一元二次方程学案(学生用)

1、都龙文学校个性化教育学案93x93x教学生：年级：时间:都龙文学校个性化教育学案93x93x北师大版九年级(上)第二章：一元二次方程认识一元二次方程：概念：只含有一个未知数，并且可以化为ax2bxc=0(a,b,c为常数，a,0)的整式方程叫一元二次方程。构成一元二次方程的三个重要条件：、方程必须是整式方程(分母不含未知数的方程)。22女口：x2-3=0是分式方程，所以x2-3=0不是一元二次方程。xx、只含有一个未知数。、未知数的最高次数是2次。一元二次方程的一般形式：一般形式：ax2bxc=0(a,0)，系数a,b,c中，a一定不能为0，b、c则可以为0，所以以下几种情形都是一元二次方程：

2、、如果b=0,c,0，则得ax2c=0，例如：3x2-2=0；、如果b,0,c=0，则得ax2bx=0，例如：3x2+4x=0；、如果b=0,c=0，则得ax2=0，例如：3x2=0；、如果b,0,c,0，则得ax2+bx+c=0，例如：3x2+4x-2=0。其中，ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。任何一个一元二次方程经过整理去括号、移项、合并同类项都可以化为一般形式。【例题】：将方程(x-3)(3x+1)=x2化成一元二次方程的一般形式解：(x一3)(3x+1)=x2去括号，得：3x2一8x一3=x2移项、合并同类项，得：2x2-8x-3=0

3、一般形式的等号右边一定等于兀二次方程的解法：1直接开方法：(利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解)形式：(x+a)2=b举例：解方程：9(x+1)2=25解：方程两边除以9,得:25(x1)2=5258=1=,x=1=33233龙文学校成都龙文学校个性化教育学案龙文学校成都龙文学校个性化教育学案、配方法：（理论依据：根据完全平方公式：a22ab+b2，（ab）2，将原方程配成（x+a）2，b的形式,再用直接开方法求解.）举例：解方程：4x2-8x+3，0解：x2-2x+色=043x2-2x，一一43x22x+12，+1241(x一1)2，41x1，土21311.x，+1，,x2，一+1

4、，-12222配方法解一元二次方程ax2+bx+c，0a0的步骤:、二次项系数化为1.（两边都除以二次项系数.）、移项（把常数项移到=号右边）配方.（两边都加上一次项系数绝对值一半的平方，把原方程化成（x+a）2，b的形式）求解用直接开方法求出方程的解龙文学校成都龙文学校个性化教育学案龙文学校成都龙文学校个性化教育学案龙文学校成都龙文学校个性化教育学案龙文学校成都龙文学校个性化教育学案、公式法：（求根公式：x，出b2一4处）2a举例：解方程：2x2-7x，3公式法解一元二次方程的步骤:解：2x2一7x一3，0元二次方程化为一般形式：ax2+bx+c，0（a0）a，2,b，7,c，3.b24ac

5、，(7)24x2x(3)，730、求出b2-4ac的值.(7)7737x，2x2*、若b2-4ac0，则把a,b,c及b2-4ac的值代入7+7737一773.x1，,x2，44求根公式，求出x和x，若b24ac0，则方程无解。12、分解因式法：（理论依据:ab，0，则a，0或b，0;利用提公因式、运用公式、十字相乘等分解因式方法将原方程化成两个因式相乘等于0的形式。【1】提公因式分解因式法:举例：、解方程：x2-5x，0、解方程：（x一3）2+2x（x一3），0解：原方程可变形为:解：原方程可变形为:龙文学校成都龙文学校个性化教育学案龙文学校成都龙文学校个性化教育学案龙文学校成都龙文学校个性

6、化教育学案龙文学校成都龙文学校个性化教育学案x(x-5)，0.x，0或x一5，0(x一3)(x一3+2x)，0.x3，0!或x3+2x，0 x0,x512【2】运用公式分解因式法：龙文学校成都龙文学校个性化教育学案龙文学校成都龙文学校个性化教育学案、解方程:例：、解方程:(2x1)2=(3x)2解：原方程可变形为:解：原方程可变形为:龙文学校成都龙文学校个性化教育学案龙文学校成都龙文学校个性化教育学案龙文学校成都龙文学校个性化教育学案龙文学校成都龙文学校个性化教育学案(2x1)2(3x)2=0(2x1,3x)(2x13,x)=02x1+3x=0!或2x13+x=04x=2,x=123x=2,x

7、1【3】十字相乘分解因式法(简单、常用、重要的元二次方程解法):龙文学校成都龙文学校个性化教育学案龙文学校成都龙文学校个性化教育学案龙文学校成都龙文学校个性化教育学案龙文学校成都龙文学校个性化教育学案举例：解方程：x25x6=0解：原方程可变形为:(x6)(x,1)=0十字相乘法：(x,a)(x,b)=x2+(a,b)x,ab+1父叉相乘：11,1(6)=5，ix=6,x=112【4】其它常见类型举例:即等于一次项系数。所以!x25x6可以分解成(x6)(x,1)i、解方程：(x,1)(x,3)=8、解方程:(换元法)解：原方程可变形为:解：令y=2x原方程可化为：y1=，即：y2y2=0y(

