2022年函数极限与连续习题及答案

1、第一章 函数、极限与连续(A) 1区间a ,表示不等式 ( ) x) AaxBaxCaxDax2若t3t1，则3t1( ) A3t1B6t2C9t2Dt93 t63 t323设函数fxln3x152xarcsinx的定义域是 ( ) A1,5B1 ,5C11,D1,132234下列函数fx与gx相等的是 ( ) Afxx2，gxx4Bfxx，gxx2Cfxx1，gxx1Dfxx21，gxx1x1x1x15下列函数中为奇函数的是( ) AysinxByxe2C2x22xsinxDyx2cosxxsinxx26若函数fxx，2x2，则fx1的值域为 ( ) A0 , 2B,0 3C,02D0 3,

2、7设函数fxx e(x0)，那么fx 1fx 2为( ) Afx 1fx 2Bfx 1x2Cfx 1x 2Dfx 1x28已知fx在区间,上单调递减，则fx24的单调递减区间是 ( A,B, 0C0 ,D不存在9函数yfx与其反函数yf1x的图形对称于直线 ( ) Ay0Bx0CyxDyx数f10函数y10 x12的反函数是 ( ) Aylgxx2Bylog x2Cylog 21Dy1lgx2x11设函数fxax,x是有理数0a1，则 ( ) 0,x是无理数A当 x时，fx是无穷大B当 x时，fx是无穷小C当 x时，fx是无穷大D当 x时，fx是无穷小12设fx在 R 上有定义，函数fx在点x

3、 左、右极限都存在且相等是函x在点x 连续的 ( ) A充分条件B充分且必要条件C必要条件D非充分也非必要条件13若函数fxx2a,x1在 R 上连续，则 a 的值为 ( ) cosx,x1A0 B1 C-1 D-2 14若函数fx在某点0 x 极限存在，则 ( ) Afx在x 的函数值必存在且等于极限值Bfx在0 x 函数值必存在，但不一定等于极限值Cfx在0 x 的函数值可以不存在D如果f0 x存在的话，必等于极限值15数列 0 ，1 ，32 ，43 ，54 ，, 是 ( 6) A以 0 为极限B以 1 为极限C以nn2 为极限D不存在在极限16lim xxsin1( ) xAB不存在C1

4、 D0 17lim x112x( ) xAe2B) C0 1 D 218无穷小量是 ( A比零稍大一点的一个数B一个很小很小的数f1C以零为极限的一个变量D数零，f0= ，2x,1x019设fx2 ,0 x1则fx的定义域为x,11x3= 。20已知函数yfx的定义域是1,0，则fx2的定义域是21若fx11x，则ffx，fffx。22函数yex1的反函数为。23函数y5 sinx的最小正周期 T。24设f1x1x2，则fx。x25lim xn3nn1。26lim n1111。2 14 1n 21。1393n27lim x 0 xlnx。28lim x2x3203x230。5 x150 x,x

5、129函数fxx,11x2的不连续点为3x ,x230lim n3nsinx。3n31函数fxx11的连续区间是。2b32设fx。2axb,x ,x0ab0，fx处处连续的充要条件是abx2x033 若fx,1x0，gxsinx， 复 合 函 数fgx的 连 续 区 间是,1x0。34若 limxx1axb0，a，b 均为常数，则 a，b。x35下列函数中哪些是偶函数， 哪些是奇函数， 哪既非奇函数又非偶函数？(1)ytx2 1x2，(2)y3 x2x3，(3)y1x2，(4)yxx1 x11x2(5)ysinxcosx1，(6)yaxaxf1 。t22536若f2 t25t，证明ftt2t3

6、7求下列函数的反函数(1)y22x1，(2)y12sinx1xx138写出图 1-1 和图 1-2 所示函数的解析表达式39设fx2 1yx1 yx2 1 x图 1-1 x0，求lim x 0f-1 图 1-2 sinx,xx。1x2,040设x nx22n2xn，求lim nxn。n2341若f1，求lim x0fxfx。x2x42利用极限存在准则证明：lim nnn21n212n21n1。43求下列函数的间断点，并判别间断点的类型(1)y1fx2，(2)y1x，(3)yx，(4)yx2x2xx44设fxx ,0 x11,x1，问：2(1) lim x 1,11x2x存在吗？(2) fx在x

