高等代数教案北大版第八章

1、授课内容第八章 入矩阵 第一讲 入矩阵教学时数2学时授课类型讲授法与练习法教学目标使学生了解 九-矩阵的概念，以及 九-矩阵和数字矩阵的关系，基本掌握Z-矩阵秩的判断，可逆的条件，以及求逆矩阵。教学重点九-矩阵秩的判断，可逆的条件，以及求逆矩阵。教学难点求九-矩阵的逆矩阵教学方法与 手段启发式讲授，讨论，练习教 学 过 程n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量 .那么当只有n（mn）个线住无关的牛!征向量时，A与对角阵是不相似的.对这种情 况，我们“退而求其次”，寻找“几乎对角的矩阵来与A相似.这就引出了矩阵在相似下的各种标准型问题 .Jordan标准型是最接近对角的矩阵

2、并且其有关的理论包含先前有关与对角 阵相似的理论作为特例.此外，Jordan标准型的广泛应用涉及到Hamilton-Cayley定理的证明，矩阵分解，线性微分方程组的求解等等.由于Jordan标准型的求解与特征多项式有关，而从函数白角度看，特征多项 式实际上是特殊的函数矩阵（元素是函数的矩阵），这就引出对 九-矩阵的研究.一、九-矩阵及其标准型定义1称矩阵A（九）（fj （九）为九-矩阵，其中元素fj（K）（i=1,2|,m;j =1,2,|,n）为数域F上关于九的多项式.定义2 称n阶九-矩阵A（九）是可逆的，如果有A（九）B（九）=B（?u）A（“=In并称B（九）为A（九）的逆矩阵.反之

3、亦然.定理1矩阵A（K）可逆的充要条件是其行列式为非零的常数，即det(A( ) = c = 0.证明：(1)充分性设|A(九广d是一个非零的数.A*(九)表示A(A)的伴随矩阵，则d -1A* (九)也是一个 九-矩阵，且有1 *1*A d A p. ) = d A A*、)= I因此，A(7J是可逆的.(2)必要性设A(九)有可逆矩阵B( X)，则A B = I两边取行列式有A(“B(7/ = |l| = 1由于|A(八与同“都是多项式，而它们的乘积为1,所以它们都是零次多项式 即都是非零常数.证毕.例题1判断九-矩阵%2+1 2 九1、A(九尸九十1九 B( ) ，此时，B( a中那些包

4、含i行与j行的阶子式和 那些不包含i行的k阶子式都等于 A儿)中对应的k阶子式；B( K)中那些包含i 行但不包含j行的k阶子式，按i行分成两个部分，而等于 A K)的一个k阶子式 与另一个k阶子式的土义儿)倍的和，,也就是A7J的两个k阶子式的线性组合 所以，f( K)是的k阶子式公因式，从而f(九)| g(九).对于列变换，可以一样地讨论.总之，A(九)经过一系列的初等变换变成蜕K)，那么f(孙。九).又由于初等变换的可逆性，R儿)经过一系列的初等变 换可以变成A(K),从而也有gpj| f( Z).当A九)所有的阶子式为零时，B(九)所有的k阶子式也就等于零；反之亦然 故A(儿)与蜕K)

5、又相同的各阶行列式因子，从而有相同的秩.证毕.既然初等变换不改变行列式因子，所以，每个九-矩阵与它的标准型有完全相同的行列式因子.而求标准型的矩阵是较为简单的，因而，在求一个九-矩阵的行列式因子时，只要求出它的标准型的行列式因子即可.讨论、练习与作业课后反思授课内容第二将 人-矩阵在初等变换下的标准型教学时数2授课类型讲授课教学目标了解九-矩阵的初等变换，掌握求标准型的方法， 掌握最小多项式的概念和 求最小多项式的方法。教学重点求标准型的方法和最小多项式的求法教学难点求九-矩阵标准型的方法教学方法与 手段课堂讲授，辅以提问、练习教 学 过 程一、九-矩阵的初等变换。定义1卜面的三种变换叫做 九

