数字信号课件第一章

1、 数字信号处理课程(kchng)组 电子与信息工程学院数字(shz)信号处理及DSP技术(Digital Signal Processing and DSP Technology)共一百三十二页本章(bn zhn)作业1.1 ；1.3 (1)、(3)、(4)；1.10 ；1.19 ；1.24 (1) ;1.33 (1) ;1.34 (3) 仅用部分(b fen)分式展开法 ；1.44(1) ；1.48 (1)、(2)、(3) ；1.52 ; 1.66共一百三十二页第1章 离散时间(shjin)信号与系统 1.1 离散时间信号序列 1.2 连续时间信号的采样 1.3 离散时间系统时域分析(fnx

2、) 1.4 Z变换 1.5 拉氏变换、 傅氏变换与 Z变换 1.6 离散时间系统的频域分析（域和域） 共一百三十二页1.1 离散时间信号(xnho)序列 离散时间(shjin)信号是时间上不连续的一个序列。表示x(n)或x(n)。纵轴线段的长短代表各序列值的大小。 离散时间信号常常可以对模拟信号(如语音)进行等间隔采样而得到。共一百三十二页 当m为正时(zhn sh)，右移m位; 当m为负时，左移m位。序列(xli)移位前序列移位后1序列的移位序列的运算 共一百三十二页x(-n)是以n=0的纵轴为对称轴将序列(xli)x(n)加以翻褶。2.序列(xli)的翻褶序列的运算 3.序列的和 4.序列

3、的乘积共一百三十二页6累加7差分运算(yn sun)前向差分 x(n)=x(n+1)-x(n)后向差分 x(n)=x(n)-x(n-1)由此得出 x(n)=x(n-1) 5序列(xli)的标乘 序列的运算 共一百三十二页1 单位(dnwi)脉冲序列(n) 序列只在n=0处有一个单位值1，其余点上皆为0，因此也称为“单位采样序列”。类似于单位冲激函数(t)。但是(t)是t=0点脉宽趋于零，幅值趋于无限大，面积(min j)为1的信号，是极限概念的信号，并非任何现实的信号。而(n)却完全是一个现实的序列，它的脉冲幅度是1，是一个有限值。 几种常用序列 共一百三十二页2单位(dnwi)阶跃序列u(n

4、) 令n-m=k，代入此式可得 几种常用(chn yn)序列共一百三十二页3矩形(jxng)序列RN(n) RN(n)和(n)、u(n)的关系(gun x)为: 4实指数序列 当|a|1时，序列是发散的;a为负数时，序列是摆动的。 几种常用序列共一百三十二页 5 正弦(zhngxin)型序列x(n)=A sin(n0+)单位是弧度(hd)(rad)，它表示序列变化的速率，或者说表示相邻两个序列值之间变化的弧度数。 0=0.1时,该序列值每20个重复一次循环。几种常用序列共一百三十二页 序列值为复数的序列称为复指数(zhsh)序列。 复指数(zhsh)序列的每个值具有实部和虚部两部分。或 对第二

5、种表示，序列(xli)的实部、虚部分别为 6复指数序列 如果用极坐标表示，则 因此有： 几种常用序列共一百三十二页如果存在一个(y )最小的正整数N，满足 则称序列(xli)x(n)是周期性序列，周期为N。 由于 则 序列的周期性若N0=2k, 当k为正整数时，则 周期性序列（1） 当2/0为正整数时，周期为2/0。（2）当2/0不是整数，是有理数。 k, N为互素的整数， 则为最小正整数， 序列的周期为N。共一百三十二页当0从0增加到p时，余弦序列(xli)幅度的变化将会逐渐加快xn = cos 0 n , 0=0 xn = cos 0 n , 0=0.2p 010203040-101xn

6、= cos 0 n , 0=0.8p xn = cos 0 n , 0=p 共一百三十二页 （3）当2/0是无理数时，则任何k皆不能使N取正整数。这时，正弦序列不是周期性的。 这和连续信号(xnho)是不一样的。问题：一个正弦型序列是由一个(y )连续信号采样而得到的，那么，采样间隔T和连续正弦信号的周期之间应该是什么关系才能使所得到的采样序列仍然是周期序列呢？ 信号的频率为f0，角频率0=2f0，信号的周期为T0=1/f0=2/0采样序列的周期性共一百三十二页 2/0与T及T0的关系(gun x)若2/0为整数(zhngsh)，连续正弦信号的周期T0应为采样间隔T的整数倍；若2/0为有理数，