7、1处连续吗？若不连续，说明是哪类间断？若可去，则补充定义，使其在该点连续。45设fxfx2,10 x1，fx的间断点，并指出是哪一x,3x1(1)求出x的定义域并作出图形。(2)当xf1，1，2 时，fx连续吗？2(3)写出x的连续区间。46设fx,2x,0 x24x2,0 x2，求出,4x2类间断点，若可去，则补充定义，使其在该点连续。47根据连续函数的性质，验证方程x53 x1至少有一个根介于1 和 2 之间。48验证方程x2x1至少有一个小于 1 的根。(B) 1在函数fx的可去间断点0 x 处，下面结论正确的是 ( ) A函数fx在x 左、右极限至少有一个不存在B函数fx在0 x 左、

8、右极限存在，但不相等C函数fx在0 x 左、右极限存在相等D函数fx在x 左、右极限都不存在12设函数 f x x 3 sin x , x 0，则点 0 是函数 f x 的( ) 0 , x 0A第一类不连续点 B第二类不连续点C可去不连续点 D连续点3若 lim x 0 f x 0，则 ( ) A当 g x 为任意函数时，有 lim f x g x 0 成立x x 0B仅当 x lim x 0 g x 0 时，才有x limx 0 f x g x 0 成立C当 g x 为有界时，能使 lim f x g x 0 成立x x 0D仅当 g x 为常数时，才能使 x lim x 0 f x g

9、x 0 成立4设 x lim x 0 f x 及x lim x 0 g x 都不存在，则 ( ) Ax lim x 0 f x g x 及 lim x x 0 f x g x 一定不存在Bx lim x 0 f x g x 及x lim x 0 f x g x 一定都存在Clim f x g x 及 lim f x g x 中恰有一个存在，而另一个不存在x x 0 x x 0Dx lim x 0 f x g x 及 lim x x 0 f x g x 有可能存在x 2sin 15lim x 0 sin x x 的值为 ( ) A1 BC不存在 D0 26lim x 1 x sin1 2 1x

10、x2 ( ) 1 1 2ABC0 D3 3 37按给定的 x 的变化趋势，下列函数为无穷小量的是 ( ) Ax4x2x1( x) B11x1( x) 1的值域xC12x(x0) Dxx(x0) sin8当x0时，下列与 x同阶 (不等价 )的无穷小量是 ( ) AsinxxBln1xC2 x sinxDex19设函数gx12x，fgx1xx2，则f1为( ) 22A30 B15 C3 D1 10设函数fx2x24(0 x2)的值域为 E ，gxx22x2为 F ，则有 ( ) 2xAEFBEFCEFDEF11在下列函数中，fx与gx表示同一函数的是 ( ) Afx1，gx1x0Bfxx，gxx

11、2xCfxx2，gxxDfx3x3，gxx12与函数fx2 的图象完全相同的函数是 ( ) Alne2xBsinarcsin2xCeln2xDarcsinsin) 13若x1，下列各式正确的是 ( ) A11Bx21Cx31Dx1x14若数列x n有极限 a，则在 a的领域之外，数列中的点 ( A必不存在B至多只有限多个C必定有无穷多个D可以有有限个，也可以有无限多个15任意给定M0，总存在X0，当fxxX时，fxM，则 ( ) AxlimfxBxlimCxlimfxDxlimfx16如果x lim x 0fx与x lim x 0fx存在，则 ( ) x0Alim x x 0fx存在且lim

12、x x 0fxfx0fBlim x x 0fx存在，但不一定有lim x x0fxClim x x 0fx不一定存在Dlim x x 0fx一定不存在17无穷多个无穷小量之和，则( ) A必是无穷小量B必是无穷大量C必是有界量D是无穷小，或是无穷大，或有可能是有界量a18yarccoslnx21，则它的连续区间为 ( ) Ax1Bx2Ce1,22,e1De1,22,e119设fxlim n3nx，则它的连续区间是 ( ) 1nxA,Bx1(n 为正整数 )处nC0,0Dx0及x1 处 n20设fxex,x0要使fx在x0处连续，则 a( ) axx0A2 B1 C0 D-1 21设fx1sin

13、x,x0，若fx在,上是连续函数，则x3a,x0( ) A0 B1 C1D3 33x,1x122点x1是函数fx1 ,x1的( ) 3x,x1A连续点B第一类非可去间断点C可去间断点D第二类间断点) Dlim x 01123方程x4x10至少有一根的区间是 ( A0,1B11,C,2 3D,1 22224下列各式中的极限存在的是( ) 5xAlim xsinxBlim x 0e1Clim x2x2x212x3x25lim x 0 xx( ) sin。A1 B0 C-1 D不存在26lim n12nn2n2n2。27若fx1x213，则fxxx2，b。28函数ylnx21的单调下降区间为29已知

