不同特征值对应的特征向量也是正交的，因此一定有个正交的特征向量，再将这个正交的特征向量单位化，记其为,，,，显然这是一TOC o 1-5 h z12n个标准正交向量组，令Q,则为正交矩阵，且QiAQ为对角阵12n。总结实对称阵对角化的步骤如下：）求IA0全部不同的根,，它们是的全部不同的特征值；12m）对于每个特征值（k重根），求齐次线性方程组IAX0的一个基础iii解系：,，利用施密特正交化方法将其

22、正交化，再将其单位化得:i1i2iki,；i1i2iki）在第二步中对每个特征值得到一组标准正交向量组组合为一个向量组：,，,11121k1i21222k2m1m2mkm #1123 共有kkkn个。它们是个向量组成的标准正交向量组。以其12m为列向量组的矩阵就是所求正交矩阵。)QiAQQtAQ，其王对角线兀素依次为：，,，,，,V1V2Vmk1个k2个k，”个220例求正交矩阵，使qTaq为对角阵，其中A212：。020220解：EA212(”1)(4)(2)02得的特征值为：11,24,23分别求出属于,的线性无关的向量为:123!2,1,2，,血,1，2,2123则,是正交的，再将,单位化，得:1231231#,小23333,12321132221102，贝IQ1AQg)4)2 #1123 # 1123 #122TOC o 1-5 h z例求正交矩阵Q，使QtaQ为对角阵，其中A224：。242122解：EA224(7)(2)2242TOC o 1-5 h z得矩阵A的特征值为：.R,2。123求出属于.禽的特征向量为2,血，属于2的特征向量为2,1,0，利用施密特正交化方法将,正交化得:3232,1,0，S2,-,12355所以,相互正交，再