电磁场与电磁波 第4版 第4章 时变电磁场

1、 第4章 时变电磁场 在时变电磁场中，电场与磁场都是时间和空间的函数；变化的磁场会产生电场，变化的电场会产生磁场，电场与磁场相互依存，构成统一的电磁场。 英国科学家麦克斯韦提出位移电流假说，将静态场、恒定场、时变场的电磁基本特性用统一的电磁场基本方程组概括。电磁场基本方程组是研究宏观电磁现象的理论基础。静电场和恒定电流的磁场各自独立存在，可以分开讨论。两边取旋度4.1 波动方程考虑均匀无耗媒质的无源区域麦氏方程为得电场E 的波动方程同理磁场H 的波动方程得式中为拉普拉斯算符，在直角坐标系中而波动方程在直角坐标系中可分解为三个标量方程 波动方程的解是空间一个沿特定方向传播的电磁波。 电磁波的传播

2、问题归结为在给定边界条件和初始条件下求解波动方程。由麦氏第三方程，可令由麦氏第二方程于是式中A 称为动态矢量位，简称矢量位（Wb/m)。称为动态标量位，简称标量位(V)。4.2 电磁场的位函数 静态场中为问题简化引入了标量位和矢量位。 时变场中也可引入相应的辅助位，使问题的分析简单化。由麦氏第二方程将将矢量恒等式即 已知矢量位A 和标量位 可求相应的磁场和电场。 矢量位和标量位由源决定。其满足的方程讨论如下。由麦氏第四方程所以 以上二方程称为达朗贝尔方程。 此方程表明矢量位 的源是 ，而标量位 的源是 。时变场中 和 是相互联系的。 同理得即 由亥姆霍兹定理：一矢量由其散度和旋度确定。 前面定

3、义A 的旋度等于磁感应强度B。为确定矢量位A 还需规定其散度。 令 （洛仑兹条件)。4.3 电磁能量守恒定律 电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒和转化定律坡印廷定理； 坡印廷矢量是描述电磁场能量流动的物理量。 一、坡印廷定理由麦氏第一、第二方程得其中取体积分，并应用散度定理得在时变场中总电磁能量密度为于是得单位体积损耗的的焦耳热为于是得坡印廷定理单位时间穿过闭合面S进入体积V 的电磁场能量体积V 内单位时间电场能量和磁场能量的增加单位时间体积V 内变为焦耳热的电磁能量 表示单位时间内流过与电磁波传播方向相垂直单位面积上的电磁能量，亦称为功率流密度，S 的方向代表波传播的方向，也是电磁能量

4、流动的方向。 二、坡印廷矢量 定义坡印廷矢量W/m24.4 唯一性定理 在以闭合曲面 S 为边界的有界区域 V 内，如果给定 t =0 时的电场强度 E 和磁场强度 H 的初始值，并且在 t 0 时，给定边界面 S 上的电场强度 E 的切向分量或磁场强度 H 的切向分量，那么在 t 0 时，区域 V 内的电磁场由麦克斯韦方程唯一确定。解：设电容器极板为理想导体，故极板是等位面，电流沿z方向。由边界条件得得电流密度大小介质分界面 上的自由电荷 4. 一个有两层介质（ ， ）的平行板电容器结构如图所示，两种介质的电导率分别为 和 ，在外加电压U 时，求通过电容器的电流和充电时集聚在介质交界面上的自

5、由电荷密度。 相应的电场外加电压(电位差)U 等于而根据本构关系，有：由边界条件上极板 的自由电荷面密度下极板 的自由电荷面密度4.5 时谐电磁场4.5.1 时谐电磁场的复数表示电磁场随时间作正弦变化时，电场强度的三个分量可用余弦函数表示用复数的实部表示式中称为时谐电场的复振幅故式中称为时谐电场的复矢量 时谐场对时间的导数4.5.2 复矢量的麦克斯韦方程由麦氏第一方程设为时谐场将对空间坐标的微分运算和取实部运算顺序交换约定不写出时间因子 ，去掉场量的下标和点，即得麦氏方程的复数形式同理其他三个麦氏方程4.5.3 复电容率和复磁导率 电导率为有限值的导电媒质存在欧姆损耗 电介质的极化存在电极化损耗等效复介电常数：复介电常数： 媒质中同时存在电极化损耗和欧姆损耗：4.5.4 亥姆霍兹方程波动方程设为时谐场得同理亥姆霍兹方程式中 用复数形式研究时谐场称为频域问题。 复数公式与瞬时值公式有明显的区别，复数表示不再加点。 磁介质的磁化存在磁化损耗 定义损耗角正切表征电介质的损耗特性复磁导率：损耗角正切4.5.5 时谐场的位函数 在时谐情况下，矢量位和标量位以及它们满足的方程都可以表示成复数形式。洛仑兹条件达朗贝尔方程瞬时矢量复矢量由前一节定义的坡印廷矢量坡印廷矢量的瞬时值对正弦电磁场，需讨论该量在一个周期内的平均值平均坡