抛物线《专辅》

1、抛物线线专题辅导一、（附上抛物线的动 画过程）L想想：在抛物线的形成过程中，动点M始终满足什么条件？（到定点F与到定直线的距离相等。即| MF l=d）二、抛物线的定义到定点F的距离与到定直线1的距离相等的点的轨迹，其中F冬1。其中点F叫做抛物线的焦点，定直线1叫做抛物线的准线。理解抛物线的定义须注意的几点：I、F冬1，否则轨迹是过点F且与直线1垂直的一条直线；【及时反馈】1、到定点F （3,5）的距离与到定直线1:2工+3y-21 =。:的距离相等的点的轨迹是（A、圆B、抛物线C、线段 D、直线II、能不能说抛物线是双曲线的一支？答：不能。（1）、形成的几何条件不同；（2）、标准方程不同；（

2、3）、图形的走势不同；（4）、顶点、焦点、准线、离心率不同。m、注意焦准距互化在解题中的运用【及时反馈】1 （2004年高考16）设p是曲线2 = 43-1）上的一个动点，则点P到 点（0,1）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为三、抛物线的标准方程（一）、抛物线的标准方程的推导（二）、抛物线的标准方程的记忆抛物线的标准方程虽形式简单，但由于焦点、开口的不同，造成 了抛物线方程的多样性。现列表如下：方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py图形Lyyk cLk L oo2o%A焦点P 咛,(/p F(一y，0)pF(0, 2 )pF(0,一夕范围xN0, yRxW0 ,yRy0

3、 ,xGRyW0 ,xR对称轴x轴x轴y轴y轴顶点O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)焦半径p+ x2 + 0px20p2+ y0py 20准线Px= 2px= 2py= 2py=2焦点弦长p + (x + x )p (x + x )P + (L *)p (y1 + y2)过焦点 直线与 x轴的 交点P 2x X -y1 y 2 = p2p 2x x y1 y2 - p2x x p 2p 2七 y 2 4x x p 2p 2 yiy 2 4参数方程x - 2pt 2y - 2 pt(t为参数)x 2 pt 2y 2 pt(t为参数)x 2 pty 2 pt2(t为参数)x 2 pt

4、y -2 pt2(t为参数)四种方程形式与其对应的标准方程、焦点坐标、准线方程记忆规律如下:1、方程的左端是二次项，右端是一次项；2、一次项的字母变量代表抛物线的对称轴；3、一次项的系数的符号代表抛物线的开口方向和焦点位置；4、准线方程与焦点的非零坐标互为相反数；【及时反馈】(2006浙江卷)抛物线2 = 8x的准线方程是()(A) x = 2(B) x = -4(C) y = _2)y = -4解：2p = 8, p=4，故准线方程为x=2,选A4 (2011年高考陕西理2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x = -2,则抛物线的方程是()A. y2 = -8xb. y2 =8xc. y2

5、= -4xd. y2 = 4x【答案】B5、一次项系数的1/4等于焦点的非零坐标，反之焦点的非零坐标的4 倍等于一次项系数。6、焦半径都是P加减焦点所在轴的字母，符号由开口方向决定2、抛物线的标准方程的求解技巧【及时反馈】1、(06江苏卷)已知两点M (2, 0)、N (2, 0),点P为坐标平面 内的动点，满足I MN I.| MP I + MN - MP =0,则动点P (x, y)的轨 迹方程为(a) y2 = 8x (b) y2 =8x (c) y2 = 4x (d) y2 =4x 【思路点拨】本题主要考查平面向量的数量积运算，抛物线的定义.MN【正确解答】设 P(X, y) , x

6、0, y 0 , M (2,0), N(2,0),则 MP = (x + 2, y), NP = (x 2, y)I由 MN - MP + MN - NP = 0,则 4j( x + 2)2 + y 2 + 4( x 2) = 0 ,化简整理得y2 =-8x所以选B【解后反思】向量的坐标表示和数量积的性质在平面向量中的应用是学习的重点和难点.也 是高考常常考查的重要内容之一.在平时请多多注意用坐标如何来表示向量平行和向量垂直, 既要注意它们联系，也要注意它们的区别.四、抛物线的参数方程（参见上表）【及时反馈】五、抛物的几何性质（一）、范围以焦点在X轴上y2 = 2px（p 0）的为例xN0,

7、yR（二）、对称性I、从形上看上下对折，关于x轴对称；II、从数上看温故而知新（预备知识）点（5,2）关于x轴的对称点的坐标是点（5,2）关于y轴的对称点的坐标是点（5,2）关于原点的对称点的坐标是点（5,2）关于直线y = x的对称点的坐标是点（5,2）关于直线y = - x的对称点的坐标是（请通过作图完成上面填空）新知用一y替换标准方程y2 = 2px（p 0）中的尸,方程不变，说明抛物线关于x轴对称；（三）、顶点抛物线与坐标轴的交点。各顶点的坐标（0, 0）（四）、抛物线的离心率:e=1（五）、抛物线的各种距离l、焦准距：焦点到准线的距离pII、焦半径由于焦点所在的轴不同，焦点的位置不同