6、-矩阵的初等变换：(1)矩阵的两行(列)互换位置；(2)矩阵的某一行(列)乘以非零的常数C;(3)矩阵的某一行(列)加另一行(列)的小(九)倍，(九)是一个多项式。初等变换都是可逆的，并且有p(i, j),= p(i,j),p(i),= p(i(c),p(i,j(), = p(i,j(*)。为了写起来方便起见，我们采用以下的记号：i, j代表i, j行(列)互换位置；i(c)代表用非零的数c去乘行(列)；i + j()代表把j行(列)的小(九)倍加到i行(列)。定义2人-矩阵A(九)称为与B(K)等价，如果可以经过一系列初等变换将A(九)化为B(%)。等价是九-矩阵之间的一种关系，这个关系，显

7、然具有下列三个性质：反身性：每一个 九-矩阵与自己等价。对称性：若AQ）与B（Q等价，则B（K）与A（K）等价。这是由于 初等变换具有可逆性的缘故。传递性：若 A。）与B。）等价，B（K）与C（九）等价，则AQ）与C（九）等价,引理 设九-矩阵A（九）的左上角a11（人）0,并且A（，“）中至少有一个元素不能被它除尽，那么一定可以找到一个与A（九）等价的矩阵B（九），它的左上角元素也不为零，但是次数比a11a）的次数低。定理2任意一个非零的sn的九-矩阵A（九）都等价与下列形式的矩阵d（九）d2（*J*dr（%）0 +:.0 一最后化成的这个矩阵称为A（八）的标准形。例求九-矩阵A()=nn

8、2n1 九九九hfij-h的标准型.- 二 2n 2r. 2I 1十九九一九1J解21九九-1 2口、1九九J 00 A(0 九一九T0九一九T0九0/1 22 2入一九1一-2-100 一九一儿,210 0九十九J即为所求的标准型二、矩阵最小多项式定义3：设Aw Mn（K）是一个矩阵，如果多项式mm 1f （） = a0 - a- am j 1 - am使得：f （A） -aoAm - a1Am,- amJA - amEn = 0则称f （九）是A的零化多项式。A的次数最小的首一零化多项式称为A的极小多项式（minimal polymial ），记为 mA（7J。引理2： mA（九）整除A的

9、任意零化多项式。特别的mA（? ） | fA）。证明 设f（K）是A的任一零花多项式，则 f（A）=0。由带余除法定理可知f （7） = mA（K）q（?u） +r（九），r（Q = 0或 （r（儿） S0（mA（X）。由 r（A） = 0及力（mA（ K）的最小性知r （九）=0mA。）3。）引理3： mA。的根必是fA（-）的根。证明 若A有特征根 /不是mA（九）的根，则（九九0,mA） =1。二存在u（7）,v（） w Cu使彳导 u（K）（九-） +v（九）mA（九）=1二u（A）（A %Im） = In,取行列式知det（A 九0Im）=0与均是A的特征根矛盾。由引理1、2知仃（九

10、）与fA（九）有相同的根。引理4例1设相似矩阵有相同的最小多项式，反之不真。00 B =001 0 0、0 0 00 0 00 0 0；0 10 00 0 0 0 A 0 0 0 1mA。、）= mB （勾=九2,但A、B不相似。引理5设A为n阶方阵且A相似于出B2B =) =mB(Q, mB2(Q。定理3设Aw Mn(C)sfA() =( - i)r1( - 2)r2L( - i)ri/ ri =ni 1则 mA)=(九%)1(九%)t2LLa ,其中 1Mti ri，1i s.由引理1、2即得结论。气-1 0、A= 0 2 0 ,求 mA(Z)-1 2fA。=（九3）（九2）2 ,二mA（

11、九）只能是下两个多项式之一，即m（九）=（3）（九一2）,m2（儿）=（-3）（九2）2将A带入明仕）得明（九）=0,故 mA。.）=（九一3）。一2）。定理4mA（2）= fA（A） ,Dn（K）为A的n-1阶行列式因子。Dn式）可根据如下方法求出 Dn（九）。因 为 （fA（九）一 fA（u），记 r （九,u）= fA（：） - fA（u）故一 ufA（K） 一 fA（u） = （九一u）r（%u）,分别以 川 与A 代九和ui得fA（K）I =（九 I 一 A）r （九I ,u）得 r。-1 一 A）=（川 一 A ）（A 表小 A 的伴随矩阵。而Dni（九）恰为（川-A*）的所有元素