8、y2)(y,1)=0.y2=0或y,1=0(x,5)(x1)=0 x+5=0!或x1=0y=2,y=112.x2,x=2，即x2,x2=0 x=5,x=112(x,2)(x1)=0,x=2,x=112或x2,x=1，即x2,x,1=0.a=1,b=1,c=1b24ac=12411=30方程x2,x,1=0无解。原方程的解为：x=2,x=112都龙文学校个性化教育学案都龙文学校个性化教育学案、数字问题、面积问题牢记有关面积的公式，熟练计算组合图形的面积、面积的转化、平均增长率或降低率问题其基本关系式：a（1x）n=b，其中a是增长（或降低）的基础量,x是平均增长（或降低）率，n是增长（或降低）的

9、次数（常考的是两年期，即n=2，a（1x）2=b），b是增长（或降低）后的数量（总量），增长为“+”降低为“-”、商品利润问题（重点）基本公式：1、单件利润=单件进价2、总利润=单件利润x销售量、运动问题、动点问题。例题：将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个。问：为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？解法一：设售价定为x元，依题意可得：x-40500-10 x-50）=8000整理得：x2140 x+4800=0解得：x=60,x=8012售价应定为60元或80元.当定为60元时，应进货500-10 x60

10、-50）=400个；当定为80元时，应进货500-10 x80-50）=200个；解法二：设上涨x元，依题意可得：x+10）500-10 x）=8000整理得：x240 x+300=0解得：x=10,x=3012.售价应定为10+50=60元或30+50=80元.当定为60元时，应进货500-10 x60-50）=400个；当定为80元时，应进货500-10 x80-50）=200个；5.常考题型及其相应的知识点：1利用一元二次方程的一个已知根求系数及求另一个根问题：例：关于x的一元二次方程（m-1）x2xm2，1=0有一根为0，则m的值为思路分析：有一根为0，说明有x=0，可代入原方程求出m

11、.注意：一元二次方程时刻不要忘记对二次项系数a的讨论：a0解：将x=0代入原方程得：（m-1）x020m2一1=0即：m21=0/.m=+1又因为m一10即m1m的值为1龙文学校成都龙文学校个性化教育学案2：一元二次方程x2mx3=0的一个根为-1，则另一个根为思路分析：先将已知的一个根代入原方程，解出未知系数m，再解出此时一元二次方程的两根.解：将X=-1代入原方程得：(1)2mX(1)3=04一m=0,m=4原方程即为：x24x3=0(x1)(X3)=0、判别式：b2，4ac，方程根的情况：判别式b2，4ac与一元二次方程根的情况：b2，4ac0o方程有两个不相等的实数根b2，4ac=0o

12、方程有两个相等的实数根或说方程有一个实数根b2，4ac0.解:a=1,b=-2(k1),c=k21b24ac=-2(k1)2-4x1x(k21)=8k8因为方程有实数根，b2，4ac0即:8k80k-1例：方程x2，x2=0的根的情况是().A、只有一个实数根.B、有两个相等的实数根.C、有两个不相等的实数根.D、没有实数根思路分析：判别方程根的情况，之需要计算判别式b2，4ac的值与0比较.解：a=1,b=，1,c=2b24ac=(-1)2-4x1x2=-7、已知x、y是实数，若xy=0，则下列说法正确的是（、若2x+1与2x-1互为倒数，则实数X为()()土V2、若方程ax2+bx+c=0

13、(a丰0)中,(),()、用配方法解关于的方程abc满足a+b+c=0和a-b+c=0,贝U方程的根是()(),()无法确定时，此方程可变形为pp2)(x+T)2=匚(x+匕)2=24p)(xJ)2=(x，上)2=to!24x25x6、使分式x+1的值等于零的、方程x(x+1)(x2)0的解是(),(),()、，一,、丿，、某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为()+)()-=3()-)()()的根是细心填一填方程方程(x-2)77匚T=0的根是方程组丨设方程若是方程已知方元二次方程则以为两根的的解是的两个根互为相反数

14、，则的两个根，则的两根为，元二次方程是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的一组解是y=4,请写出符合要求的方程组成都龙文学校个性化教育学案成都龙文学校个性化教育学案葛t师1对1y（m+1）x一2已知关于的方程组y,（m1）x2+（m5）x+6有两个实数解,则的取值范围是关于的方程的两个实根中，只有一个根大于，则的取值范围是已知AABC中，长为，的长是关于的方程的两个根,则实数的取值范围是二、填空题（年广东省）方程的解是（年辽宁省一市）一元二次方程的根是（年成都市）方程的解是（年青海省湟中县）正在修建的西塔（西宁塔尔寺）高速公路上，有一段工程，若甲、乙两个工程队单独完成，甲工程队比

15、乙工程队少用天；若甲、乙两队合作，天可以完成若设甲单独完成这项工程需要天，则根据题意，可列方程为TOC o 1-5 h z下列方程中，两根分别为-1+朝,-1_后的是（）（）若二次三项式可分解为，则的值为（）（）（）（）（）解方程：2x2-4x-2；x22x+1=0,设y=x2-2x+1，于是原方程变形为（）（）若Jx+y（!那么,的值或已知是的三边长，且方程有两个相等的实数根，那么这个三角形是（）（）底边与腰不相等的等腰三角形（）等边三角形（）三边均不相等的三角形（）直角三角形已知关于的方程有实数根则代数式有（）（）最大值（）最小值（）最大值（）最小值（三）认真答一答、解方程（）=（）-=（）（2x-1）29（直接开平方法）龙文学校成都龙文学校个性化教育学案龙文学校成都龙文学校个性化教育学案()(x+4)2=5(x+4)(因式分解法)龙文学校成都龙文学校个性化教育学案龙文学校成都龙文学校个性化教育学案龙文学校成都龙文学校个性化教育学案龙文学校成都龙文学校个性化教育学案(