7、就表示T0与T是互为互素的整数，且有 即N个采样间隔应等于k个连续正弦信号的周期。 序列的周期性-16-共一百三十二页1.1.4 用单位采样序列(xli)来表示任意序列(xli)1.1.5 序列(xli)的能量离散时间信号序列 序列x(n)的能量E定义为序列各采样样本的平方和， 即 共一百三十二页连续时间(shjin)信号的采样 采样器可以看成是一个电子开关(kigun)，这个过程可以把它看作是一个脉冲调幅过程。被调制的脉冲载波是一串周期为T、宽度为的矩形脉冲信号。-18-共一百三十二页 理想采样就是0的极限情况。此时(c sh)，采样脉冲序列p(t)变成冲激函数序列s(t)。理想(lxing

8、)采样 现在来求S(j)=Fs(t)。由于s(t)是以采样频率重复的冲激脉冲，因此是一个周期函数，可表示为傅里叶级数，即 共一百三十二页考虑|t|T/2的积分区间(q jin)内，只有一个冲激脉冲(t)，且利用了因而(yn r) 理想采样频移定理-20-共一百三十二页或者(huzh) 采样后，其频谱将沿着频率轴以采样频率s=2/T 为间隔而重复，频谱产生(chnshng)了周期性延拓，频谱的幅度则受1/T加权。理想采样共一百三十二页采用一个截止频率为s/2的理想低通滤波器，就可还原出原来的连续(linx)信号。 理想(lxing)采样共一百三十二页 如果信号的最高频谱h超过(chogu)s/2

9、，则各周期延拓分量产生频谱的交叠，称为混叠现象。将采样频率之半（s/2）称为折叠频率，即余弦(yxin)信号采样频谱混叠的情况在没有混叠时，输出ya(t)为在有混叠时，则是 理想采样共一百三十二页图 1-12 一个(y )余弦信号采样中的混叠效果 共一百三十二页图 1-12 一个余弦信号(xnho)采样中的混叠效果 共一百三十二页 结论：要想采样后能够不失真地还原出原信号，则采样频率必须大于两倍信号谱的最高频率（s2h），这就是奈奎斯特采样定理。 即fs2fh频率h一般称为奈奎斯特频率，而频率2h称为奈奎斯特率。 在实际工作中，采样频率选到(34)h。同时采样器前加入(jir)一个保护性的前置

10、低通滤波器，称为防混叠滤波器，其截止频率为s/2，以便滤除掉高于s/2 的频率分量。 理想(lxing)采样共一百三十二页如果满足奈奎斯特定理(dngl)，即模拟信号谱的最高频率小于折叠频率 则采样后不会(b hu)产生频谱混叠故将 通过一个理想低通滤波器，这个理想低通滤波器只让基带频谱通过。 采样的恢复共一百三十二页采样信号(xnho)通过这个滤波器后，就可滤出原模拟信号(xnho)的频谱 理想(lxing)低通滤波器的冲激响应为 由 与h(t)的卷积积分，即得理想低通滤波器的输出为 由采样信号序列重构带限信号利用欧拉公式及共一百三十二页这里h(t-nT)称为(chn wi)内插函数： 由采

11、样信号(xnho)序列重构带限信号(xnho)采样点nT上，函数值为1; 其余采样点上，函数值都为零。 共一百三十二页由于ya(t)=xa(t)，因此以上(yshng)卷积结果也可以表示为 (1-36)式（1-36）称为采样内插公式，xa(t)等于各xa(nT)乘上对应(duyng)的内插函数的总和。在每一采样点上，只有该点所对应(duyng)的内插函数不为零，采样点之间的信号则由加权内插函数波形的延伸叠加而成。由采样信号序列重构带限信号-30-共一百三十二页1.3 离散时间(shjin)系统时域分析 一离散时间系统是将输入(shr)序列变换成输出序列的一种运算。以T来表示这种运算。离散时间系

12、统中最重要、 最常用的是“线性时不变系统”。 1.3.1 线性系统可加性齐次性或比例性叠加原理共一百三十二页例1-3 判断(pndun)以下系统是否为线性系统： y(n)=2x(n)+3证 所以此系统(xtng)不满足叠加性， 故不是线性系统(xtng)。 同样可以证明， -32-共一百三十二页 运算关系T不随时间而变化，称为时不变系统（或称移不变系统）。 若 Tx(n)=y(n)则 Tx(n-m)=y(n-m) （m为任意(rny)整数） 时不变系统(xtng)例1-4 证明 不是时不变系统。 证 由于二者不相等，故不是时不变系统。 同时具有线性和时不变性的离散时间系统称为线性时不变（LTI