12、的首一最大公因式故用上述方法可求出A的最小多项式）。例4设3 32 ）A=|1 5-2 求mAa）。1-1 30 J解fA（，u）=（九2）2（九4）r （八,u） = A （：）A（U）= u2 + u（九一 8） 十 九2 8九 + 20九u（九 25 人+63九+ 6*2_2_2_，（川一A ） =A2+A（八一8）十（九2 8九十 20）1一九十2九 23九十2- -八-2九十23九+ 6九显然（九I -A ）中所七儿系自一取大公因式Dn（丸）九一2mA。）一（九 2）（九 4）口2（7-）讨论、练习与 作业课后反思2 -4-8九+ 12 ,24授课内容第三讲/、变因子教学时数2授课类

13、型讲授、互动教学目标通过2学时的讲授，使学生基本掌握线性变换的矩阵表示方法和来源，了 解矩阵和线性变换的这种等价关系，掌握/、变因子的求法。教学重点入一矩阵的标准型和不变因子教学难点入一矩阵不艾因子的求法教学方法与 手段课堂讲授、练习教 学 过 程一、 矩阵表小设V和 W 都是数域 F上的有限维向量空间，dimV=n , dimW=m , o- CHom(V , W).b完全被它在V的一个基上的作用所决定.因此在V中取一个基31, ,an ； 同时，在W中取一个基P1, ，口m,则仃01，。依马由P1,% ,Pm线性表示 为6(31) =a1101 +a21P2+amFm j3(Ctn) =a

14、1nP1 +a2np2 +a amn m,1、, (1)将此写成矩阵形式，并令丁即出，%)=(仃g),仃令2),产包),则得a11a1n。(口1, Un)=(P1, Pm) a2-1a2,nn的同构映射，记作 Hom（V , W）Fm沏.证 前面已证中是到Hom（V , W）到FmM的双射.现在来证明中保持加法与 纯量乘法运算.任取仃,丁 C Hom（V , W）,设邛（q）=A,邛（力二B ,即仃&，,）=（瓦，Pm）A,似3,）=（0,，Bm）B ,则（二- .）（：1, ,： n）=（二.）（；1）, ,（二.）（：?）=（二（），二（：）（：1），（：n）= （：m）A （：1，：m）

15、B=（：1，一 m）（A B（3）这表明E诳基%和基Pi下的矩阵是A+B.因此邛（o+ T 尸A +B=。（0）+5（T ）.类似可证 中*仃）=5=心（仃），其中kC F.因此，中是Hom（V , W）到F m坨 的同构映射.再注意到定理7.1.2,则有推论 设dimV=n , dimW=m ,则Hom（V , W）是有限维的，并且dimHom （V , W）=dimV dimW.（4）当知道V到W的线性映射。在基j 和基Pi 下的矢1阵A之后，V中任一向量a在5下的象很容易求出，即有命题 设必,，%是V的一个基，*,，Pm是W的一个基，仃CHom（V,W),且0在基叩和基pi下的矩阵为A.

16、又V”,Xi CV,设a在基叼下的坐标为：，则仃Q)在基快下的坐xKnJ标为A 1n ；证我们有a(a) =x1cr(a1) + +xncr(an)=，ZXi、，Xi、 Xi 、HCti,Ctn) ： =(Pi,，Pm)A) ： =(Pi,，Pm) A.Xnn J心J:tn),Xi 因此，A :是a(a)在基Pi,，口下的坐标.、Xn J推论 设V到W的线性映射仃在基口 j和基Pi 下的矩/ 、Xi阵为A, V中小-向量a在基%下的坐标为X= : , W中向量不Xn J在基Pi下的坐标为 Y=:，则仃()=尸U AX =Y . kyn J现在我们来讨论 n维向量空间V上的线性变换与矩阵的关系.

