电磁场与电磁波 第4版 第3章 静态电磁场及其边值问题的解1

1、电荷体密度标量电流标量电流密度矢量库伦力矢量电场强度矢量电位移矢量矢量（为电介质中的本构关系）安培力矢量磁场强度矢量磁感应密度矢量（为磁介质中的本构关系）恒定电磁场时变电磁场边界条件为分界面上的自由电荷面密度 为分界面上的自由电流面密度 第3章 静态电磁场及其边值问题的解 以矢量分析和亥姆霍兹定理为基础，讨论静电场、恒定电场的特性和求解方法。 首先建立真空、电介质和导电媒质中电场的基本方程；引入电位函数; 导出电位满足的泊松方程和拉普拉斯方程；确立电场的边界条件 。 最后讨论电容的计算，电场能量的计算。 实验表明，导体中有恒定电流通过时，在导体内部和它周围的媒质中 ，不仅有恒定电场 ，同时还有

2、不随时间变化的磁场 ，简称 恒定磁场。 首先建立真空与磁介质内恒定磁场的基本方程；引入矢量位A;确立磁场的边界条件；在特定条件下引入标量位 。 最后讨论自感和互感的计算、磁场能量和磁场力。 3.1 静电场分析的基本变量 关系式 称为真空的电特性方程或本构关系 静电场的源变量是电荷 第2章中已由库仑定律引入了电荷 产生的电场强度 任意电荷分布产生的电场强度 定义任意电荷分布产生的电位移矢量 3.1.1 静电场的基本方程 边界条件真空中电场的基本方程电场强度E的边界条件：或表示为电位移矢量D 的边界条件用矢量表示为分界面上的自由电荷面密度直角坐标系3.1.2 电位函数由 ， 称为静电场的标量位函数

3、，又称电位函数 由此可求得电位的微分在任意方向上的分量 空间A、B 两点的电位差 若选取 为电位参（即 ）， 则任意点 的电位为 对于点电荷的电场，其电位为 体电荷 、面电荷 、线电荷 产生的电位分别为若取 处的电位为零，则由在直角坐标系中电位的泊松方程若空间电荷分布为零，则有电位满足的拉普拉斯方程格林恒等式是矢量分析中的重要恒等式。具体说明两个场之间的关系格林第二恒等式由散度定理为闭合面S的外法向单位矢量， 为体积V内任意两个标量函数， 为矢量。设而得格林第一恒等式同理，若设格林第一恒等式表示为利用格林函数的性质和格林第二恒等式可得到有界空间中的泊松方程的积分解以上公式说明，只要知道区域 内

4、的电荷分布 以及区域边界面 上的电位 和电位梯度 值，就可求出区域内的电位分布。3.1.3 导体系统的电容电容：导体系统储存电荷能力的物理量 电位的边界条件由 N 个导体组成的导体系统，其中第i个导体的电位与自身的电荷和其他导体的电荷关系为 其中 为常数，称为电位系数，与系统中所有导体的形状、位置及周围介质有关。（共有 N 个方程） 由以上N 个方程可解出（共有 N 个方程） 当 时 称为电容系数， 时 称为感应系数，且 引入，方程 可写为与导体i的电位成正比与导体i、j的电位差成正比其比值3.1.4 静电场的能量 电场能量来源于建立电荷系统过程中外界提供的能量。 设系统完全建立时，最终的电荷

5、分布为 ，电位为 。 设充电过程中，各点的电荷密度按其终值的同一比例因子 增加，则各点的电位也将按同一因子增加。即在某一时刻电荷分布为 时，其电位分布为 。 的变化为 。 整个充电过程外界对整个系统提供的总能量 用场变量表示该能量为 单位体积的能量，称为能量密度 对某一体积元 ， 变为 时（此时电位为 电荷增加 ）外界提供的能量3.1.5 静电力 静电场中，个个带电体都受电场力作用。理论上，库仑定律可以计算电场力 用虚位移法计算静电力。1. 各带电体的电荷保持不变- 电场力做功依靠系统的电场能量减少实现，电荷不变，系统与外界隔绝2. 各带电体的电位保持不变系统不与外界隔绝，外部提供能量。3.2

6、 导电媒质中的恒定电场分析 由JE 可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生的电场称为恒定电场。 恒定电场与静电场重要区别： （1）恒定电场可以存在导体内部。 （2）恒定电场中有电场能量的损耗,要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。 恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。 3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件1. 基本方程 恒定电场的基本方程为微分形式：积分形式： 恒定电场的基本场矢量是电流密度 和电场强度 线性各向同性导电媒质的本构关

7、系 恒定电场的电位函数由若媒质是均匀的，则 均匀导电媒质中没有体分布电荷2. 恒定电场的边界条件媒质2媒质1 场矢量的边界条件即即 导电媒质分界面上的电荷面密度场矢量的折射关系 电位的边界条件 恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场 既有法向分量又有切向分量，电场并不垂直于导体表面，因 而导体表面不是等位面； 说明：媒质2媒质1媒质2媒质1 如21、且290，则10， 即电场线近似垂直于与良导体表面。 此时，良导体表面可近似地看作为 等位面； 若媒质1为理想介质，即10，则 J1=0，故J2n=0 且 E2n=0，即导体中 的电流和电场与分界面平行。3.2.2 恒定电场与静电场的