13、）离散时间系统，简称LTI系统。除非特殊说明，本书都是研究LTI系统。 -33-共一百三十二页 线性时不变系统(xtng)可用单位脉冲响应来表征。h(n)=T(n)有了h(n) 可以得到对任意输入的输出。单位脉冲响应与系统(xtng)的输入输出关系由于线性 为了同以后的圆周卷积相区别，离散卷积也称为“线性卷积”或“直接卷积”或简称“卷积”，并以“*”表示之。-34-共一百三十二页y(n)=x(n)*h(n)=h(n)*x(n) 卷积四步： 翻褶、 移位(y wi)、 相乘和相加。 n-m=m再将m换成m （1） 翻褶：变量(binling)坐标变成x(m)和h(m)，将h(m)翻褶成h(-m)

14、。 （2） 移位：将h(-m)移位n，即得h(n-m)。当n为正整数时，右移n位; 当n为负整数时，左移n位。 （3） 相乘：再将h(n-m)和x(m)的相同m值的对应点值相乘。 （4） 相加：把以上所有对应点的乘积累加起来， 即得y(n)值。 依上法，取n=, -2, -1, 0, 1, 2, 各值，即可得全部y(n)值。 卷积的方法与步骤交换律共一百三十二页卷积的图形(txng)表示共一百三十二页C=conv(A,B)计算两有限长序列向量A和B的卷积。如果向量A和B的长度(chngd)分别为N和M，则卷积结果序列向量C的长度为N+M-1。%juanji.m 卷积的计算程序(chngx)xn

15、=0,1/2,1,3/2;hn=1,1,1;yn=conv(xn,hn)运行结果：yn =0 0.5000 2.5000 3.0000 2.5000 1.5000，卷积结果与用图解方法得到的结果相同。 MATLAB卷积函数conv(A,B)共一百三十二页线性时不变系统(xtng)的性质 1交换律由于(yuy)服从交换律， 故即，如果把h(n)改作为输入，把x(n)改为h(n) ，则输出y(n)不变。 2结合律 两个线性时不变系统级联后仍构成一个线性时不变系统，其单位脉冲响应为两系统单位脉冲响应的卷积，且线性时不变系统的单位脉冲响应与它们的级联次序无关。 -38-共一百三十二页3分配律 两个线性

16、时不变系统的并联等效系统的单位脉冲响应等于(dngy)两系统各自单位脉冲响应之和。 线性时不变系统(xtng)的性质 共一百三十二页 因果系统(xtng)，系统此时的输出y(n)只取决于此时及以前的输入，即x(n), x(n-1), x(n-2), 。 如：y(n)=nx(n)是因果系统，而y(n)=x(n+2)+ax(n) 是非因果系统。 因果(yngu)系统与稳定系统 线性时不变系统是因果系统的充分必要条件是 h(n)=0 n0 将n0，x(n)=0 的序列称为因果序列。 稳定系统是指有界输入产生有界输出（BIBO）的系统。一个线性时不变系统是稳定系统的充分必要条件是单位脉冲响应绝对可和，

17、 即 -40-因果稳定系统是最重要的共一百三十二页【例】设线性时不变系统的单位系统脉冲响应h(n)=anu(n)，式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。解由于n0时，h(n)=0，因此系统是因果系统。只有当|a|1时, 才有因此系统稳定的条件是|a|1；否则，|a|1时，系统不稳定。系统稳定时，h(n)的模值随n加大而减小，此时序列h(n)称为收敛序列。如果系统不稳定，h(n)的模值随n加大而增大，则称为发散序列。共一百三十二页 常系数指ak, bk都是常数。阶数等于指y(n)变量(binling)序号的最高值与最低值之差。 上式为N阶差分方程。 常系数线性差分(ch fn)方程 线性是指

18、各y(n-k)、x(n-k)项都只有一次幂且不存在它们相乘项。 求解常系数差分方程可以用离散时域求解法，也可以用变换域求解法。 离散时域求解法有两种： （1） 迭代法，此法较简单，但是只能得到数值解，不易直接得到闭合形式（公式）解答。 （2） 卷积计算法，这用于系统起始状态为零时的求解。 共一百三十二页例1-5 常系数(xsh)线性差分方程 输入为x(n)=(n)，初始条件为y(n)=0 ，n 0, 可得n0时h(n)=y(n)=0，将差分方程改写为另一种递推关系(gun x)y(n-1)=2y(n)-x(n)。又利用已得出的结果h(n)=0(n0), 则有： 这样的系统是非因果(yngu)系