17、设ctC EndV,我们把上面关于线性映射与矩阵的关系运用到V上的线性变换中.这时，只需在V中取定一个基 支i,， ,把基向量豆j在仃下的象仃(四)仍然用这 个基线性表出，即( 、 aiiain,、，、a2ia2n,、Wi,8)=(3，):,(5)a niann /右端的n阶矩阵A= (aij )nn叫做线性变换。在基0(i，On下的矩阵.定理2 设V是数域F上n维向量空间，在V中取定一个基0tl，Un ,则V上的每一个线性变换与它在基%,，下的矩阵的对应 9是向量空间EndV到Mn(F)的同构映射，也是环 EndV到Mn(F)的同构映射.证 后半部分中邛是双射，保持加法也已证明，剩下只要证中

18、保持乘法.设线性变换 施基8，Un下的矩阵分别是 A, B,则仃（四，,otn） =（s，O（n）A , T（1，0n） = 3，,O（n）B .因为（二）（:1-，：n）=；:（.（：1, , ： n） =C-（：1,， n）B） nnnn-；（二： bi1 = i J ,： bin -i） =（；： bi1 二（1 i）,，1： bnC（.：Si） i 4i 1i 4i 4= （o-（a1）,* ,（1V） =In.同理 BA=In .所以 B=A - 1 .反过来，设仃T A ,而A可逆，则有 EEndV使7T a.于是In =AA=中（5 ）,从而易见 5 =1v .同理可证 B=1v

19、 .所以O可逆，且仃.命题 设V是数域F上n维向量空间，仃 EndV .若仃在V的基U1,，4 下的矩阵为 A , a V在基必，”下的坐标为 X,则仃）在基 四,，$下的坐标为AX .二、不变因子现在来证明，九-矩阵的标准形是唯一的。为此，我们引入定义2设九-矩阵A（K）的秩为r ,对于正整数k, 1 k .） , d2（九），dr。是首项系数为1的多项式，且dig） |df （九）（i =1,2，r 1）。不难证明，在这种形式的矩阵中，如果一个k级子式包含的行与列的标号不完全相同，那么这个k级子式一定为零。因此，为了计算k级行列式因子，只要看由ii,i2,，ik列（1 Wii i2（l 2

20、ri0 九一九 一九0 _九 九一1_100一堂T 01九2C2 Mc3一n n n 20 一九九一九32不变因子di （劫=1, d2 （4=1, d3（九）=九一九十九。讨论、练习与作业课后反思授课内容第五讲 人-矩阵的初等因子教学时数2授课类型讲授课教学目标了解九-矩阵的初等因子的定义， 初等因子与不变因子的关系， 掌握初等因子的求法。教学重点初等因子与不变因子的关系，掌握初等因子的求法教学难点初等因子的求法教学方法与 手段课堂讲授，辅以提问、练习教 学 过 程这一节与下 T.中我们假定讨论中的数域P是复数域。上面已经看到，不变因子是矩阵的相似小变量。为了得到若当标准形，再引入定义1把矩

21、阵A （或线性变换 A ）的每个次数大于零的不变因子分解成 互不相同的一次因式方哥的乘积，所有这些一次因式方哥（相同的必须按出现 的次数计算）称为矩阵 A （或线性变换A）的初等因子。例1设12级矩阵的小变因子是1,1（9个）,（x-i）2（x+i）,（九i）2（九+i）a2+1）2。按定义，它的初等因子有 7个，即（1）2, （1）2,（九1）2,（九+1）, （i）2,（九十 i）2。其中（九一1）2出现三次，（九十1）出现二次。现在进一步来说明不变因子和初等因子的关系。首先，假设n级矩阵A的/、变因子d1,d2（九）,，dnP）为已知。将di （九）（i =1,2,，n）分解成 互小相同

22、的一次因式方帚的乘积：d1（K）=（九-）k11 （九-）k12（九r）k1r,d2四=（一（产（%）k2r，04 口!L & !1. dnQ）=（儿九1）kn1 （九K2）kn2（九%）knr ,则其中对应于 之1的那些方哥 k（ - - j） j（kj -1）就是A的全部初等因子。我们注意不变因子有一个除尽一个的性质，即di）|di中（八）（i=1,2,，n1）,从而k：k i ：C； %）|（-j）（i =1,2,n-1;j =1,2,，r）。因此，在d1（Z）, d2（Z），dn（K）的分解式中，属于同一个一次因式的方哥的指数有递升的性质，即k1j * Wknj（j =1,2,，r）。

