《弹性力学》经典试题

1、 弹性力学试题参考答案一、填空题（每小题4分）最小势能原理等价于弹性力学基本方程中：平衡微分方程,应力边界条件。组可能的应力分量应满足：平衡微分方程,相容方程（变形协调条件）。等截面直杆扭转问题中，2申dxdy=M的物理意义是杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆D截面内的扭矩M。平面问题的应力函数解法中，Airy应力函数9在边界上值的物理意义为边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩。5弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：1b+X=0,二（u+u）。j，j1i2i,jj,i二、简述题（每小题6分）试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用.圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的

2、面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理.图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数9的分离变量形式。(a)y题二（2）图9(x,y)=ax2+bxy+cy29(r,0)=r2f(0)(b)9(x,y)=ax3+bx2y+cxy2+dy39(r,0)=r3f(0)图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P,板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E、泊松比卩已知。试求薄板面积的改变量AS。题

3、二(3)图设当各边界受均布压力q时，两力作用点的相对位移为Al。由=E(1)q得,q、；a2+b2,Al=E、：a2+b2=(1Li)E设板在力P作用下的面积改变为AS，由功的互等定理有：q-AS=PAl将Al代入得：1iniAS=P、a2+b2E显然，AS与板的形状无关，仅与E、R、l有关.图示曲杆，在r=b边界上作用有均布拉应力q,在自由端作用有水平集中力P。试写出其边界条件(除固定端外)。题二图(1)b=q,Tq=0；rr=br=b(2)b|=0,rr=ar0(3)Jbbdr=Pcos0a0Jbtdr=Psin0r0aJbbrdr=Pcos00a试简述拉甫(Love)位移函数法、伽辽金(

4、Galerkin)位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想,并指出各自的适用性Love、Galerkin位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想：变求多个位移函数u(x,y),v(x,y),w(x,y)或作(r,0),u0(r,0)为求一些特殊函数，如调和函数、重调和函数。变求多个函数为求单个函数(特殊函数)。适用性:Love位移函数法适用于求解轴对称的空间问题；Galerkin位移函数法适用于求解非轴对称的空间问题。二、计算题1图示悬臂梁，受三角形分布载荷作用，若梁的正应力由材料力学公式给出，试由平衡微分方程x求出T,Q，并检验该应力分量能否满足应力表示的相容方程。xyy（12分）题三（2）

5、图解：（1）求横截面上正应力oxq任意截面的弯矩为M=-6截面惯性矩为i=h3，由材料力学计算公式有My2qo=0 x3yxIIh3(1)（2）由平衡微分方程求T、xy平衡微分方程:Qt+輕+X=0QyQo+丨+Y=0X-QxQtyxQxQy其中，X=0,Y=0。将式（1）代入式（2）,有Qt=0 x2ylh3积分上式，得Txy4x2y2+f(x)Ih31利用边界条件：Txyy=4x2h2+f(x)=04lh31f(x)=-4x2h214lh3T=红x2(y21h2)xyIh34将式（4）代入式（3），有6qiQb亦x(Y2-422F二0Qb或石一聲x(Y2-422)积分得x(害-422Y)+

6、以x)利用边界条件:HY=-2qb=-tX，Y二0丄hY=+2得：半X1/由第二式，得-象x(-24+823)+F2(x)=-譽x(24-823)+F2(x)=0将其代入第一式，F2(X)一IT得自然成立.qqq一2lX一2X二一于X将f2(x)代入cy的表达式，有by=-將x(斗-422y)-細5)=my所求应力分量的结果：2q0X3Ylh36)Txyby=-將x(斗一422Y)一itx校核梁端部的边界条件：(1)梁左端的边界(x=0)：12b|dy=0,一hxx=02f2tdy=0-hxyx=02代入后可见:自然满足。(2)梁右端的边界(x=l):dy=xx=lxydy=x=l2qx30I

7、h3h3qx220-hlh3ydy=0 x=l(y2-竽)dyql0-2x=lxx=lydy=2qx3olh3dy=-2q13o3lh3x=l可见，所有边界条件均满足。检验应力分量b,T,b是否满足应力相容方程:xxyy常体力下的应力相容方程为V2(b+b)=(娶xyex2+)(b+b)=0ey2xy将应力分量b，T，b式(6)代入应力相容方程，有xxyye2ex2(b+b)=xy12qah皀(bQy2x12qihxyV2(b+b)=(-+)(b+b)=-24q0 xy丰0 xyQx2Qy2xylh3显然，应力分量b,T,b不满足应力相容方程，因而式(6)并不是该该问题的正确解。xxyy一端固

8、定，另一端弹性支承的梁，其跨度为l,抗弯刚度EI为常数，梁端支承弹簧的刚度系数为k梁受有均匀分布载荷q作用，如图所示。试：构造两种形式(多项式、三角函数)的梁挠度试函数w(x)；用最小势能原理或Ritz法求其多项式形式的挠度近似解(取1项待定系数)。(13分)解:两种形式的梁挠度试函数可取为w(x)=x2(A+Ax+Ax2+)多项式函数形式123三角函数形式礼*2m兀x.w(x)=yA(1一cos)m1m=1此时有：w(x)=x2(A+Ax+Ax2+)1=0123x=0wf(x)=2x(A+Ax+Ax2+123)+x2(A+Ax+3)|=0 x=0/、y彳/12m兀xw(x)=A(1一cos)

