导数概念以及求导法则

1、关于导数的概念及求导法则第一张，PPT共七十四页，创作于2022年6月 (1). 切线问题: 求曲线 在点 处的 切线第一节 导数的概念另一点 沿曲线 趋向点 时,割线 的极限位置 1 导数的定义所谓曲线 在其上点 处的切线,是指当 上第二张，PPT共七十四页，创作于2022年6月 割线 的斜率:当点 趋于点 时, .如果当 时,上式极限存在,记为 ,即:切线斜率第三张，PPT共七十四页，创作于2022年6月(2). 变速直线运动的瞬时速度问题在时刻 到 的时间间隔内,平均速度如果当 时,上式的极限存在,则 设一物体作变速直线运动，运动的位置函数为 ,求在时刻 的瞬时速度 。 第四张，PPT共

2、七十四页，创作于2022年6月定义1.1 （导数）或若极限不存在,则称 在 处不可导。第五张，PPT共七十四页，创作于2022年6月2.为方便起见， 当 时,也称 在点 处的导数为无穷大.第六张，PPT共七十四页，创作于2022年6月3. 左导数:右导数:函数 在 处可导若左极限存在，类似定义右导数此极限值称为左导数，并称f 在 处左可导，记作：第七张，PPT共七十四页，创作于2022年6月此时对区间I内的任一点 ,都对应着 的一个确定的导数值,于是就构成了I上一个新的函数,这个函数称为原来函数 的导函数,记为即:若函数 f 在区间 I 内的每一点处都可导(若I包含端点，则在左端点右可导，右端

3、点处左可导），则称函数 f 在区间I上可导。第八张，PPT共七十四页，创作于2022年6月例1. 求函数 ( 为常数)的导数. 解:即:例2. 求 ( 为正整数 ) 的导数.解:第九张，PPT共七十四页，创作于2022年6月一般地,当 为任意实数 时,上面的公式也成立.即:第十张，PPT共七十四页，创作于2022年6月例 3. 求 的导数,及它在 处的导数.解:即:类似可得:第十一张，PPT共七十四页，创作于2022年6月例 4. 求 的导数.解:即:特别地:例 5. 第十二张，PPT共七十四页，创作于2022年6月例 6. 解:注：左右导数是研究分段函 数在分段点可导与否的有效工具。第十三张

4、，PPT共七十四页，创作于2022年6月例 7. 设 , 求解:第十四张，PPT共七十四页，创作于2022年6月第十五张，PPT共七十四页，创作于2022年6月曲线 在点 处的切线的斜率。2.导数的几何意义：曲线 在点 处的左侧（右侧）切线的斜率。若函数 f 在 处不可导，但单侧导数存在，则第十六张，PPT共七十四页，创作于2022年6月例 10. 求曲线 在点 处的切线和法线方程解: 切线斜率:切线方程为:即:法线方程为:即:第十七张，PPT共七十四页，创作于2022年6月例11讨论函数 在点 处的连续性和可导性及相应的曲线在点 处切线的 存在性。第十八张，PPT共七十四页，创作于2022年

5、6月即 存在,于是由 , 得:3.可导与连续的关系定理1.1 这表明,在 处连续.设函数 在 处可导，第十九张，PPT共七十四页，创作于2022年6月左可导左连续右可导右连续区间I上可导区间I上连续逆命题不成立：亦有处处连续但处处不可导的函数。第二十张，PPT共七十四页，创作于2022年6月例13. 解:第二十一张，PPT共七十四页，创作于2022年6月第二十二张，PPT共七十四页，创作于2022年6月第二节 求导的基本法则1.基本初等函数的求导公式第二十三张，PPT共七十四页，创作于2022年6月2.四则运算定理 2.1 设函数 在点 处可导,则函数在点 处也可导,且 第二十四张，PPT共七

6、十四页，创作于2022年6月证明:仅证（3）第二十五张，PPT共七十四页，创作于2022年6月注: 和与积的导数公式可以推广到任意有限多个函数.例如:第二十六张，PPT共七十四页，创作于2022年6月例1. 求下列函数的导数：解:第二十七张，PPT共七十四页，创作于2022年6月第二十八张，PPT共七十四页，创作于2022年6月类似地可得例 2. , 求解:第二十九张，PPT共七十四页，创作于2022年6月类似地可得例 3. 解:例 4. 解:故第三十张，PPT共七十四页，创作于2022年6月例5. 解:第三十一张，PPT共七十四页，创作于2022年6月定理2.2 设函数 在区间 上单调连续，

7、2.反函数的求导法则 2:定理表明反函数的导数等于直接函数在相应点处的导数的倒数 注1:后面将证明若在I上 ，则 f 是 I上 的单调连续函数。第三十二张，PPT共七十四页，创作于2022年6月解: 的反函数为于是解:第三十三张，PPT共七十四页，创作于2022年6月同理可得: 的反函数为于是第三十四张，PPT共七十四页，创作于2022年6月定理2.3(链式法则）或3.复合函数的求导法则第三十五张，PPT共七十四页，创作于2022年6月证明：第三十六张，PPT共七十四页，创作于2022年6月即:注：此为求导法则中最重要的公式，可推广到 任意有限个情形。应用时要看清复合层次， 求导时要由外向内逐