19、统， 而且是非稳定的。 y(n-1)=2y(n)-x(n)-44-共一百三十二页MATLAB程序如下：%example15.m:调用filter函数解差分方程y(n)=x(n)+0.5y(n-1) b=1; a=1, -0.5;x=1, zeros(1,31); %x(n)为单位(dnwi)脉冲序列,长度为32y=filter(b,a,x); %计算出单位脉冲响应h(n)n=0:31;stem(n,y);xlabel(n);ylabel(y(n); 例1-5中求解(qi ji)系统单位脉冲响应的程序example15.m共一百三十二页1. Z变换的定义一个(y )离散序列x(n)的Z变换定义为

20、 1.4 Z 变 换 这种变换也称为双边(shungbin)Z变换，与此相应的单边Z变换的定义如下： 单边Z变换的求和限是从零到无穷，因此对于因果序列， 用两种Z变换定义计算出的结果是一样的。1.4.1 Z变换的定义及收敛域 共一百三十二页 对任意给定(i dn)序列x(n)，使其Z变换收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。级数收敛的充分必要条件是满足绝对可和的条件，即要求 收敛(shulin)域用环状域表示，即Rx-|z|Rx+Rx-和Rx+称为收敛半径。当然Rx-可以小到零，Rx+可以大到无穷大。 常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示： Z变换的收敛域共一百三十二页 P(z

21、)的根是X(z)的零点，Q(z)的根是X(z)的极点。在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点，收敛域总是(zn sh)用极点限定其边界。Rx-及Rx+的大小和序列有着密切的关系。（1）有限长序列: 序列x(n)只在有限区间n1nn2之内才具有非零的有限值，在此区间外，序列值皆为零。 其Z 变换(binhun)为 设x(n)为有界序列，由于X(z)是有限项级数之和，除0与两点是否收敛与n1、n2取值情况有关外，整个Z平面均收敛。Z变换的收敛域收敛域：z的取值范围共一百三十二页如果n10，则收敛域不包括z=0点； 如果是因果序列(xli)，收敛域包括点。具体有限长序列的收敛域表示如下： (1-

22、61a)(1-61b)(1-61c)例1-7x(n)=(n)，求此序列的Z变换及收敛域。 解 这是n1=n2=0 时有限长序列的特例，由于所以(suy)收敛域应是整个z的闭平面(0|z|)。 Z变换的收敛域-49-共一百三十二页例1-8 求矩形(jxng)序列x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域。 解 这是一个有限(yuxin)项几何级数之和。因此 （2）右边序列：是指x(n)只在nn1时有值，在nn1时x(n)=0。 其Z变换为 第一项为有限长序列的Z变换，收敛域为 ；第二项是z的负幂级数，阿贝尔（N.Abel）定理，存在一个收敛半径Rx-，级数在以原点为中心，以Rx-为半径的圆外任何点都

23、绝对收敛。-50-可以不写似乎z=1是X(z)的极点，但同时分子多项式在z=1时也有一个零点，极、零点对消。共一百三十二页其收敛域为Rx|z|。综合(zngh)此二项，只有二项都收敛时级数才收敛（公共区间）。所以右边序列Z变换的收敛域为 因果序列是最重要的一种右边序列，即n1=0的右边序列。也就是说，在n0时x(n)有值，n0时x(n)=0，其Z变换级数中无z的正幂项，因此级数收敛域可以(ky)包括|z|=。 Rx-|z|a| 在z=a处有一极点(用“”表示)，在z=0处有一个(y )零点(用“”表示)，收敛域为极点所在圆|z|=|a|的外部。 收敛域上函数必须是解析的，因此收敛域内不允许有极

24、点存在。例1-9 x(n)=anu(n), 求其Z变换及收敛域。 -52-共一百三十二页（3）左边序列(xli): 左边序列是指在nn2时x(n)有值，而在nn2时x(n)=0，其Z变换为 Z变换(binhun)的收敛域-53-如果n20, z=0点收敛，z=点不收敛，其收敛域是在某一圆（半径为Rx+）的圆内，收敛域为0|z|Rx+。如果n20，则收敛域为0|z|Rx+。共一百三十二页解 这是一个左边序列(xli)。其Z变换为 此等比级数|a-1z|1，即|z|Rx+，则无公共(gnggng)收敛区域，X(z)无收敛域。 Rx-|z|Rx+Z变换的收敛域是一个环状域共一百三十二页解 这是一个双