9、m1m=1x=01.2m兀xsinm2m兀1m=1即满足梁的端部边界条件。梁的总势能为w，(x)=工A=0 x=0n=2J0EI2dx-J1qw(x)dx+kw(1)102取：w(x)=Ax2,有d2w盂=2Aw(l)=Al21代入总势能计算式,有n=-J1EI(2A)2dx-J1qx2Adx+k(Al2)22010121=2EIlA2-1由sn=o，有4叫叫4-313=0A=3(4EI1+k14)代入梁的挠度试函数表达式，得一次近似解为q13w(x)=0 x23(4EI1+k14)=0，力.3.已知受力物体内某一点的应力分量为：b=0,b=2MPa,b=IMPa,t=IMPa,txyzxyy

10、ze=2MPa,试求经过该点的平面x+3y+z=1上的正应zx（12分）解：由平面方程x+3y+z=1,得其法线方向单位矢量的方向余弦为i=v12+32+12113_312+32+12A11_1=3ij201nTH丄卩=k73】=29=2.64MPa111112_T31】1203201丄弹性力学课程考试试卷学号：姓名：工程领域：建筑与土木工程题号一二三四五总分得分考试时间：120分钟考试方式：开卷任课教师：杨静日期：2007年4月28日一、简述题（40分）试叙述弹性力学两类平面问题的几何、受力、应力、应变特征,并指出两类平面问题中弹性常数间的转换关系.弹性力学问题按应力和位移求解,分别应满足什

11、么方程？写出直角坐标下弹性力学平面问题的基本方程和边界条件？写出弹性力学按应力求解空间问题的相容方程.求解弹性力学问题时,为什么需要利用圣维南原理?试叙述位移变分方程和最小势能原理,并指出他们与弹性力学基本方程的等价性？试判断下列应变场是否为可能的应变场？（需写出判断过程）=C(x2+y2)，=Cy2，丫=2Cxy.xyxy试写出应力边界条件：1）（a）图用极坐标形式写出；（2）（b）图用直角坐标形式写出.q(b)图(a)图二、计算题（15分）已知受力物体中某点的应力分量为:b=0,b=2a,b=a,t=a,t=0,t=2a。xyzxyyzZX试求作用在过此点的平面X+3y+Z=1上的沿坐标轴

12、方向的应力分量，以及该平面上的正应力和切应力.三、计算题（15分）图示矩形截面悬臂梁，长为l，高为h，在左端面受力P作用不计体力,试求梁的应力分量。（试取应力函数9=Axy3+Bxy)四、计算题（15分）图示半无限平面体在边界上受有两等值反向,间距为d的集中力作用，单位宽度上集中力的值为P,设间距d很小.试求其应力分量,并讨论所求解的适用范围。（试取应力函数9=Asin29+BO）五、计算题（15分）如图所示的悬臂梁，其跨度为l。抗弯刚度为EI,在自由端受集中力P作用。试用最小势能原理兀x求最大挠度。（设梁的挠度曲线W=A（1-cos）弹性力学试题(答题时间:120分钟)班级姓名学号题号-一一

13、-二二三总分(1)(2)(3)(4)得分一、填空题(每小题4分)TOC o 1-5 h z用最小势能原理求解时所假设的位移试函数应满足:。弹性多连体问题的应力分量应满足，,，.3拉甫(Love)位移函数法适用空间问题；伽辽金(Galerkin)位移函数法适用于空间问题.圣维南原理的基本要点有,。有限差分法的基本思想为：,。二、简述题(每小题5分)试比较两类平面问题的特点,并给出由平面应力到平面应变问题的转换关系。试就下列公式说明下列问题：单连体问题的应力分量与材料的弹性常数无关；多连体弹性力学问题中应力分量与弹性常数无关的条件.右+q=2(z)+0(z)L4Re(z)TOC o 1-5 h z

14、Xy1r11a-c+2iT=2lz0(z)+屮(z)Jyxxy11申(z)=-_(X+iY)ln(z-z)+申(z)18兀kkk1*屮(z)=(X-iY)ln(z-z)+屮(z)18兀kkk1*1k=1式中：申(z)，屮(z)均为解析函数;申(z)，屮(z)均为单值解析函数。111*1*试列写图示半无限平面问题的边界条件。题二(3)图图示弹性薄板，作用一对拉力P。试由功的互等定理证明：薄板的面积改变量AS与板的形状无关,仅与材料的弹性模量E、泊松比卩、两力P作用点间的距离I有关.题二(4)图5.6.下面给出平面问题(单连通域)的一组应变分量，试判断它们是否可能。=C(x2+y2),=Cy2,丫=2Cxy。xyxy等截面直杆扭转问题的应力函数解法中，应力函数(x，Y)应满足:V2申=-2GK式中:G为剪切弹性模量；K为杆件单位长度扭转角。试说明该方程的物理意义。二、计算题1.图示无限大薄板，在夹角为90的凹口边界上作用有均匀分布剪应力q.已知其应力函数为:甲=r2(Acos20+B)不计体力，试求其应力分量。(13分)图示矩形截面杆，长为L,截面高为H,宽为单位1,受偏心拉力N,偏心距为e,不计杆的体力。试用应力函数9=Ay3+By2求杆的应力分量，并与材料力学结果比较。（12分