工程控制基础：3-1 时域：稳定性分析12

1、第三章 自动控制系统的 时域分析1第三章 自动控制系统的时域分析 控制系统引入反馈的目的: 消除或减小误差 同时可能会给系统带来振荡平衡状态：系统正常工作的状态振荡：系统受到扰动后，围绕平衡状态来回运动2第三章 自动控制系统的时域分析 不稳定系统与稳定系统系统的动态特性：振幅、过渡过程时间等系统的稳态特性：稳态误差三性分析： 稳定性 稳态特性 动态特性 3第三章 自动控制系统的时域分析 分析控制系统性能最直接的方法： 求解微分方程，系统的时域分析。特点：物理概念清晰，便于建立系统的性能指标，精确分析系统特性。但高阶微分方程求解困难。时域分析法：系统分析的基础，工程上较少用本章主要内容：常用信号

2、；稳定性分析；稳态误差分析；动态响应。4第三章 自动控制系统的时域分析3.1 常用的典型测试信号系统的时间响应不仅取决于系统特性（微分方程），还与输入信号有关。常用的典型信号有：阶跃信号抛物线信号斜坡信号脉冲信号正弦信号系统的实际输入可以看成是这些典型信号的组合。5第三章 自动控制系统的时域分析3.1.1 阶跃信号阶跃信号的拉普拉斯变换为R=1 时称单位阶跃信号R6第三章 自动控制系统的时域分析3.1.2 斜坡信号(速度信号)斜坡信号的拉普拉斯变换为Rt tan=R R=1 时称单位斜坡信号7第三章 自动控制系统的时域分析3.1.3 抛物线信号(加速度信号)加速度信号的拉普拉斯变换为R=1 时

3、称单位加速度信号8第三章 自动控制系统的时域分析3.1.4 脉冲信号单位脉冲信号的拉普拉斯变换为当h0时脉动信号就成为脉冲信号. A=1 时称单位脉冲信号系统单位脉冲响应的拉普拉斯变换为系统传递函数9第三章 自动控制系统的时域分析3.1.5 正弦信号正弦信号的拉普拉斯变换为10第三章 自动控制系统的时域分析3.2 控制系统的稳定性分析 稳定是系统正常运行的前提。 3.2.1 稳定性的基本概念 如果一个线性定常系统在扰动作用消失后，能够恢复到原始的平衡状态，则称系统是稳定的。反之，称系统是不稳定的。若系统在平衡点附近等幅振荡，称系统是临界稳定的。11第三章 自动控制系统的时域分析例3-1 单摆

4、由于存在各种阻力,系统是稳定的，如果不存在阻力,系统是临界稳定的。例3-2 倒立摆 系统是不稳定的12第三章 自动控制系统的时域分析 3.2.1 稳定性的基本概念线性定常系统的响应c(t)由输入r(t)和初始条件决定。零输入响应c0r(t)与零状态响应c0z(t) 系统是否稳定取决于系统的零输入响应 。故需要研究齐次微分方程的解。 c(t)=c0r(t)+ c0z(t)13 3.2.2 线性定常系统稳定的充分必要条件 稳定性定义表明，线性系统的稳定性仅取决于系统自身的固有特性，而与外界输入无关。系统齐次微分方程3.2 控制系统的稳定性分析齐次微分方程的解由特征方程决定。特征方程14设系统特征方

5、程的根互不相等(无重根)。系统输出：上式表明，线性定常系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的所有根均具有负实部；或者说，闭环传递函数的极点均分布在S平面的左半部。特征方程的根由系统的固有特性决定，与外部输入无关。利用特征方程的根可以判别系统的稳定性，但高阶求解困难。3.2 控制系统的稳定性分析153.2.3. 劳斯 (Routh) 稳定性判据 所有根均分布在左半平面的必要条件是：方程所有系数均为正数。若任一项系数为负或为零（缺项），则为不稳定系统。 特征方程系数 特征根的分布 判别系统稳定 劳斯判据是由特征方程的系数来分析系统的稳定性的一种判据。 设 特征方程为：1.线性定常系统稳定的必要条

6、件163.2.3. 劳斯 (Routh) 稳定性判据 不稳定系统不稳定系统可能稳定例3-3 以下3个系统 173.2.3. 劳斯 (Routh) 稳定性判据 劳斯判据步骤：(1) 建立劳斯表将特征方程式的系数按下列规则排成前两行，即 2.劳斯判据 劳斯判据根据特征方程系数分析系统稳定性 设 特征方程为：18建立劳斯表（又叫劳斯阵列）。 3.2.3. 劳斯 (Routh) 稳定性判据 19(2) 计算劳斯表的其他系数3.2.3. 劳斯 (Routh) 稳定性判据 20 例如，现有一个五阶系统，其特征方程：则劳斯表为3.2.3. 劳斯 (Routh) 稳定性判据 21(3) 劳斯稳定判据系统稳定的

7、充分必要条件是： 劳斯表中第一列系数非零且不改变符号。例34 系统的特征方程：3.2.3. 劳斯 (Routh) 稳定性判据 解：列出劳斯表： 因为劳斯表中第一列元素非零且无符号变化，说明该系统特征方程没有正实部根，所以：系统稳定。22(4) 如果劳斯表中第一列元素皆非零，则元素符号变化的次数等于特征方程具有正实部根（即分布在s平面右半部）的数目。 3.2.3. 劳斯 (Routh) 稳定性判据 23例3-5 已知系统的特征方程为试用劳斯判据判别其稳定性。解:列出劳斯表劳斯表中第一列元素的符号变化两次，说明该系统有两个特征根在右半s平面，所以系统不稳定。3.2.3. 劳斯 (Routh) 稳定

8、性判据 24两种特殊情况(5) 劳斯表中某行第一个元素为零，此行其余项不全为零。 此时，用任意小的正数代替这个零，再按规则继续计算表中其余各元素。如果上面元素符号与下面元素符号相反，表明这里有一个符号变化。 3.2.3. 劳斯 (Routh) 稳定性判据 25 例36 试用劳斯判据判别下列系统的稳定性。 解： 列出劳斯表第一列元素符号的变化的次数为两次，说明特征方程有两个正实部的根，所以系统不稳定。3.2.3. 劳斯 (Routh) 稳定性判据 26（6）劳斯表中某一行元素全为零如出现某一行元素全为零，表明特征方程在s平面上有关于原点对称的根。 例（s+)(s-)或（s+j) （s-j) 此时

9、可用全零行上面一行的元素构造一个辅助方程，并对其s求导后得到的方程系数代替全零行元素，再按常规计算其余各项元素。利用辅助方程，可求得那些所有数值相同符号相异的根。3.2.3. 劳斯 (Routh) 稳定性判据 27例37 已知系统特征方程 ，试判别系统稳定性。 解：列出劳斯表。 全零行上面一行的元素构造一个辅助方程p(s)求导得2s0 (s1系数2）。求解p(s)=0得到数值相等符号相异的根，系统处于临界稳定状态。3.2.3. 劳斯 (Routh) 稳定性判据 p28例 判别系统稳定性解:首列符号变化一次，所以有一正实根，系统不稳定。解辅助方程：求导293.劳斯判据的应用例38 确定使系统稳定的K、T取值范围。解: 系统的特征方程为 列出劳斯表要使系统稳定，第一列元素的符号均应大于零。得30 , 0 K 则稳定条件为：31 例：已知系统特征方程，试判别系统的稳定性，并分析有几个根位于垂线s=