25、边序列(xli)，其Z变换为 设 若|a|1，则存在公共(gnggng)收敛域 若|a|1，则无公共收敛域，因此也就不存在Z变换的封闭函数。序列两端都发散，显然这种序列是不现实的序列。 例1-11 x(n)=a|n|, a为实数，求其Z变换及收敛域。-56-共一百三十二页表1-1 几种序列(xli)的Z变换 -57-共一百三十二页若 则 Z反变换(binhun)图1-31 围线积分(jfn)路径 直接计算围线积分是比较麻烦的，实际上, 求Z反变换时，往往可以不必直接计算围线积分。一般求Z反变换的常用方法有三种： 围线积分法（留数法）、部分分式展开法和幂级数展开法。 -58-共一百三十二页1.

26、围线积分法（留数法） 根据留数定理，若函数F(z)=X(z)zn-1在围线c以内有K个极点(jdin)zk，而在c以外有M个极点zm（M、K为有限值），则有或 表示函数F(z)沿围线c反时针方向的积分等于(dngy)F(z)在围线c内部各极点的留数之和。 表示函数F(z)沿围线c顺时针方向的积分等于F(z)在围线c外部各极点的留数之和。留数辅助定理Z反变换-59-共一百三十二页 当函数X(z)zn-1在围线的外部有多重极点，这时选c外部极点计算留数就比较麻烦，而通常选c的内部极点求留数则较简单(jindn)。 当函数X(z)zn-1在围线的内部可能有多重极点，这时选用c外部的极点求留数就方便得

27、多。 Z反变换(binhun) 当zr是X(z)zn-1的单一（一阶）极点，则有 当zr是X(z)zn-1的多重极点，如l阶极点，则有 共一百三十二页例1-12 已知 求Z反变换(binhun)。 解 围线c以内包含(bohn)极点a，如图1-32粗线所示。当n0时，在z=0处有一个-n阶极点。因此 -61-共一百三十二页a是单阶极点(jdin)在z=0处有一个(y )-n阶极点（n0）在具体应用留数法时，若能从收敛域判定序列是因果的，就可以不必考虑n0时出现的极点了， 因为它们的留数和一定总是零。-62-利用：共一百三十二页例1-13 已知 求Z反变换(binhun)。 解 这时由于极点a处

28、在围线c以外（见图1-33），所以(suy)当n0时围线c内无极点；而n0时只在z=0处有一个-n阶极点。因此 -63-共一百三十二页 2. 在实际(shj)应用中，一般X(z)是z的有理分式，可表示成X(z)=P(z)/Q(z)。式中，ck是X(z)的非零零点，dk是X(z)的非零极点(jdin)。如果Mmax|dk|，部分分式展开式中每一项都是一个因果序列的z函数，则部分分式展开法共一百三十二页Ak可利用(lyng)留数定理求得 如果(rgu)MN，且除一阶极点外，在z=di处还有s阶极点，则X(z)可展成 Bn可用长除法求得。Ak可由上式求出。系数Cm由下式得到 或 展开式各项被确定后，

29、再分别求右边各项的Z反变换，则原序列就是各项的反变换序列之和。 部分分式展开法-65-共一百三十二页例1-14 设 求Z反变换(binhun)。 解 X(z)有两个极点，d1=2 和d2=0.5，收敛域为|z|2。x(n)是一个右边(yu bian)序列。极点全部是一阶的，因此X(z)能表示为:或 -66-共一百三十二页例1-15 在这个例子中要考虑(kol)例1-12中给出的X(z)所对应的全部可能序列。 解 根据零极点图和收敛域性质， X(z)有三种不同的收敛域：(1) |z|2, 右边序列(xli)。 (2) , 左边序列。 (3) , 双边序列。 -67-共一百三十二页因为(yn wi

30、)x(n)的Z变换定义为z-1的幂级数， 即 所以只要在给定的收敛域内，把X(z)展成幂级数，则级数的系数就是序列x(n)。直接将X(z)展开成幂级数形式；当X(z)是log, sin, cos, sinh等函数(hnsh)时，可利用已知的幂级数展开式将其展成幂级数形式；当X(z)是一个有理分式，可利用长除法，即用分子多项式除以分母多项式得到幂级数展开式。3. 幂级数展开法（长除法）共一百三十二页例1-16 若X(z)为 解 直接(zhji)将X(z)展开成 凭观察(gunch)，x(n)就是 例1-17 若X(z)为X(z)=lg(1+az-1) |z|a| 求Z反变换。解 利用lg(1+x