23、这说明，同一个一次因式的方哥作成的初等因子中，方次最高的必定出现在dn（K）的分解中，方次次高的必定出现在dn二（九）的分解中。如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的方哥的初等因子在不变因子的分解式中出现的位置是唯一确定的。上面的分析给了我们一个如何从初等因子和矩阵的级数唯一地作出不变因子的方法。设一个 n级矩阵的全部初等因子为已知，在全部初等因子中将同一个一次因式（儿-%） （j =1,2，r）的方哥的那些初等因子按降哥排列，而且当这些初等因子的个数不足n时，就在后面补上适当个数的1,使得凑成n个。设所得排列为knjkn _Ljk1 j（九一%）,（九%），（九九j）（j =12 ,r）。于

24、是令di（ ） =（一1之（-2）ki2 （-r）kir （i =1,2, ,n）则dKK）, d?（九），dn （九）就是A的不变因子。这也说明了这样一个事实：如果两个同级的数字矩阵有相同的初等因子，则它们就有相同的不变因子，因而它们相似。反之，如果两个矩阵相似，则它们有相同的不变因子，因而它们有相同的初等因子。综上所述，即得定理1两个同级矩阵相似的充分必要条件是它们有相同的初等因子。引理A()f1()g()0=I0f2(九)g2(九)一如果多项式fi()B()= ：f2*）g1（K）0【一，0 早九版什）f2（九）都与gi（X） , g2（九）互素,则A（九）与B（Q等价。卜面的定理给了我

25、们一个求初等因子的方法，它不必事先知道不变因子。定理2 首先用初等变换化特征矩阵 九E-A为对角形式，然后将主对角线 上的元素分解成互不相同的一次因式的乘积，则所有这些一次因式的方哥（相同的按出现的次数计算）就是A的全部初等因子。一000010，求羽A的初等因子。解方法 1： D1(Z) =1,D2(九)=1, 口3。)=1, D4=(九九 0)4,则不变因子di(%)=1, d2(Q=1d3()=1, d4 (，-) = (九一九0)4初等因子为（八一）4。方法2:一 0-1000，0-10001一 0-1000 -0课后反思-1九-及001初0-10300九A0-1000九0一1000初

26、0 （九一九0）之-10i 00九一九0-1000儿一九0一10 001初010000 10：0 0 0 （九-%）4初等因子为（九一八0）4。一460例3 A= 3 5 0，求儿IA的初等因子。-3 -6 1_一九-4-60 解 KI A=3 九+5036九一1_一1001初n00 九1000（九1）（九+2） j所以初等因子为 九一1,九1,九+2。1讨论、练习与 作业授课内容第六讲若当标准形式理论简介教学时数2授课类型讲授、互动教学目标了解若当标准型的定义，掌握若当标准型的求法教学重点若当标准型的求法教学难点若当标准型的求法教学方法与 手段课堂讲授、练习教 学 过 程我们用初等因子的理论

27、来解决若 形的初等因子。不难算出若当块Jo =1的初等因子是（儿%）n。事实上，考虑它的特征矩阵九E - J。= 显然|布一 Jo 1 =（九-九0）n ,这就;由于 布J。有一个n 1级子式是当标准形的计算问题。首先计算若当标准“%000-1工000100 A. , ,.A A,0。1 2f，-九0000一1九一九0000-1-00。 A A. . , A A A A00-1九一九0一是KE Jo的n级行列式因子。-1q q * -八一为00 1所以它的n_1级行列式因子000是-100 A. , - , ,0-1九一九000-1 .1,从而它以下各级的行列式因= (-1)2.子全是 1。因此,它的不变因子di（九）=dn/）=1 , dna）= （&）n。有此即得，(XE -J0)no若当形矩阵的初等因子也很容易算出。设J 2+ .J4Ji1J =是一个若当形矩阵，其中九i0 ,1J i =01 ,00 ,0 00 0（i =12.0 01九i ikixkik.既然Ji的初等因子是（九%） i（i =1,2，s）,所以九EJi与一1111+I&Eks Js1111一1等价。因此,决定。例1在第5节的例中,（工