8、，这导致了焦半径公式出现了多样性。（见上表）【及时反馈】m、通径经过抛物线的焦点且和抛物线的对称轴垂直的直线被抛物线所截的弦。通径长2p （你会推导吗？）通径决定着抛物线的开口大小：p大开口大，p小开口小。【及时反馈】（六）、过抛物线焦点的直线的相关结论p设有抛物线2 = 2px（p 0），过焦点F（ 2 ,0）的百线交抛物线于A（X , y ），B（x , y ）两点，1122则有如下结论（待补图和证明）P 2T X X y y = p 2I、1 24， yi y2 P2 pII、焦点弦长公式的多样化IABI= P + （气+ x；IABI=和厂（aI y y I是直线的倾斜角）；IABI=

9、* 二（a是直线的倾斜角）；sin a11 _ 2m、yaf Tbf - pw、抛物线中圆与直线相切的多样化（待种图和证明）以焦点弦IABI为直径的圆必与准线相切分别以IAFI、IBFI为直径的圆必与y轴相切；分别以A、B为圆心且与准线相切的圆必过定点（焦点）；设AB为焦点弦，M为准线与x轴的交点，则ZAMF=ZBMF；设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A , B，若P为A B1111的中点，则PAXPB；若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，0, C三点共线。（待补）抛物钱几何性质综合练【及时反馈】六、直线与抛物线的位置关系设直

10、线I:y = kx+饥 抛物线C： 2 = 2px（p0），把百线与抛物线的方程联立y = kx+b 7y2 = 2px（p 0）（）消y保留x得到关于x的一元二次方程得mx2 + nx+1 = 0，设其判别式为/I、当/0时，一元二次方程mx2 + nx+1 = 0有两个不相等的实数根x1丰%，方程组（）也有两组不同的解x = xrx = xy = y1；y = y2直线1: y = kx+b与双曲线C: y2 = 2px（p 0）就有两个不同的交点；此时直线1 ： y = kx + b与双曲线C： y 2 = 2 px（p 0）相交。方程组（） 的解就是交点的坐标。注意：因为抛物线与圆、椭

11、圆有别，不是封闭曲线，故直线与抛 物线相交时有其复杂性的一面；当直线与对称轴平行时，直线与抛物 线只有一个交点相交【及时反馈】1 （2006四川卷）直线y f -3与抛物线产=4X交于A,B两点，过A,B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P,Q，则梯形APQB的面积 为（）（A）48（B）56（C）64（D）72解析：直线y = x-3与抛物线y2 = 4x交于A,B两点，过A,B两点向抛物线的准线 y 2 = 4 x作垂线，垂足分别为P,Q，联立方程组得 0）就只有一个交点。相切注意：直线与抛物线相切时只有一个交点，但是直线与抛物线只有一个交点时不一定相切。【及时反馈】1(2006全国卷

12、I)抛物线f 2上的点到直线4x + 3y-8 = 0距离 TOC o 1-5 h z 的最小值是()A. B. C. -D. 3355解：设抛物线y = -X2上一点为(m, m2),该点到直线4x + 3y-8 = 0的距离为14m 一 3m 2 - 81245，当 m=w 时，取得最小值为 W，选 A.JQm、当/ 0)无交点。此时直线1 : y = kx + b与双曲线C： y 2 = 2 px( p 0)相离。上述思想剖析：为何“联立方程组”？ n因为联立方程组了后才得到关于x或 y的一元二次方程n才能用上“根与系数的关系”（即韦达定理）n才 体现了 “直线与抛物线的位置关系问题”转

13、化到“坐标关系”去处理 的思想。在具体的解题中，交点的坐标仅仅是设而已，并没有具体的求出 来，用到的仅是坐标的关系。这就是“设而不求”的解题思想。简记为：直线与抛物线的位置关系须“设而不求，联立方程组”， 把直线与抛物线的位置关系转化到坐标关系去处理。【及时反馈】（一）、范围问题（二）、中点弦问题知识点：在双曲线王+ 22 = 1中， a 2 b 2以尸（, *）为中点的弦所在直线的斜率k二一W ;在双曲线兰-22 = 1中，以P（x ,2 ）为中点的弦所在 a 2 2a 2 b 2。直线的斜率k=竺 ；在抛物线y2 = 2px（p 0）中，以P（x , J ）为中点 a 2 j0 0的弦所在直线的斜率k=U。j0（三）、相切问题（四）、综合题七、其他问题（一）、杂题【及时反馈】1（06江西卷）设O为坐标原点，F为抛物线y2=4x的焦点，A是抛 物线上一点，若OA AF = -4，则点A的坐标是（）A. （2，2*2）B. （1，2）C. （1，2）D.（2，2 克）y2-y2y2