14、lim na2n2nbn52，则 a3230lim xx2axe2，则 a。x11是31函数fxex的不连续点是，是第类不连续点。32函数fxsin1的不连续点是，是第不连续点。x33当x0时，31x1。34已知fx1x1，为使fx在x0连续，则应补充定义f0。x35若函数fx1与函数gxx的图形完全相同，则x 的取值范围x。36 设fxxx3， 若fx0， 则 x； 若fx0， 则x；若fx0；则 x。S 1S 2S n。37设fx2 x ,x0，gx5 x ,x0，则fgxx,x03x ,x038设0u1，函数fu有意义，则函数f lnx的定义域。39设数列xn1n1的前 n 项和为S ，

15、那么lim x1n。40如果x0时，要无穷小1cosx与asin2x 2等价，a应等于x连续。41要使lim x 0axb10，则 b 应满足。x42x lim1xx21x2,x1，当 A43函数fx时，函数f1x44已知lim x 2A,x1，b。x2axb2，则 ax2x21则 a45fxex2,x0，lim x 0fx；若fx无间断点，ax0。处可可连续开拓，只须令f0 xsin1在点x046函数fxx47lim x 012cosx。xcosx。48lim xx3ex。x49lim x 01cos2x250设Gxlnx，证明：当x0，y0，下列等式成立：(1)GxGyGxy，(2) Gx

16、GyGx。y51设fxlg,1x1xyxe，求fgx和gfx。,0 x1，gx,1zyz。x152若1x x，证明：11yz53根据数列极限的定义证明：(1) lim x3n193，(2) lim nn1nn0，2n12(3) lim n0991，(4)lim nn21nn个54根据函数极限的定义证明(1) lim x 0 xsin10，(2) lim x132x202，xx23(3) lim xarctgx0，(4)x lim 2x2x55求下列极限2 n(1) lim x 0 3 x 2 xx 12 (2) lim x 1 x xm 11 ( n， m为正整数 )，(3) x lim 11

17、 xx (4) x lim xx cos7 x81 19(5) lim x 4 x2 7x 3 5 x100 8 (6) lim x 1 1 1x 1 3x 3(7) lim x 0 1x cossin x 2 x(8) limx 2 x cos x22 2(9) lim arcsin x (10) lim sin x sin ax 0 x x a x a1(11) limx 0 1 2 x 1x (12) lim x 0 1 1 xx xkx(13) lim x 01 tgx cos x(14) limx 1 1x ( k 为正整数 ) 56当 x 0 时，求下列无穷小量关于 x 的阶(1)

18、 x 3 x 6，(2) x 2 3 sin x，(3) 1 x 1 x，(4) tgx sin x57试证方程 x a sin x b，其中 a 0，b 0，至少有一个正根，并且不超过 a b。58设 f x 在闭区间 0 , 2 a 上连续，且 f 0 f 2 a，则在 ,0 a 上至少存在一个 x，使 f x f x a。59设 f x 在 a, b 上连续，且 f a a，f b b，试证：在 a, b 内至少有一点，使得： f。60设数列 x 有界，又 lim n y n 0，证明 lim n x n y n 0。3 3 3 361设 x n 1n 4 2n 4 3n 4 nn 4，

19、求 lim n x n。3 x , 1 x 162设 f x 2 , x 1，求 lim x 0 f x 及 lim x 1 f x。23 x , 1 x 2x x63求x lim ee x ee x。64求 lim x 0 2 sin xx 3 sin 2 x。65求下列极限(1) lim t 2ett14xx2x(2) lim2sin2xxxcosx4(3) lim x 15xx(4) lim x asinxsina1xa(6) lim x 013 tg2xcos(5) x limx2x(7) lim x 0exx1。(8) lim x2x3x12x166求lim x 0lnxx1(C)

20、fx1 若 存 在0 ， 对 任 意0 ， 适 合 不 等 式xa的 一 切 x ， 有L，则( ) fxAfx在 a不存在极限Bfx在a,a,a严格单调Cfx在a,a无界D对任意xa，fxL2 若 存 在0 ， 对 任 意0 ， 适 合 不 等 式xa的 一 切 x ， 有L，则( ) Axlim afxLBfx在 R 上无界) Dfx在 R 上单调Cfx在 R 上有界3函数fxlim n1xnxn2x2n(x0)，则此函数 ( A 没有间断点 C有两个以上第一类间断点B有一个第一类间断点 D有两个以上间断点，但类型不确定4若函数ykx2kx473的定义域为 R ，则 k 的取值范围是 (

