《应用统计学》第十章课件

1、第十章 时间序列分析引导案例 如何预测蔬菜营业额的未来变动情况？某蔬菜公司为确定未来的发展计划，需要建立一个系统，这个系统将会使该公司能够至少提前一个季度预测出未来某个季度的蔬菜营业额。为建立这个系统，研究人员收了近3年12个季度的蔬菜营业额数据，如表10-1和图10-1所示。 结合图10-1来观察表10-1中的数据，可以看出12个季度的蔬菜营业额是有波动的，有的季度营业额高一些，有的低一些。但这种波动又是具有某种规律性的。首先，12个季度的蔬菜营业额大体上是沿着向上的方向上下波动，表现出一种长期稳定的上升趋势；其次，如果以一年为周期进行观察的话，每一年里各个季度的蔬菜营业额又都在按照某种固定

2、的模式上下波动，即第一季度最低、第二季度开始上升、第三季度继续上升、第四季度开始下降，显然这与一年里的四季更替有关。研究人员已经意识到，在公司近3年12个季度的蔬菜营业额数据中，一定包含着蔬菜营业额未来变动的有用信息。关键是采用什么方法将其中的有用信息充分挖掘出来，用于预测蔬菜营业额的未来变动情况。本章将要介绍的时间序列分析方法可用于解决此类问题。第一节时间序列的构成第三节长期趋势的测定第二节波动性的描述第四节季节波动的测定第一节第三节第二节第四节时间序列的构成长期趋势的测定波动性的描述季节波动的测定一、长期趋势时间序列是有波动性的，但这种波动不是杂乱无章的，长期趋势是其波动过程中所表现出来的

3、一种规律性。时间序列中的各个观测值，长期持续地沿着一定的方向上下波动，这种长期持续的波动方向，被称为时间序列的长期趋势。长期趋势可以是直线趋势，也可以是曲线趋势。表10-1中12个季度蔬菜营业额的时间序列，明显表现出一种向上的直线趋势。一般来讲，较短的时间序列，往往容易观察到直线趋势；时间序列一长，变动的方向总会发生变化，从而表现出曲线趋势。本章所介绍的时间序列分析方法，主要是针对直线趋势，图10-2给出了几种不同的直线趋势。其中，水平趋势有时又称无趋势。如果将水平趋势也看作是一种长期趋势的话，那么，一个给定的时间序列，总是要明显或不明显地表现出某种长期趋势。二、季节波动季节波动是存在于时间序

4、列波动过程中的又一种常见的规律性。它指的是时间序列中的观测值，随着季节的变更而发生的周期性波动，通常以一年为一个波动周期，同一种动态一年重复一次。表10-1中的12个季度蔬菜营业额的时间序列，明显带有季节波动的特征。现实生活中的许多时间序列都具有季节波动特征，如农产品产量、旅游业产值、交通运输业产值、建筑业产值等。显然，一年之内的四季更替是造成时间序列季节波动的主要原因，但还需要对“季节”做广义的理解。时间序列分析中的“季节”一词，泛指以一年或小于一年为固定周期的一切周期性起作用的因素，如固定的作息制度、稳定的风俗习惯等。例如，交通流量可以以一天为周期进行“季节波动”，早晚上下班的拥挤时刻会出

5、现流量高峰，午休和傍晚时刻会出现中等流量，午夜到清晨则会出现小流量。三、循环波动循环波动也属于周期波动，与季节波动的不同之处在于： 周期通常为一年以上； 各个周期的长短不同； 造成周期性的原因不明确。典型的季节波动，其产生的原因是很明确的，就是以一年为固定周期的季节更替。而造成循环波动的原因，则往往是无法明确界定的。在社会经济领域中，典型的循环波动就是经济周期，繁荣、衰退、萧条和复苏4个阶段循环更替，每一次循环的周期都是一年以上，有的周期是几年，甚至十几年。因此，循环波动往往是比较难以识别的，不像季节波动那样具有很强的周期性规律。识别循环波动往往需要很长的时间序列。四、无规则波动从时间序列的观

6、测值中，去掉长期趋势、季节波动和循环波动之后的剩余部分，称作无规则波动。如果说长期趋势、季节波动和循环波动是时间序列本身所固有的规律性，那么无规则波动则是没有什么规律性可言的，它往往是由于短期的、不可预见的和不会重复出现的偶然性因素所造成的。五、平稳序列与非平稳序列综上所述，时间序列中某一时间 上的观测值 ，可以分解为4个构成部分：长期趋势，记作 ；季节波动，记作 ；循环波动，记作 ；无规则波动，记作 。关于这四部分构成内容的结构方式，理论上存在两种假设：（1）加法模型假设： 、 、 、 的内容之和形成了实际的观测值 ，即 ；（2）乘法模型假设： 、 、 、 的内容之积形成了实际的观测值 ，即