8、比拟 如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场的方法称为比拟法。恒定电场与静电场的比拟基本方程静电场（ 区域） 本构关系位函数边界条件恒定电场（电源外）对应物理量静电场恒定电场3.3 恒定磁场分析 第2章中已由安培力定律引入了恒定电流元产生的磁感应强度 关系式 称为真空的磁特性方程或本构关系。 恒定磁场的源变量是电流密度矢量 3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件真空中磁场的基本方程 任意电流闭合回路c 产生的磁感应强度

9、定义任意电流闭合回路c 产生的磁场强度 磁场强度H 的边界条件：若分界面上没有自由的表面电流磁感应强度B 的边界条件用矢量表示代入矢量磁位3.3.2 矢量磁位和标量磁位 为了简化磁场的求解，通常采用间接方法。 由磁场的散度为零，引入矢量磁位。 利用磁场的旋度方程导出矢量磁位满足的微分方程。由其单位为Tm（特米）或Wb/m（韦/米）得即得矢量位的泊松方程规定其散度（库仑规范）1. 矢量磁位而另一矢量（ 为任一标量函数）则有说明 也是矢量磁位若（A为矢量磁位）这是因为， 因此，为了惟一确定矢量位，除了规定A的旋度外，还必须规定A的散度值。在恒定磁场中，一般令 该条件称为库仑规范，又称库仑条件，在时

10、变场中将采用洛仑兹条件。库仑规范在直角坐标系中可分解为三个标量泊松方程其解于是，矢量位满足的泊松方程的解为体电流 、面电流 、线电流产生的矢量位分别为 矢量磁位满足的边界条件 由由在恒定磁场无电流区域标量磁位，单位：A（安培）。 标量磁位 仅适合于无自由电流区域，且无物理意义。标量磁位 的特点：2. 标量磁位 标量磁位 满足的微分方程 标量磁位满足的边界条件 3.3.3 电感 在线性介质中，一个电流回路在空间任意一点产生的 B与电流成正比，因而穿过任意回路的磁通 也与电流成正比；若一回路由N匝导线绕成，则总磁通是各匝磁通之和，成为磁链，用 表示。且可近似为 当磁场由自身回路的电流产生则回路磁链

11、与电流之比称为自感系数，简称自感，单位为H（亨） 第1回路电流 产生的磁场与第二回路交链的磁链为 ，则比值称为互感系数，简称互感，单位仍为H 同样，第2回路电流 产生的磁场与第一回路交链的磁链为 ，其比值同样称为互感系数 自感与互感都仅取决于回路的形状、尺寸、匝数和介质的磁导率。互感还与两个回路的相互位置有关。两个单匝回路的互感设回路1通过电流而所以同理由此可见诺伊曼公式单匝回路的自感 对于单匝回路，可将电流看作集中于轴线回路 上，而将计算磁通的回路取作导线边缘的回路 ，应用诺伊曼公式计算自感为与电流交链 以上计算的自感只考虑了导线外部的磁通，故称为外自感；在导线内部的磁力线同样套链着电流，其

12、磁链与电流比值定义为内自感。 假设单匝回路，其横截面积导线内的磁场穿过图中面积的磁通为穿过图中面积的磁链为长度为l一段圆截面导线的内自感为而回路j 的磁链为3.3.4 磁场能量 电流回路系统的能量是建立电流过程中由电源供给的。 当电流从零增加时回路感应电动势将阻止电流的增加，外加电压须克服感应电动势 而作功，使回路能量增加。 若所有回路固定，且忽略焦耳损耗，则电源作功将全部变为电流回路系统的磁场能量，这时回路上的外加电压和回路中的感应电动势大小相等方向相反。回路j 中的感应电动势为外加电压dt 时间内与回路j 相连的电源所作的功若系统包含N个回路，增加的磁场能量为互感系数自感系数假设所有回路中

13、的电流同时从零开始以百分比 同比例增加，即则，于是充电过程完成后，系统的总磁场能量例单回路双回路用场量表示该磁场能量单位体积的磁场能量称为磁场能量密度3.3.5 磁场力 两个载流回路间的磁力可由安培力公式计算。也可与静电力的计算类似，用磁场能量的空间变化率来计算磁场力。磁链不变 两个回路的磁链不变，即 回路 发生位移，两回路中电流必定发生变化，才能维持两回路的磁链不变 两回路中没有感应电动势（因为磁链不变），故与回路相连的电源不对回路输入能量。 回路 位移时所须的机械功只有靠磁场能量减少来完成。 电流不变 两个回路电流不变，即 回路 发生位移，两回路中的磁链必定发生变化，才能维持两回路电流不变

14、。两个回路的能量为 上式表明：在 不变的情况下磁场能量的改变（即磁力）仅是由于互感 的改变引起的。 前面假设的 不变和 不变是在一个回路发生位移时的两种假设，无论假设 不变还是 不变，求出的磁场力是相同的。 两回路中都有感应电动势（因为磁链发生变化），与回路相连的电源要作功来克服感应电动势以保持两个回路的电流不变。 电源作功为 即电源输入能量的一半用于增加磁场储能，另一半用于回路 位移所需的机械功。得3.4 静态场的边值问题及解的唯一性定理 静电场的边值问题是在给定边界条件下求泊松方程或拉普拉斯方程的解。 实际边值问题的边界条件分为三类第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件3.4.1 边值问题的类型 静态场问题通常分为两大类：分布型问题和边界型问题。 分布型问题：已知场源分布，通过积分公式求各点场分布。 边界型问题：已知场量在场域边界上的值，求场域内的场分布。通常又分为解析法和数值法。 可以证明在