31、)，且|x|1的幂级数展开式，可得求Z反变换。或-69-共一百三十二页例1-18 若X(z)为 解 X(z)在z=-a处有一极点，收敛域在极点所在(suzi)圆以外，序列是因果序列，X(z)应展成z的降幂次级数，所以可按降幂顺次长除有 求Z反变换(binhun)。-70-共一百三十二页例1-17 若X(z)为 解 X(z)在z=a处有一极点，收敛域在极点所在圆以内，序列是左边序列，X(z)应展成z的升幂(shn m)次级数，因此应按升幂(shn m)顺次长除有 求Z反变换(binhun)。-71-共一百三十二页1.4.3 Z变换(binhun)的性质 1. 线性Zax(n)+by(n)=aX(

32、z)+bY(z) -|z|a|，扩展为|z|0。 由于x(n)-y(n)是n0的有限长序列，故收敛域是除了|z|=0外的全部Z平面。 共一百三十二页2. 序列(xli)的移位 3. 乘以指数(zhsh)序列（Z域尺度变换） 例 1-21 |z|1 |z|a| Z变换的性质 共一百三十二页4.X(z)的微分(wi fn) 例1-22 利用X(z)的微分特性求下面序列(xli)的Z变换。 x(n)=nanu(n)=nanu(n)=nx1(n) 解 |z|a| 利用微分特性有 |z|a| Z变换的性质 5.复序列的共轭 式中，符号“*”表示取共轭复数。 6. 翻褶序列 共一百三十二页7.初值定理对于

33、(duy)因果序列x(n)，即x(n)=0, n0, 有 8. 终值定理 设x(n)为因果序列，且X(z)=Zx(n)的全部(qunb)极点，除有一个一阶极点可以在z=1 处外，其余都在单位圆内，则 9.序列卷积（卷积定理）若则 Z变换的性质 共一百三十二页例1-23 设x(n)=anu(n),h(n)=bnu(n)-abn-1u(n-1)求y(n)=x(n) * h(n)。 解 所以(suy) 显然，在z=a处，X(z)的极点(jdin)被H(z)的零点所抵消，如果|b|a|，则Y(z)的收敛域比X(z)与H(z)收敛域的重叠部分要大。 -76-共一百三十二页10.序列(xli)乘积（复卷积

34、定理） 若 则 若用v=ej, z=ej代入上式，则可得 显然(xinrn)，上式是X(ej)与Y(ej)的卷积，又称为复卷积。 Z变换的性质 共一百三十二页11. 帕塞伐（Parseval）定理(dngl)若有两序列x(n)、y(n)X(z)=Zx(n) Rx-|z|Rx+Y(z)=Zy(n) Ry-|z|Ry+Rx-Ry-|z|=1Rx+Ry+ 那么(n me) 帕塞伐定理的一个很重要的应用是计算序列的能量，一个序列值的平方总和 称为“序列能量”，利用公式如果有y(n)=x(n)，则 这表明时域中求能量与频域中求能量是一致的。Z变换的性质 共一百三十二页表 1-2 Z变换(binhun)的

35、主要性质 -79-共一百三十二页1.5 拉氏变换(binhun)、傅氏变换(binhun)与Z变换 1.5.1 拉氏变换(binhun)与Z变换 设连续信号为xa(t)，理想采样后的采样信号为采样序列x(n)=xa(nT)的Z变换为 当z=esT时，采样序列的Z变换就等于其理想采样信号拉普拉斯变换： 式（1-101）共一百三十二页这说明，从理想采样信号的拉普拉斯变换到采样序列的Z变换，就是由复变量(binling)S平面到复变量Z平面的映射，其映射关系为: 标准(biozhn)变换将S平面用直角坐标表示为 s=+j而Z平面用极坐标表示 z=re j将它们代入上式， 得到 rej=e(+j)T=

36、eTejT因此: r =eT =T z的模r对应于s的实部，z的相角对应于s的虚部。 拉氏变换与Z变换=0 （S平面虚轴） r=1（Z平面单位圆上）0 （S的左半平面） r0 （S的右半平面） r1 (Z平面单位圆外部）-81-共一百三十二页=0（S平面(pngmin)的实轴）=0（Z平面正实轴）由-/T增至0 由-增至0由0增至/T 由0增至 可得结论：S平面上宽度为2/T的水平带映射到整个Z平面。同样，每当增加一个采样角频率s=2/T，则相应的增加一个2，也即在Z平面上重复(chngf)旋转一周，如图1-37所示。因此S平面到平面的映射是多值映射。 拉氏变换与Z变换-82-共一百三十二页傅