21、) 3kxA0k3Bk0或k3C0k3Dk44445两个无穷小量与之积仍是无穷小量，且与或相比 ( ) A是高阶无穷小B是同阶无穷小C可能是高阶，也可能是同阶无穷小D与阶数较高的那阶同阶6试决定当x0时，下列哪一个无穷小是对于x 的三阶无穷小 ( ) A3x2xBa3 xa(a0是常数 ) 1Cx30. 0001x2D3 tan x7指出下列函数中当x0时( )为无穷大A2x1B1sinxxCexDexsec8fx1xx1x,x0，如果fx在x0处连续，那么 k( ) A0 k ,x0。B2 C1D1 29使函数yx1x1为无穷小量的 x的变化趋势是 ( ) x31Ax0Bx1Cx1D x1

22、，若 xfxfyfz，则 z = 。10设fx11若xx ,x0而fx2x，则fxx ,x01ex,x0处连续，则 afx在x。12若fx3x,0 x1在x1，L。e2axax e1,1x13设x lim1x3ax21x4有有限极限值L，则 ax14lim x axaaxa(a0) = 。0 x2215证明lim xsinx不存在。16求lim nn1xn(0 x1)。gx，试证：17求lim x3x9x1。x18设gx在x0处连续，且g00，以及fx处连续。19利用极限存在准则证明：数列2 ，22，222，, 的极限存在。f20设fx适合afxbf1c( a 、 b 、 c 均为常数 )且a

23、b，试证：xxxfx。f使21设函数f 在,内有定义，fx0，fxyfxfy，试求1985。22设x 、x 、fx都为单调增加函数，且对一切实数x 均有：xfxx，求证xffxx。23证明fxsin2当x0时左右极限不存在。x24设x n111111，证明：当 n时nx 的极限存在。2232n225若fx在a,b上连续，ax 1x 2xnb，则在x ,x n上必有，ffx1fx2fxn。n26证明，若fx在,内连续，且xlimfx存在，则fx必在,内有界。其中27lim nnn11992，求、的值。，2,3内有唯一的根，n28证明方程xa 11xa22xa 330，在1,2a ，a ，a 均为

24、大于 0 的常数，且123。第一章函数、极限与连续(A) 1区间a ,表示不等式 ( B ) xDaxC ) AaxBaxCa2若t3t1，则3t1( D ) t93 t63 t32A3t1B6t2C9t2Dx的定义域是 ( 3设函数fxln3x152xarcsinA1,5B1 ,5C11,D1,13223数f4下列函数fx与gx相等的是 ( A ) Afxx2，gxx4Bfxx，gxx2Cfxx1，gxx1Dfxx21，gxx1x1x1x15下列函数中为奇函数的是( A ) AysinxByxe2C2x22xsinxDyx2cosxxsinxxx26若函数fxx，2x2，则fx1的值域为 (

25、 B ) A0 , 2B,0 3C,02D0 3,7设函数fxx e(x0)，那么fx 1fx 2为( B ) Afx 1fx 2Bfx 1x2Cfx 1x 2Dfx 1x28已知fx在区间,上单调递减，则fx24的单调递减区间是 ( C ) A,B, 0C0 ,D不存在9函数yfx与其反函数yf1x的图形对称于直线 ( C ) Ay0Bx0CyxDyx10函数y10 x12的反函数是 ( D ) Aylgxx2Bylog x2Cylog 21Dy1lgx2x11设函数fxax,x是有理数0a1，则 ( B ) 0,x是无理数A当 x时，fx是无穷大B当 x时，fx是无穷小C当 x时，fx是无

26、穷大D当 x时，fx是无穷小12设fx在 R 上有定义，函数fx在点x 左、右极限都存在且相等是函x在点x 连续的 ( C ) A充分条件 B充分且必要条件C必要条件D非充分也非必要条件213若函数 f x x a , x 1 在 R 上连续，则 a 的值为 ( D ) cos x , x 1A0 B1 C-1 D-2 14若函数 f x 在某点 0 x 极限存在，则 ( C ) Af x 在 x 的函数值必存在且等于极限值 0Bf x 在 0 x 函数值必存在，但不一定等于极限值Cf x 在 0 x 的函数值可以不存在D如果 f 0 x 存在的话，必等于极限值15数列 0 ，1 ，2 ，3

27、，4 ，, 是 ( B ) 3 4 5 6A以 0 为极限 B以 1 为极限C以 n 2 为极限 D不存在在极限n16limx x sin 1x ( C ) AB不存在 C1 D0 2 x17lim 1 1 ( A ) x x2 1Ae BC0 D218无穷小量是 ( C ) A比零稍大一点的一个数B一个很小很小的数f1C以零为极限的一个变量则fD数零f0= 2 ，2x,1x0 x的定义域为3,1，19设fx2 ,0 x11,0，则fx2的定义域是1,1。x,11x3= 0 。20已知函数yfx的定义域是b21若fx11x，则ffxxx1 ，fffxx 。22函数yex1的反函数为yln x1