7、 。至于这两种理论假设哪一种更符合真实情况，还有待于进一步研究和探讨。本章所介绍的时间序列分析方法遵循乘法模型假设。一个给定的时间序列，如果没有长期趋势（水平趋势）且只包含无规则波动 ，则被称为平稳序列；如果包含无规则波动 且包含长期趋势 或季节波动 或循环波动 ，则被称为非平稳序列。非平稳序列具体包括7种可能的情形： ； ； ； ； ； ； 。表10-1中12个季度蔬菜营业额的时间序列，基本上属于非平稳序列中的第种类型，即 。实践中同时包含全部四项内容的时间序列是比较少见的。第一节第三节第二节第四节时间序列的构成长期趋势的测定波动性的描述季节波动的测定一、逐期增减量与累积增减量时间序列最明显

8、的特征就是其中的各个观测值具有波动性，这是在时间序列分析中必须首先认识和把握的内容。可以采用不同的尺度来衡量观测值从一个时间到另一个时间波动幅度的大小。增减量是衡量波动幅度大小的最基本、最常用的尺度，由于在计算增减量时所采用的比较基期不同，又分为逐期增减量和累积增减量。时间序列分析中，通常将关心的那个期间称为报告期，将用于与报告期进行比较的那个期间称为基期。逐期增减量是报告期观测值 与报告期前一期观测值 之差，反映了观测值逐期波动幅度的大小，即 （10-1）累积增减量是报告期观测值 与固定基期观测值之差，反映了观测值在给定时期内累积波动幅度的大小。固定基期通常取时间序列中最初的那个时期，故累积

9、增减量为 （10-2）由同一个时间序列计算得出的累积增减量与逐期增减量之间存在着固定的关系，即累积增减量等于对应的各个逐期增减量之和： （10-3）由表10-1的蔬菜营业额的时间序列计算增减量，其结果如表10-2中第3行和第4行所示。二、环比发展速度与定基发展速度环比发展速度是报告期预测值 与报告期前一期观测值 之比，反映了观测值逐期波动速度的快慢，即 （10-4）定基发展速度是报告期观测值 与固定基期观测值之比，反映了观测值在给定时期内波动速度的快慢。固定基期通常取时间序列中最初的那个时期，即 （10-5）由同一时间序列计算得出的环比发展速度与定基发展速度之间存在着固定的关系，即定基发展速度

10、等于对应的各个环比发展速度的连乘积： （10-6）由表10-1的蔬菜营业额的时间序列计算发展速度，其结果如表10-2中的第5行和第6行所示。由表10-2中的计算结果可以看出，时间序列中各个观测值的波动性，反映在速度上，就是各个时期环比发展速度快慢不一。实践中，为了说明现象在一个较长的时间里逐期发展的一般速度，通常需要利用各个环比发展速度计算平均发展速度，其计算公式为： （10-7）三、环比增减速度与定基增减速度环比增减速度是报告期逐期增减量 与报告期前一期观测值 之比，反映了观测值逐期增减程度的高低，即 （10-8）特别地，环比增减速度等于环比发展速度减1，即 （10-9）定基增减速度是报告期

11、累积增减量 与 固定基期观测值 之比，反映了观测值在给定时期内增减程度的高低，即 （10-10）特别地，定基增减速度等于定基发展速度减1，即 （10-11）此外，平均增减速度等于平均发展速度减1，即 （10-12）由表10-1的蔬菜营业额的时间序列计算增减速度，其结果如表10-2中的第7行和第8行所示。第一节第三节第二节第四节时间序列的构成长期趋势的测定波动性的描述季节波动的测定一、平均移动法时间序列中的各个观测值 由长期趋势 、季节波动 、循环波动 、无规则波动 四个部分构成，如果能从中将季节波动 、循环波动 和无规则波动 剔除，那么剩余的部分就是希望测定的长期趋势。长期趋势测定出来，即可用

12、于对现象未来方向的预测。难易程度不同、适用对象不同的测定方法有很多，移动平均法是其中一种较为常用而简便的方法。移动平均法是将相邻的k个观测值逐项移动进行算术平均，从而得出一个派生的序时的平均数序列，以这个序时平均数序列来代表原时间序列的长期趋势，可用公式表述为： （10-13）其中，移动平均项k须根据原时间序列的特点事先给定，如 或 等。由表10-1的蔬菜营业额的时间序列进行5项移动平均，测定长期趋势的计算结果如表10-3和图10-3所示。移动平均法的基本思想是利用平均数的作用，消除原序列中的无规则波动，从而保留原序列中的长期趋势，此法最适用于无明显周期性的时间序列。移动平均法中的移动平均项数