37、里叶变换是拉普拉斯变换在虚轴上的特例，即s=j，映射到Z平面上正是单位圆z=ejT，将这两个(lin )关系代入到式（1-101）可得 说明：采样序列在单位圆上的Z变换，等于理想(lxing)采样信号的傅里叶变换 （频谱）。 1.5.2 连续信号的傅氏变换与序列的Z变换可以看出数字频率是模拟角频率对采样频率fs的归一化值，它代表了序列值变化的速率。 1.5.3 序列的傅氏变换与z变换称为数字频率，它与模拟域频率关系可见，单位圆上序列的Z变换为序列的傅里叶变换，也称为数字序列的频谱。-83-共一百三十二页1.5.3 序列(xli)的傅氏变换与z变换共一百三十二页2序列(xli)傅里叶变换的定义再

38、根据(gnj)Z反变换的公式（1-64），并将积分围线取在单位圆上就可得到序列的傅里叶反变换公式 这个公式成立的条件是X(z)在单位圆上必须收敛，也即序列x(n)必须绝对可积。1.5.3 序列的傅氏变换与z变换共一百三十二页表1-3 傅里叶变换(binhun)对 -86-共一百三十二页序列(xli)傅里叶变换的周期性1.5.3 序列(xli)的傅氏变换与z变换共一百三十二页解： 若取N=5,则 令,则N=5的序列(xli)与其振幅谱 如图所示。 -88-共一百三十二页证明(zhngmng)： 交换积分和求和的次序(cx)，得到：该定理表明在时域两序列相乘，转换到频域服从卷积关系。此定理也称为调

39、制定理。-89-共一百三十二页任意一个复序列(xli)总可以分解成共轭对称与共轭反对称序列(xli)之和 序列(xli)傅里叶变换的对称性序列的共轭对称序列满足:对上式两边n用n代替并取共轭解式上面两式的联立方程组，可得 式中， 是实部为偶对称、虚部为奇对称的序列； 是实部为奇对称、虚部为偶对称的序列。 -90-共一百三十二页解因为x*(n)=ejn=x(n)满足 式，所以x(n)是共轭对称序列(xli)，如展成实部与虚部，则得到： x(n)=cosn+j sinn上式表明，共轭对称序列的实部确实是偶函数，虚部是奇函数。【例】试分析(fnx)x(n)=ejn的对称性。共一百三十二页序列(xli

40、)傅里叶变换的对称性-92-共一百三十二页一般序列傅氏变换(binhun)对称性质共一百三十二页1.6 离散(lsn)时间系统的频域分析（域和Z域） 一个线性时不变系统完全可以(ky)由它的单位脉冲响应h(n)来表示。对于一个给定的输入x(n)，其输出y(n)为 对等式两端取Z变换，得 则 系统函数在单位圆上(z=ej)的系统函数就是系统的频率响应H(ej)。 共一百三十二页 单位脉冲响应h(n)为因果序列的系统称为因果系统，因此因果系统的系统函数H(z)具有(jyu)包括z=点的收敛域，即 1. 因果(yngu)系统2. 稳定系统 由1.3节中的讨论已知，一个线性时不变系统稳定的充分必要条件

41、为h(n)必须满足绝对可和条件，即 而Z变换的收敛域由满足 的那些z值确定，因此稳定系统的系统函数H(z)必须在单位圆上收敛，即收敛域包括单位圆|z|=1，H(ej)存在。1.6 离散时间系统的频域分析（域和Z域） 共一百三十二页3. 因果稳定系统(xtng) 因果稳定系统是最普遍、最重要的一种系统，它的系统函数H(z)必须在从单位圆到的整个Z域内收敛，即 也就是说，系统函数的全部极点(jdin)必须在单位圆内。例1-27 系统函数如下式，若系统是因果的，判断系统是否稳定。 1.6 离散时间系统的频域分析（域和Z域） -96-收敛域不能有极点共一百三十二页如果系统函数分母阶数较高（如3阶以上）