28、。23函数y5 sinx的最小正周期 T2 24设f1x1x2，则fx111。xxx225lim xn3nn13 。226lim n11114 。32 14 1n 211393n27lim x 0 xlnx0 。28lim x2x3203x23022030 3。1505501 。5 xx,x129函数fxx,11x2的不连续点为3x ,x2、,1。30lim n3nsinxx 。3n31函数fxx11的连续区间是,1、1,1232设fxaxbx,x ,x0ab0，fx处处连续的充要条件是ab2x00 。k33 若fx,1x0，gxsinx， 复 合 函 数fgx的 连 续 区 间 是,1x0,

29、 k1，k0,1,2。34若lim xx21axb0，a ，b均为常数， 则 a1 ，b2 。x35下列函数中哪些是偶函数， 哪些是奇函数， 哪既非奇函数又非偶函数？(1)ytfx2 1x2偶函数(2)y3 x2x 3非奇函数又非偶函数(3)y1x2偶函数1x2(4)yxx1 x1奇函数(5)ysinxcosx1非奇函数又非偶函数(6)yax2ax偶函数36若f2 t2255t，证明ftf1 。tt2t证：1212 t25 t51tt2tft37求下列函数的反函数(1)y2x112x1解：y1ln1xx(2)y12sinxx1y1arcsinxx21arcsin1238写出图 1-1 和图 1

30、-2 所示函数的解析表达式2 yx1 yx1 图 1-1 -1 图 1-2 解： (1)y2 ,x0(2)yx,1x0,1x0 x,1x039设fxsinx,xx0，求lim x 0fx。nx1x2,0解：lim x 0fxlim x 0sinx1xx21l i m fx 0 xl i m 1x 0故lim x 0fx1。1n，求lim nxn。40设x n2 122n2n23nn12n解：lim n1222n2n2nlim n6 2 n313lim n112 n12nlim n211nn66241若fx1，求lim x0fxxfx。x2x解：lim x0 x211x22xx2x2xx l i

31、 m x 0 x22xxl i m x 0 x22xxxx23x42利用极限存在准则证明：nlim nn11nn21n1。n2n22证：n2n2nn21n2n211n2nn2n2且lim nn2n2n1，lim n1，由夹逼定理知2lim nnn21n212n21n143求下列函数的间断点，并判别间断点的类型(1)y1x2，(2)y1x，(3)yx，(4)yx1。2x2xx解： (1)当x1为第二类间断点； (2)x2均为第二类间断点；(3)x0，为第一类断点； (4)x0,1 ,2 ,，均为第一类间断点。44设fx ,0 x1x1,x1，问：2(1) ,11x2lim x 1fx存在吗？解：

32、lim x 1fx存在，事实上lim x 1fx1，lim x 11fx1，故lim x 1fx(2) fx在x1处连续吗？若不连续，说明是哪类间断？若可去，则补充定义，使其在该点连续。在x解：不连续，x1为可去间断点， 定义：f*xx,0 x1，则f*x1 ,x11处连续。21 ,1x45设fxx2,10 x1，fyx,3x10 1 x(1)求出fx的定义域并作出图形。解：定义域为,01时，fx不连续。(2)当x1，1，2 时，fx连续吗？2解：x1，x2时，fx连续，而x2(3)写出fx的连续区间。x的间断点，并指出是哪一解：fx的连续区间1,0、,1。,2x,0 x246设fx4x2,0

33、 x2，求出,4x2类间断点，若可去，则补充定义，使其在该点连续。解：(1)由lim x 0fx4，f02，故x0为可去间断点，改变fx在x0的定义为f04，即可使fx在x0连续。1 和 2 之(2)由lim x 2fx4，lim x 2fx0，故x2为第一类间断点。(3)类似地易得x2为第一类间断点。47根据连续函数的性质，验证方程x53 x1至少有一个根介于间。f2验证：设fx5 x3x1，易知fx在2,1上连续，且f130，2561250，故,12，使f0。f148验证方程x2x1至少有一个小于 1 的根。f010，验 证 ： 设fxx2x1， 易 知fx在1,0上 连 续 ， 且10，

34、故,1 2，使f0。(B) 1在函数fx的可去间断点0 x 处，下面结论正确的是 ( C ) A函数fx在x 左、右极限至少有一个不存在B函数fx在0 x 左、右极限存在，但不相等C函数fx在0 x 左、右极限存在相等D函数fx在x 左、右极限都不存在12设函数 f x x 3 sin x , x 0，则点 0 是函数 f x 的( D ) 0 , x 0A第一类不连续点 B第二类不连续点C可去不连续点 D连续点3若 lim x 0 f x 0，则 ( C ) A当 g x 为任意函数时，有x lim x 0 f x g x 0 成立B仅当 lim g x 0 时，才有 lim f x g x