13、k的确定是一个关键问题，对于一个给定的时间序列，不同的移动平均项数会产生不同的序时平均数序列，其测定效果也是会有所不同的。如何找到一个测定效果最好的移动平均项数在理论上还没有统一的标准。在实践中，通常要注意把握这样几个原则： 尽量选择奇数项，如 或 。选择奇数项后所派生的序时平均数序列，可以刚好与原时间序列的时间取得一致，这会为将来的进一步分析和计算提供不少方便； 如果原时间序列存在着明显的周期性，则应以周期的长短作为移动平均的项数，这样做的目的是利用平均数的作用在消除不规则波动的同时，也能消除周期性波动。如表10-3所示，在进行5项移动平均时，并没有考虑原序列中的季节周期性。因此，从图10-

14、3中可以明显地看出，派生的序时平均数序列并没能完全消除原时间序列中的季节波动，趋势线仍带有周期性痕迹。正确做法应该是根据周期的长短进行4项移动平均，如表10-4和图10-4所示。由于偶数项移动平均后的结果不能与原序列的时间取得一致，因此需要进行调整，再做一次2项移动平均，如表1-4所示。由图10-4中可以明显地看出，与5项移动平均的测定效果相比较，4项移动平均已经基本消除了原序列中的季节性周期，因而更真实地反映了原序列中的长期趋势。二、最小平方法移动平均法最大的优点是测定结果与原序列的关联紧密，具备较强的客观性，不仅适用于直线趋势测定，也适用于曲线趋势的测定。但它也有一个明显的缺陷，即无法得出

15、序列两端的趋势值，因而不便于外推预测。这在一定程度上损失了原序列中的部分信息，而且移动平均项数越大，信息损失越多。当原序列表现出非常明显的长期趋势时，可采用最小平方法，直接给出趋势线方程。利用趋势线方程进行外推预测是比较方便的。趋势线可以是直线，也可以是曲线，直线方程的一般形式为： （10-14）式中，以时间t为自变量，以观测变量 为因变量；a代表趋势直线的截距；b代表趋势直线的斜率。a和b的求解方程为： （10-15）将时间变量t和观测变量 的观测值代入方程组，解得a和b，即可确定趋势直线方程。就表10-1的蔬菜营业额的时间序列，利用最小平方法所测定的趋势直线如图10-5所示，其方程为： （

16、10-16）如果需要第四年第一季度的蔬菜营业额的趋势值，则有 （万元）第一节第三节第二节第四节时间序列的构成长期趋势的测定波动性的描述季节波动的测定一、同季平均法长期趋势的测定结果只能用来预测时间序列和未来变动的趋势值，如果原序列具有明显的季节波动，则应将季节波动的规律性测定出来，再结合长期趋势，更为有效地展开预测。同季平均法是测定季节波动的一种简便方法，适用于水平趋势且不包含循环波动的时间序列，其基本步骤为：（1）编制足够长的时间序列。时间序列越长，所测定出来的季节波动模型就越具有代表性，其实用性就越强。一般至少应包含3个周期的观测值。（2）观察时间序列的波动特征。要注意区分长期趋势的类型、

17、有无明显的季度波动、有无循环波动等特征。例如，某蛋禽加工厂12个季度的产值时间序列如表10-5和图10-6所示。这是一个具有水平趋势的时间序列，无明显循环波动，季节波动明显，包含3个周期的观测值，适合采用同季平均法来测定季节波动。（3）计算同季平均数。计算同季平均数的目的是消除原序列中的无规则波动。由表10-5计算同季平均数，其计算结果如表10-6中的第6行所示。（4）计算序列平均数。计算序列平均数的目的是测定水平趋势，这也能为衡量各个同季平均数的大小提供一个标准。由表10-5计算序列平均数，其结果为17.7，如表10-6所示。（5）计算季节比率。分别将各个同季平均数与序列平均数相比，所得比值

18、称为季节比率。季节比率已将水平趋势从同季平均数中剔除，其结果反映着序列的季度波动的规律性。由表10-5计算季节比率，其结果如表10-6中的第7行所示。（6）绘制季节波动模型，如图10-7所示。如果需要预测第4年第一季度和第三季度的蔬菜营业额，则有： （万元） （万元）二、趋势剔除法如果时间序列具有明显的向上或向下趋势且不包含循环波动，可采取趋势剔除法来测定季节波动。其基本步骤为：（1）编制足够长的时间序列。时间序列越长，所测定出来的季节波动模型就越具有代表性，其实用性就越强。一般至少应包含3个周期的观测值。（2）观察时间序列的波动特征。要注意区分长期趋势的类型、有无明显的向上直线趋势，有无明显循环波动等特征。表10-1中12个季节蔬菜营业额的时间序列，具有明显的向上直线趋势，无明显循环趋势波动，季节波动明显，包含3个周期的观测值，适合采用趋势剔除法来测定季节波动。（3）测定原序列的长期趋势。测定长期趋势的目的是要从原序列中剔