42、，用手工计算，判断系统是否稳定不是一件简单的事情。用MATLAB函数判定则很简单，如对上例的判定程序如下(rxi)：b=0.2 0.1; %H(z)的分子多项式系数矢量a=1 -1.49 0.085 1.1709 -0.75735； %H(z)的分母多项式系数矢量z,p,k=tf2zp(b,a) %求H(z)的极零点矢量zplane(z,p); %绘制H(z)的零极点图运行程序，则程序输出的极点(jdin)为：p = -0.9000 0.7000 + 0.6000i 0.7000 - 0.6000i 0.9900 极零点图1-40所示。1.6 离散时间系统的频域分析（域和Z域） -97-z,p

43、零极点位置，k分子首系数共一百三十二页N阶常系数(xsh)线性差分方程的一般形式为 若系统起始状态(zhungti)为零，这样就可以直接对上式两端取Z变换，利用Z变换的线性特性和移位特性可得 系统函数和差分方程的关系分子、分母多项式的系数分别就是差分方程的系数。将其分别进行因式分解，可得 共一百三十二页式中，ck是H(z)的零点，dk是H(z)的极点，除了比例常数b0/a0以外，系统函数(hnsh)完全由它的全部零点、极点来确定。同一个系统函数，收敛域不同，所代表的系统就不同。而对于稳定系统，其收敛域必须包括单位圆。 例1-28已知系统(xtng)函数为 20.5。该系统的单位脉冲响应为 因h

44、(n)为无限长，故为IIR系统。 有理系统函数的单位脉冲响应（IIR，FIR）-103-共一百三十二页例1-31 一个FIR系统(xtng)的单位脉冲响应为 则系统(xtng)函数为 其零点 k=0, 1, , (N-1) z=a处极点与z=a的零点抵消。若N=8，则极-零点如图所示。其差分方程为线性卷积，即 由式（1-153）可得另一种形式的差分方程 y(n)-ay(n-1)=x(n)-aNx(n-N) 式（1-154）和式（1-155）是两种等价的差分方程，因为它们是从两个等价的系统函数H(z)得来的。 （1-154）（1-155）-104-差分方程也是递归的，原因零极点相消共一百三十二页

45、对于稳定系统，如果输入序列(xli)是一个频率为的复正弦序列： x(n)=ejn -n1/2。该收敛域又包括单位圆，所以系统也是稳定的。 或 -109-共一百三十二页（2） 解法(ji f)一： 系统(xtng)的频率响应为 解法二： 例1-33设有一系统，其输入输出关系由以下差分方程确定 设系统是因果的。 （1） 求该系统的单位脉冲响应； （2） 由(1)的结果，求输入x(n)=ejn的响应。 -110-共一百三十二页 系统函数H(z)可用零、极点确定。由于H(z)在单位圆上的Z变换即是系统的频率响应，因此系统的频率响应也完全可以由H(z)的零、极点确定。频率响应的几何(j h)确定法实际上

46、就是利用H(z)在Z平面上的零、极点，采用几何方法直观、定性地求出系统的频率响应。假设M=N，这时用z=ej代入，即得系统(xtng)的频率响应为 频率响应的几何确定法共一百三十二页因此(ync) 以极坐标表示(biosh)有：Ck=CkejkDk=Dke jk H(ej)=|H(ej)|ej()就得到 ej-ck可用由零点ck指向单位圆上ej点向量Ck来表示；同样，ej-dk可由极点dk指向单位圆上ej的向量Dk来表示。频率响应的几何确定法共一百三十二页频率响应的几何(j h)确定法幅度函数等于各零点至ej点向量(xingling)长度之积除以各极点至ej点向量长度之积，再乘以常数b0/a0

47、。相位函数等于各零点至ej点向量的相角之和减去各极点至ej点向量相角之和。当频率由0到2时，这些向量的终端点沿单位圆反时针方向旋转一圈，从而可以估算出整个系统的频率响应来。-113-共一百三十二页 当B点转到极点附近时，极点相量长度最短，因而幅度特性可能出现峰值，且极点愈靠近单位圆，极点相量长度愈短，峰值愈高愈尖锐。如果极点在单位圆上，则幅度特性为，系统不稳定。对于零点(ln din)，情况相反，当B点转到零点附近时，零点相量长度变短，幅度特性将出现谷值，零点愈靠近单位圆，谷值愈接近零。当零点处在单位圆上时，谷值为零。总结以上结论：极点位置主要影响频响的峰值位置及尖锐程度，零点位置主要影响频响的谷点位置及形状。频率响应的几何(j h)确定法共一百三十二页例1-34 设一个因果系统的差分方程为y(n)=x(n)+ay(n-1) |a|1, a为实数(shsh)求系统的频率响应。