35、 0 成立x x 0 x x 0C当 g x 为有界时，能使 x lim x 0 f x g x 0 成立D仅当 g x 为常数时，才能使 x lim x 0 f x g x 0 成立4设 x lim x 0 f x 及x lim x 0 g x 都不存在，则 ( D ) Ax lim x 0 f x g x 及 lim x x 0 f x g x 一定不存在Blim f x g x 及 lim f x g x 一定都存在x x 0 x x 0Cx lim x 0 f x g x 及 x lim x 0 f x g x 中恰有一个存在，而另一个不存在Dx lim x 0 f x g x 及 l

36、im x x 0 f x g x 有可能存在x 2sin 15lim x 0 sin x x 的值为 ( D ) A1 BC不存在 D0 26limx 1 x sin1 2 1x x2 ( A ) 1 1 2ABC0 D3 3 37按给定的 x 的变化趋势，下列函数为无穷小量的是( C ) 1的值域Ax4x2x1( x) B11x1( x) xC12x(x0) Dxx(x0) sin8当x0时，下列与 x同阶 (不等价 )的无穷小量是 ( B ) AsinxxBln1xC2 x sinxDex19设函数gx12x，fgx1xx2，则f1为( B ) 22A30 B15 C3 D1 10设函数f

37、x2x24(0 x2)的值域为 E ，gxx22x2为 F ，则有 ( D ) 2xAEFBEFCEFDEF11在下列函数中，fx与gx表示同一函数的是 ( D ) Afx1，gx1x0Bfxx，gxx2xCfxx2，gxxDfx3x3，gxx12与函数fx2 的图象完全相同的函数是 ( A ) Alne2xBsinarcsin2xCeln2xDarcsinsin13若x1，下列各式正确的是 ( C ) CxlimfxDxlimfxf) 016如果lim x x 0fx与lim x x 0fx存在，则 ( C Alim x x 0fx存在且lim x x 0fxfx0 xBlim x x 0f

38、x存在，但不一定有lim x x0fxClim x x 0fx不一定存在Dlim x x 0fx一定不存在17无穷多个无穷小量之和，则( D ) A必是无穷小量B必是无穷大量C必是有界量D是无穷小，或是无穷大，或有可能是有界量a18yarccoslnx21，则它的连续区间为 ( C ) Ax1Bx2Ce1,22,e1De1,22,e119设fxlim n3nx，则它的连续区间是 ( B ) 1nxA,Bx1(n 为正整数 )处nC0,0Dx0及x1 处 n20设fxex,x0要使fx在x0处连续，则 a( B ) axx0A2 B1 C0 D-1 fx1sinx,x0，若fx在,上是连续函数，

39、则21设x3( C ) a,x0A0 B1 1 C 3D3 22点x3x,1x11是函数fx1 ,x1的( C ) 3x,x1A连续点B第一类非可去间断点Dlim x 0211C可去间断点D第二类间断点23方程x4x10至少有一根的区间是 ( D ) A0,1B11,C,2 3D,1 22224下列各式中的极限存在的是( C ) Alim xsinxBlim x 0e1Clim x2x225xxx3x125lim x 0 xx( D ) sinA1 B0 C-1 D不存在26lim n12n1 。2n2n2n26 。27若fx1x213，则fxx21。xx228函数ylnx21的单调下降区间为

40、,0。29已知lim na2n2nbn52，则 a0 ，b3230lim xx2axe2，则 a2 。x11,031函数fxex的不连续点是x0，是第二类不连续点。32函数fxsin1的不连续点是x0，是第二类不连续点。x33当x0时，31x1x 。在x0连续，则应补充定义f01 。ex1x1，为使fx34已知fx35若函数fx1与函数gxx的图形完全相同，则x的取值范围是x。1,036设fxxx3，若fx0，则 x0 或 1 ；若fx0，则 x。,1；若fx0；则 x,1 0,1。10 x,x02x ,x0，gx5x ,x0，则fgx37设fxx ,x03x ,x0,16x ,x038设0u

41、1，函数fu有意义，则函数f lnx的定义域e。39设数列x n1n1的前 n 项和为S ，那么lim x1S 1S 2S nn1 。240如果x0时，要无穷小1cosx与asin2x 2等价， a 应等于2 。axb10，则 b 应满足b41要使lim x 01。x42x lim1x0 。x21x2,x1，当 A43函数fx2 时，函数fx连续。1x44已知lim x 2A,x1，b-8 。x2axb2，则 a2 x2x21则 a45fxex2,x0，lim x 0fx0 ；若ffx无间断点，a,x00 。xsin1在点x0处可可连续开拓，只须令00 。46函数fxx47lim x 012c