8、层求导，不重复， 不遗漏。第三十七张，PPT共七十四页，创作于2022年6月例 8 , 求 .例9解:解第三十八张，PPT共七十四页，创作于2022年6月例10. 求下列函数的导数:解 (1) 当 时,因而当 时,第三十九张，PPT共七十四页，创作于2022年6月第四十张，PPT共七十四页，创作于2022年6月例11. 求下列函数的导数:第四十一张，PPT共七十四页，创作于2022年6月第四十二张，PPT共七十四页，创作于2022年6月其中 可导.第四十三张，PPT共七十四页，创作于2022年6月4.初等函数的求导问题一切初等函数的求导问题都解决，可导的初等函数的导函数仍为初等函数。基本的求导

9、公式表：第四十四张，PPT共七十四页，创作于2022年6月第四十五张，PPT共七十四页，创作于2022年6月例12. 求下列函数的导数:第四十六张，PPT共七十四页，创作于2022年6月第四十七张，PPT共七十四页，创作于2022年6月此为对数求导法，当所求导的函数为连乘积函数或幂指函数时，可考虑用此法。第四十八张，PPT共七十四页，创作于2022年6月 习题2.1 P.87-892.(4) 3. 4. 6. 8. 10.(1) 11.(1)(3)(4)(5)(6) 12.(2)(4) 13 14 16 23.(2)(4)(5)(6)(9)(12)(14)(15)(19)(20)(21)24.

10、(2)(3)第四十九张，PPT共七十四页，创作于2022年6月5.高阶导数 或 或即:如果 的导函数 在 处可导， 第五十张，PPT共七十四页，创作于2022年6月类似地定义 的二阶导数 在点 的导数为或 或在点 的三阶导数,记作:一般地, 的 阶导数 在点 的导数称为在点 的 阶导数( 简称为 阶导数),记作:或 或第五十一张，PPT共七十四页，创作于2022年6月二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数,函数第五十二张，PPT共七十四页，创作于2022年6月例13.求下列函数的 阶导数:解:一般地,可得:第五十三张，PPT共七十四页，创作于2022年6月特别,特别,第五十四张，PPT共七十四页，

11、创作于2022年6月一般地,可得:类似地,可得:第五十五张，PPT共七十四页，创作于2022年6月定理2.4第五十六张，PPT共七十四页，创作于2022年6月例 14. ,求 .解: 设 则于是,第五十七张，PPT共七十四页，创作于2022年6月解:例15. 求下列函数的 n 阶导数:第五十八张，PPT共七十四页，创作于2022年6月例16. 解:p2x,16cos)1()2(xxynn-=第五十九张，PPT共七十四页，创作于2022年6月6.隐函数求导法显函数隐函数链式法则第六十张，PPT共七十四页，创作于2022年6月例17第六十一张，PPT共七十四页，创作于2022年6月解：方程两边对

12、求导，得：在点 处切线斜率 法线斜率 因此所求切线与法线方程分别为 与例18第六十二张，PPT共七十四页，创作于2022年6月解：应用隐函数的求导法 , 得 上式两边再对 求导,得:例19第六十三张，PPT共七十四页，创作于2022年6月7 . 由参数方程确定的函数的求导法则第六十四张，PPT共七十四页，创作于2022年6月第六十五张，PPT共七十四页，创作于2022年6月求解:例20. 设第六十六张，PPT共七十四页，创作于2022年6月故所求的切线方程为：与相对应的点为例21.已知三叶玫瑰线时，求曲线上相应点处的切线方程。解：第六十七张，PPT共七十四页，创作于2022年6月8 . 相关变

13、化率（自学内容）相关变化率第六十八张，PPT共七十四页，创作于2022年6月 例22. 一气球从离开观察员 500米处离地面铅直上升 其速率为 140 米/秒 。当气球高度为 500 米时 ，观察员视线的仰角增加率是多少 ？解：设气球上升 t 秒后其高度为 h ，观察员的仰角其中都是时间 t 的函数。第六十九张，PPT共七十四页，创作于2022年6月上式两边对 t 求导，得 ：即观察员视线的仰角增加率是 0.143 弧度/秒 。代入上式得第七十张，PPT共七十四页，创作于2022年6月 例 23. 甲船向正南乙船向正东直线航行 , 开始时甲船恰在乙船正北 40 km处 , 后来在某一时刻测得甲船向南航行了 20 km , 此时速率为 15km/h ;乙船向东航行了15 km , 此时速率为 25km/h 。问这时两船是在分离还是在接近 ，速率是多少 ？ 上式两边对 t 求导 ，得 解：如图 ，设在任一时刻 t 甲船航行的距离为 x (t)，乙船航行的距离为 y(t) ，两船的距离为 z(t) , 则第七十一张，PPT共七十四页，创作于2022年6月已知 :