抽象向量组线性相关性的判定与证明

1、I三3.抽象向量组线性相关性的判定与证明对于抽象给出的向量组，判断或证明其线性相关与线性无关常采用以下方法方法1定义法：先设y+w+炕电=，然后对其作恒等变形，如用某个矩 阵同乘该式两边，或对该式拆项重新组合等.究竟用什么方法应当从已知条件去寻找信息， 通过一次或多次恒等变形来分析*必土能够不全为零还是必须全为零，从而得知 叫,，冬是线性相关还是线性无关.方法2求秩法：要论证，冬线性相关或线性无关，可将其构成矩阵0，利用 rankle刑或赫工=刑来说明.方法3利用有关结论，如“等价的向量组有相同的秩”等方法4反证法.例1已知向量组仁皿淄线性无关.设舟二屿一+临 =饲+角 月=2%-电+ 3何讨

2、论丹满月的线性相关性.解法1利用定义.设m + M+M=。，代入外禺月的表达式，有上1（用纬+饱）+片+仔）+片（2% 纯+ 3饲）=0整理得内+%），+ f +片f炕+熊+片+%厄由于线性无关，所以有+ 2 鑫=0-3 = 0其系数行列式从而方程组有非零解，即*血刘不全为零（或求得方程组的通解*1 = 2t 任意；取得先1 二 一小二-1,焰=1），故岗房房线性相关.法2利用矩阵的秩.将看做行向量，令&1-11B =A011=CAC =011,A =6，其中3-16因为%临线性无关，所以rankj4=3,又可求得detC=0,从而rankC3.又知rank B = rank（ CA） min

3、rank j4,rank C）因此皿槌Q，故月弟羌线性相关.注上题中，如将看做列向量，则有102、E =（尽也花）=（%皿）-1 1 -1 =ACI 1 1刃其余证明同法2.例2已知向量组弓任，令同=巧+包知=耳-1 + 8 危y+饲，证明：（1）当幽为偶数时，向量组仪AA线性相关;当刑为奇数时，向量组丐皿尽与AA同时线性相关或线性无关.证（1）法1当幽为偶数时，由于鑫一月+虫一成+危_1一乱二。所以氏AA线性相关.法2设数组把*土，使得(*)独岗+灼& +知彪二。代入X的表达式并整理得g +侃）驾+ （由+也询+稣一1 +2% =令先1 +也=岫+炳如,蜘_1 +知=0,则上式成立.该齐次方

4、程组的系数行列式（两条线行列式）故有非零解，即存在不全为零的数y使（*）式成立，从而岗，禺，彪线性相关.（2）当刑为奇数时，将看做列向量，则有（岗房，点）=（屿皿，,耳）P:、苴中其中,det P = D = 1+= 2 u匚 1、【尸II77由于快 ，所以广可逆，从而g =(氏 asF这表明向量组皿与岗房，乱可以互相线性表出，即它们等价，从而有相同 的秩.故当向量昭叫皿线性无关，即秩为幽时，向量组故如、瓦的秩也是部， 即线性无关；而当皿线性相关时，岗满，点也线性相关.注上题中，如将A A A看做行向量，则有向量组巧叫代皿线性无关，则下列线性无关的向量组是.(A)(B)(C)(D)遂一四应填：

5、(B).分析法1.观察可知(屿 + 电)+ 临)+ & + %)(%+饲)=0(A)线性相关;（C）线性相关;（屿+做）一（电+曜）+（电一电）+（电一）=。（D）线性相关.由排除法可知应选（B）.法2 .对（B）,设灯（OJ +胃）+止 +死）+奴（缶+耳）+灯（缉一叫）二0拆项重组为化1 -知）电 +化1 +炳）电 +电）电 + 傀 +灯）电 =0由电皿皿线性无关知=也，系数行列式所以方程组只有零解，知，从而（B）线性无关.用此法可知（A）, （C）,（D）均线性相关.法3 .对（B）,设A二屿 + 电 A =+a3 供=但+ 仪 A =，形式记为0 0 -P（岗关，&成）=（耳电皿皿）0