42、osx1 。2xcosx48x limx30 。ex49lim x 01cos2x1 。2x250设Gxlnx，证明：当x0，y0，下列等式成立：(1)GxGyGxyGxy证：GxGylnxlnylnxy(2) GxGyGxx yy证：GxGylnxlnylnxGy,1x1fgx和gfx。51设fx,0 x1，gxxe，求,1x10,1gx1,1x解：fgx,0gx1,0 x0，,1gx1,1x0e ,x1yz。gfxefx1 ,x1e1,x152若xlg1x，证明：yz1x1yz解：yzlg1ylg1zlg1yzyz1y1z1yzyzyzlg1yzlg1y1yzzyz1yz1yz1yzyz1

43、yz故结论成立。53根据数列极限的定义证明：(1) lim x3n133 n13251n25， 只 要n5， 取2n12证 ：0 ， 要 使2 n122 nAN5，则当nN时，恒有3n13，即lim x3n13 2。n，2n122n11n21(2) lim nn1n0证：0，因n12n1n，要使n1只 要n12， 取N12， 则 当nN时 ， 恒 有n1n， 即22lim nn1n0。，只要1n，(3) lim n099个91n证：0 ，因0999911，要使0999910n10nn 个，即即只要nlog101。取Nlog101，则当nN时，恒有09999n 个lim n09991。n2nn1

44、1nn2nn2n，只 要n1。取n2n1n 个(4)lim nn证：0 ， 因nn2nnN1，当nN时，恒有n2，即lim nn1。nn54根据函数极限的定义证明当 x(1) lim x 0 xsin1 x0 x，要使xsin1 x，只要 x。，则证：0，因xsin1x时，恒有xsin1，即lim x 0 xsin10。xx(2) lim x12x223x23取z证：0，因132x 2212，要使12 x22，要使x1，x233 x3 x2331，则当xX时，恒有1322 x2，即lim x132x22。32 x3x23恒有2，则当xz时，(3) lim xarctgx0 x证：0，因arct

45、gx2 ，只要 xx2，取zxarctgx，即lim xarctgx0。x2，取2 ，则当x(4)lim x 2x200 x证：0 ，要使x2，只要0 x22时，恒有x2，即lim x 2x20。55求下列极限(1) lim x 03xx2x12x0n2(2) 解：原式1 2lim x 1xn1(n， m为正整数 )，xm1解：原式lim x 1xn1xn2(3) xm1xm2x0mx lim1x1x解：原式x lim111x(4) 11xx limxxcosx7解：原式x lim11cosx1192xsin2ax 7x(5) lim x4x7815x8192x3100解：原式lim x481

46、19 5100 x43152100 x1001(6) lim x 111x133x解：原式lim x 11x1x22x1xx(7) lim x 01xcos2xsinx1解：原式lim x 02sin2x2xsinx(8) limcosxx2 x2解：原式limsinx2x2x21(9) lim x 0arcsinxx解：令xsin ，原式lim x 0ttsin(10) lim x asin2xsin2axalim x asin解：原式0lim x a2sinxcosx0(11) lim x 012x1x解：原式e21(12) lim 1 x xx 0 1 x1lim x 0 1 x xe

47、2解：原式 1 1 elim x 0 1 x x ecos x(13) lim x 01 tgx1 sin x0解：原式 lim x 0 1 tgx tgx e 1kx1(14) lim x 1x ( k 为正整数 ) x k解：原式 lim x 1 1x e k56当 x 0 时，求下列无穷小量关于 x 的阶3 6(1) x x 解：3 阶(2) x 2 3sin x 解：7 阶3(3) 1 x 1 x 解：1 阶(4) tgx sin x 解： 3 阶57试证方程 x a sin x b，其中 a 0，b 0，至少有一个正根，并且不超过 a b。证：令 f x x a sin x b，则

48、f 0 b 0，f a b a b a sin a b b 0且 f x C a , a b，故 ,0 a b，使 f 0。58设 f x 在闭区间 0 , 2 a 上连续，且 f 0 f 2 a，则在 ,0 a 上至少存在一个 x，使 f x f x a。证 ： 令 x f x f x a， 于 是 x 在 0 , a 上 连 续 ， 由 于 条 件0 f 0 f a f 2 a f a ( 若 0 0， 则 显 然 结 果 成 立 ， 若0 0 ) a f a f 2 a f a f 0， 显 然 0 a 0， 故 a, b 使f x f x a，综上，,0 a 使 f x f x a。5

