区间邻域集合与实数集课件

1、1集合及其运算实数的性质 小结 作业区间与邻域 第一节 集合与实数集第一章 函数确界与确界原理21. 集合(set)概念与记号具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合与实数集一、集合及其运算 集合元素(简称元)(集)元素(element).集合的通常以大写字母等表示集合,以小写字母等表示集合的元素.否则记记作或3集合分类有限集无限集只含有限个元素;不是有限集的集合.列举法表示集合方法有两种描述法 把集合的全部元素一一列出来, 例考察由下列元素可以用列举法将其表示成列举法有很大的局限性.组成的集合外加花括号.集合与实数集4如:由不超过的奇数组成的集合,其元素有50亿个,要把它们

2、全部写出来,且有很多集合, 其元素是很多纸张!根本无法一一罗列出来.得用很多时间,不可数的, 更常用的是列出规定这个集合特定性质P 的办法来表示集合,就是描述法.花括号中竖线前的x而竖线后是 M 中元素的通用符号,则是 x 所具有的性质.可用列举法表示为的根组成的集合也可用描述法表示为例由方程集合与实数集5注对几个常用的数集规定记号如下数集的字母的数集内排除0的集.“”“”数集内排除0与负数的集.全体非负整数即自然数的集合N即N,全体正整数的集合为N+全体整数的集合记作Z,即Z右上角标上:集合与实数集6全体有理数的集合即QZ,N+全体实数的集合R为排除0的实数集,R+为全体正实数的集.记作Q,

3、记作R,全体复数的集合记作C,即CR,集合与实数集7两个集合一般地,如 则子集则称集合A与B相等,记作则称2. 集合(set)的关系及集合的运算(1) 集合的关系子集,(读作A包含于B)或(读作B包含 A).集合相等记作集合与实数集8如空集.不含任何元素的集合称为则称真子集记作如NZQR.真子集,空集规定空集为任何集合的子集.今后在提到一个集合时,一般都是如不加特别声明,非空集.集合与实数集92. 集合(set)的关系及集合的运算 集合的基本运算有三种:并集,交集,差集.即记作设 A, B 是两个集合,由所有属于A称为A与B的并集,ABAB ,(2) 集合的运算于B元素或者属组成的集合,集合与

4、实数集10称为A与B的记作即交集,由所有既属于A由所有属于A称为A与B的差集,记作即又属于B元素 集合的基本运算有三种:并,交,差.ABAB,组成的集合,而不属于B的元素组成的集合,两个集的并与交可推广到任意多个集推广并与交.集合与实数集11注研究某个问题时所考虑的对象的全体记作例如,则余集或补集.ABAB并用 I 表示,称为全集或基本集,并把差积特别称为A的例如,在实数集R中,集合的余集集合与实数集123. 集合(set)的运算法则为任意三个集合,则下列法则成立:(1) 交换律 AB=BA,AB=BA ;(2) 结合律 ( AB ) C = A ( B C ) , ( AB ) C = A

5、( B C ) ;(3) 分配律 ( AB )C= ( A C )( B C ) , ( AB )C= ( A C ) ( B C ) ;(4) 对偶律(AB)C= AC BC ,(AB)C= AC BC ;集合与实数集13(5) 幂等律AAAA(6) 吸收律A= A,= A;= A,A= 4. 直积 (乘积集或笛卡儿乘积)法国数学家、哲学家(Descartes 15961650年)设 A,B 是两个集合,则称为 A, B 的直积.如,又如,即为xOy面上全体点的集合,常记作即集合与实数集145. 逻辑符号 在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号“ ”表示 “任取 ”, 或“任意给定”.“ ”表

6、示 “存在 ”,“至少存在一个”,或“能够找到”. 如实数的阿基米德 (Archmed) 公理是这样叙述的:任意给定两个正的实数 a,b,都存在一个自然数n,用逻辑符号将阿基米德公理改写:Any(每一个)或All(所有的)的字头A的倒写Exist(存在)的 字头E的倒写练习集合与实数集15符号“ ” 表示 “蕴含 ”,或 “推出”.符号“ ” 表示 “等价 ”,或 “充分必要”.集合与实数集16二、实数的性质实数的性质:1. 实数对加减乘除运算是封闭的;2. 实数是有序的;3. 实数具有稠密性;4. 实数与数轴上的点一一对应.集合与实数集17常用的不等式.(1). 绝对值(absolute v

7、alue)不等式运算性质集合与实数集绝对值不等式18(2). 伯努利(Bernoulli)不等式(3). 平均值不等式用数学归纳法可证上面两个不等式.集合与实数集19三、区间与邻域称为称为开区间,闭区间,1. 区间集合与实数集20称为有限区间无限区间半开半闭区间.全体实数的集合R 也可记作是无限区间.集合与实数集21区间长度的定义两端点间的距离(线段的长度)称为区间的今后在不需要辨明所论区间是否包含有限区间、称它为“区间”,常用I 表示.长度.无限区间的场合,注端点、简单地集合与实数集222. 邻域(neighbourhood) 数集即 邻域, 记作几何表示集合与实数集23 有时简记为去心(空

8、心) 即两个闭区间的直积表示xOy平面上的矩形区域.如,即为xOy平面上的矩形区域,这个区域在x轴与y轴上的投影分别为闭区间和闭区间集合与实数集24四、确界与确界原理对于有限数集,一定有最大值和最小值.如,但对于无限数集,就未必有最大值和最小值.如,没有最大值和最小值.Maximum minimum集合与实数集25定义1: 设E为一非空数集,如果存在数M,使得对则称M是E的一个上界下界若数集E既有上界又有下界,则称E为有界数集,否则就称为无界数集.思考:1. 若数集E有上(或下)界,则其上(或下)界是否唯一?2. 是否任何一个数集都有上(或下)界?集合与实数集26结论:任何一个有限区间都是有界

9、数集,任何一个无限区间都是无界数集.定义2(确界). 设E为一非空数集,若数是E的一个上 界,且对E的任意一个上 界上确界(最小的上界).记作(下)(下)下确界(最大的下界).Supermum infimum集合与实数集27例 设求其上(下)确界.思考:一个有界数集是否一定有上(下)确界?若有,是否唯一?集合与实数集28定理1(确界原理)一个非空有上(下)界的数集必存在上(下)确界.由实数理论可证.定理2(1) 设E是有上界的非空数集,记集合与实数集实数的完备性或连续性(2) 设E是有下界的非空数集,记利用反证法可证.进一步说明上（下）确界是最小（大）的上（下）界29结论：(1) 设E是有上界的非空数集,则(2) 设E是有下界的非空数集,则定义3（确界）集合与实数集30定理3若数集E包含了它的一个上界则例