6、 Q =0 0 11 ）（屿，电，临，）0由于2 ,所以约叫遂皿可由尽缶缶岗线性表出，故这两个向量组等价， 而等价向量组有相同的秩，从而用缶缶两的秩为4,即它线性无关.对(A), (C), (D) 如上处理，并写成形式记法，其中矩阵的行列式为0,这表明耳电皿皿不能由岗，市， 度乱线性表出，故均线性相关.例4 (98-1-04)设是阶方阵，若存在正整数先，使线性方程组A%=0有解向量 a,且* J 0 .证明向量组也血，*泌七是线性无关的.证设有数组虹眦，使得4 a+项waF !挤 = 0两边左乘*，并注意到a = Ak+1a= - = Au-1a=O,得杯七=0,由于 J。，所以4 二 .此时

7、有顷mM*=o,再左乘尸可得0.依次 类推知/1=4 = = 4 = ,故心线性无关.例5在向量组叫叫幺中，设部，且以=2,刑)都不能由矽淄_1 线性表示.证明向量组叫e：皿线性无关.证采用反证法.设向量组耳a线性相关，则存在不全为零的数y， 使得y+w+侃耳=.在数组如稣总中，设从右到左第1个不为零的数为氐 壬 ，止j+i = =止胡-1 = K = o于是有止1昭+氐说 +电巧=0 (电主0)，上式可改写为如果E，则有栖=，从而驾=，这与题设叫部矛盾.故J A1这与题设巧不能由丐：&线性表示矛盾.因此，向量组皿线性无关.例6 (01-4-08)设砖=0壮1心飞=12-,顷5是理维实向量，且

8、% %心线性无关.已知片也3是齐次线性方程组沔1电+昭+沔网乌=代体1+代+代M = 0Aixi + 2 + - + fl = 的非零解向量，试判断向量组屿叫的线性相关性.解由假设知线性方程组的系数矩阵为L活，而歹是方程组的非零解向量，即有为=，从而得界=，即心=。(，=12.如)法1由定义.设止1昭+炳先F虬 +止月=0左乘房并利用心 顼得切=.但所以心我+尻+ +矿 。，于 是有*=*，代入前一式得洒+W+. + &绻=0.由于%,绻线性无关，所以 = = = = 0,故耳电叫胃线性无关.法2反证.若昭，胃线性相关，则由惟一表示定理知P二知也+也屿+把见于是从而*=，这与歹是非零解向量矛盾

9、，故叫叫，胃线性无关.例7证明维向量组叫，电，线性无关的充分必要条件是维单位坐标向量组耳二（顷）号=（。，,0）忑=（0广*1），可以由做叫a线性表出.证必要性.已知线性无关，由于冉+1个隹向量必线性相关，所以 七皿*线性相关，由惟一表示定理知与a = iz：5可由七%皿线性表出.充分性.已知电再可由%知、线性表出，又任意隹向量均可由 日，k线性表出，所以丐皿u可由%再线性表出，故向量组 叫皿,皿与%思等价.由于与,的秩为所以%皿的秩也 为七故耳皿线性无关.例8设欧5矩阵的秩为气又设隹列向量札,线性无关.证明向量组 羽如，如线性无关.证设数组勺使得把5执+ M也+, &A民=0，即Ag执 + 灼质 H= o由于rankTl = ,所以齐次线性方程组施=。只有零解.故由上式得由题设岗弟广线性无关从而只有独泌=f = ,故MM如线性无关.占是状5矩阵，其中株5 .若莉=E，证明的列向量组线性无关.证法1 （由定义，同乘）.将片按列分块B = &M0，设工齿+曲质+ %乱=0变形为两边左乘得 线性无关.*二0EX隹顷2anAB，即=0，从而道=勺=一5=气故岗，禹，乱法2 （用秩）.因为n = rank? = rank（AE） rank厅又可是m s矩阵且找5，从而rank，故迟的列向量组线性无关.例10设叫淄是齐次线性方程组施=的线性无关解向量，胃是非齐次线性 方程组施=占的