49、9设 f x 在 a, b 上连续，且 f a a，f b b，试证：在 a, b 内至少有一点，使得： f。证：令 x f x x，于是 x 在 a, b 上连续，且 a f a a 0，b f b b 0，故 a, b，使 0 ，即 f。60设数列 x 有界，又 limn y n 0，证明 limn x n y n 0。证：由假设不妨设 xn M， M 为一正数，0，由 lim n y n 0，故自然数，当 x N 时，恒有 y nM，故恒有 x n y n MM，即 limn x n y n 0。3 3 3 361设 x n 1n 4 2n 4 3n 4 nn 4，求 lim n x n

50、。2 2解：原式 lim n n4 nn 4 1 143 x , 1 x 162设 f x 2 , x 1，求 lim x 0 f x 及 lim x 1 f x。23 x , 1 x 2解：lim x 0 f x lim x 0 3 x 0 x lim 1 0 f x x lim 1 0 3 x 23，x lim 1 0 f x x lim 1 0 3 x 3，故 lim x 1 f x 3x x63求 x lim ee x ee x。2 x解：原式x lim 11 ee 2 x 12 sin x sin 2 x64求 lim x 0 x 3解：原式 lim x 0 2 sin x 1x 3

51、 cos x lim x 0 4 sin xx sin3 22 xlim x 0 sinx 22 x2 1465求下列极限(1) lim t 2ett13sinxcosxx21211解：原式e221(2) lim2sin2xxcosx4解：原式lim x 42sinxcosxlim x 42cosxcos12(3) lim x 15xx41xx2解：原式lim x 1x14x15x4(4) lim x asinxsinaxa解：原式lim x acosxcosaxlim x(5) lim xx2xx2x解：原式limx2xx2xx21tg2cosxxx(6) lim x 013 tg2xcos

52、x解：原式lim x 013 tg2x1tg2x1e03(7) lim x 0exx1解：原式0lim x aex10(8) lim x2x3x12 x1解：原式lim x1212x12x1e2x122x66求lim x 0lnxx。1110lim x 0解：原式011x(C) fx1 若 存 在0 ， 对 任 意0 ， 适 合 不 等 式xa的 一 切 x ， 有L，则( D ) fxBfx在a,a严格单调Afx在 a不存在极限Cfx在a,a无界D对任意xa,a，fxL2 若 存 在0 ， 对 任 意0 ， 适 合 不 等 式xa的 一 切 x ， 有L，则( C ) Axlim afxLB

53、fx在 R 上无界) Dfx在 R 上单调Cfx在 R 上有界3函数fxlim n1xnxn2x2n(x0)，则此函数 ( A A 没有间断点 C有两个以上第一类间断点B有一个第一类间断点 D有两个以上间断点，但类型不确定4若函数ykx2kx473的定义域为 R ，则 k 的取值范围是 ( B ) ) kxA0k3Bk0或k3C0k3Dk344445两个无穷小量与之积仍是无穷小量，且与或相比 ( A A是高阶无穷小B是同阶无穷小C可能是高阶，也可能是同阶无穷小D与阶数较高的那阶同阶6试决定当x0时，下列哪一个无穷小是对于x 的三阶无穷小 ( B ) ( D ) A3x2xBa3 xa(a0是常

54、数 ) Cx30. 0001x2D3 tan x7指出下列函数中当x0时( D )为无穷大A2x1B1sinxxCexDe1xsec8fx1xx1x,x0，如果fx在x0处连续，那么 kk,x0A0 B2 C1D1 29使函数yx1x1为无穷小量的 x的变化趋势是 ( C ) x31Ax0Bx1Cx1D x10设fx1 ，若 xfxfyfz，则 z =xxyy。11若xx ,x0而fx2x，则fx0 ,x ,x0。x0 x ,x0 x ,x0112若fx3ex,x0处连续，则 a0 。3x,0 x1在x1e2axax e1,1x13设x lim1x4 ，L10 ax21x4有有限极限值 L ，

55、则 ax14lim x axaaxa(a0) =1a。x2222M，2k3M，15证明lim xsinx不存在。A，但对1 ，4，k0使2k设lim xsinx2但sin2k21，sin2 k301，而 1，1不能同时落在A1 A 4x1024内，故lim xsinx不存在。n1xn(0 x1)。16求lim nlim n1xn1x n1解：原式nxn17求lim x3x9x1。xx9x1（）解：x lim3xe1ln3x9xexlimln3x9xx limxxelim xln33 x39x9ln39xx在3xln39xln93xln39xln9e xlim3x9xe3x9xxx318设gx在x0处连续，且g0，以及fxgx，试证：f处连续。证：0 ，由于gx在x0处连续，所以0 ，当 x0时，恒有gxg0gx，由假设fxgx，g00，易知fx，