2022年几何综合之等高一半鸟头

1、平 面 几 何 综 合 一板块一 三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积如果三角形的底不变，高越大( 小) ，三角形面积也就越大( 小) ；如果三角形的高不变，底越大( 小) ，三角形面积也就越大( 小) ；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化但是，当三角 形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化比如当高变为原来的 3 倍，底变为原来的 1，则三角形面积与原来的一样这就是说：一个三角形的面积变化与否取 3 决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化同时也告诉我们：

2、一个三角形 在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；SACDSBCD；S1S2B两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；ab如左图S 1:S 2a b夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图A反之，如果SACDSBCD，则可知直线AB 平行于CD等底等高的两个平行四边形面积相等( 长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；CD三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比 等于它们的高之比例题精

3、讲【例 1 】 如图在ABC中， D 在 BA 的延长线上，E在 AC 上，且AB:AD5 : 2，AE:EC3 : 2，SADE12平方厘米，求ABC的面积DAEB C【巩 固】图中三角形 ABC 的面积是 180 平方厘米，D 是 BC 的中点， AD 的长是 AE 长 的 3 倍，EF 的长是 BF 长的 3 倍那么三角形 AEF 的面积是多少平方厘米？AEFDCFC ，已知阴影部分面积为5 平方厘米，ABCB【例 2】如右图， ADDB ，AEEF的面积是平方厘米BDAEFCCE3AE ，三角形 ADE的面积是 20 平方ABC 中，DC2BD ，【巩 固】如图，三角形厘米，三角形AB

4、C 的面积是多少？A EBDC【例 3】如图，把四边形 ABCD的各边都延长 2 倍，得到一个新四边形 EFGH如果 ABCD的面积是 5 平方厘米，则 EFGH的面积是多少平方厘米 ? 【巩固】如图，四边形 EFGH 的面积是 66 平方米， EA AB ，CB BF ， DC CG ，HDDA ，求四边形ABCD 的面积HDCG52 公顷，两条对角线把它分成了4 个小三角形，EABF【例 4】图中的四边形土地的总面积是其中 2 个小三角形的面积分别是 公顷 ? 6 公顷和 7 公顷那么最大的一个三角形的面积是多少【巩固】下图中四边形ABCD的面积是 108 平方厘米，对角线 AC、BD相交

5、于点 O，S ABO5平方厘米，SABO：SADO5:7，求SCOD。【例 5】如图，正方形ABCD和正方形 CEFG的边长分别为m，n，那么 AFG的面积的FE值（）AD A、只与 m的大小有关 B、只与 n 的大小有关G C、与 m、n 的大小都有关 D、与 m、n 的大小都无关BC【巩固】两个正方形如右图表示，大正方形ABCD 的边长是 10 cm ，求图中阴影BFD的面积是多少？ADFGBCE【例 6】如图，正方形ABCD 和正方形 CEFG ，且正方形ABCD 边长为 10 厘米，A求图中三角形BFD 的面积为多少平方厘米？DGF HBCE4 厘米，求三角形ABC【巩固】右图是由大、

6、小两个正方形组成的，小正方形的边长是的面积【例 7】如图，有三个正方形的顶点D 、G、K 恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB的边长为10 厘米，求阴影部分的面积PDCGFOAQBHKE【巩固】两个正方形组成右图所示的组合图形。已知组合图形的周长是 52 厘米， DG=4厘米，求阴影部分的面积。板块二：一半模型例题精讲【例 8】如图所示， 四边形ABCD与AEGF都是平行四边形， 请你证明它们的面积相等FA BGDEC【巩 固】如图所示，正方形ABCD 的边长为 8 厘米，长方形 EBGF 的长 BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？E A BFDGC【例 9】如图，长方形ABCD的面积

7、是 56 平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上另一组对的中点， H为 AD边上的任意一点，求阴影部分的面积. AH DE GBF C在边长为6 厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，边三等分，分别与P 点连接 , 求阴影部分面积ADPB C【例 10】【巩固】 ( 首届全国资优生思维能力测试) ABCD是边长为 12 的正方形， 如图所示， P 是内部任意一点，BLDM4、BKDN5，那么阴影部分的面积是_ALBP K NDMC【例 11】把矩形分成 4 个不同的三角形，绿色三角形的面积是矩形面积的 15，黄色三角形的面积是 21cm2求矩形面积 . 【巩固

8、】 将长 15 厘米，宽9 厘米的长方形的长和宽都分成三等份，长方形内任意一点与分点及顶点连结，如下图，则阴影部分的面积是 _平方厘米【例 12】如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是 13，35，49。那么图中阴影部分的面积是多少？【巩固】 O是长方形ABCD内一点，已知三角形OBC的面积是 5cm2，三角形OAB的面积是 2cm2，求三角形 OBD的面积是多少 ? 【巩固】 如右图，长方形ABCD 的长是 8 厘米，宽是5 厘米，阴影部分的面积和是12平方厘米，求四边形OEFG 的面积是多少平方厘米？ADOBEFGC板块三：差不变原理 若 a-b=c，则（ a+d）-

9、（b+d）=c 或者（ a-d）-（b-d）=c 类似的如果两个图形面积差是x 平方厘米，那么两个图形分别加上同一个图形后各自形成的两个新图形的面积差也是 x 平方厘米【例 13】（小学数学奥林匹克决赛试题）右图中，ABCD是 7 4 的长方形， DEFG是 102 的长方形，求三角形BCO与三角形 EFO的面积之差ABF比三角形 EDF【巩固】右图中，矩形ABCD的边 AB为 4 厘米， BC为 6 厘米，三角形的面积大 9 厘米 2，求 ED的长AD板块四鸟头模型AEC两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形BD共角三角形的面积比等于对应角( 相等角或互补角) 两夹边的乘

10、积之比如图在ABC中，D E 分别是AB AC 上的点如图( 或 D 在 BA 的延长线上，E 在 AC 上) ，则SABC:SADE(ABAC) : (ADAE)BEC【例 13】如 图 在ABC中 ，D E 分 别 是A B A C上 的 点 ， 且A D:A B2 : 5，AE:AC4 : 7，SADE16平方厘米，求ABC的面积AD EB C【巩固】 如图，三角形ABC中， AB 是 AD 的 5 倍，AC是 AE 的 3 倍，如果三角形 ADE 的面积等于 1，那么三角形 ABC 的面积是多少？ADEC中， D 在 BA 的延长线上，E 在 AC 上，且AB:AD5 : 2，B如图在

11、ABC【例 14】AE:EC3 : 2，SADE12平方厘米，求ABC的面积DAEBCAB:BE2 : 5，BC:CD3 : 2，【巩 固】如图，三角形ABC的面积为 3 平方厘米， 其中三角形 BDE 的面积是多少？ABEABECCDD【例 15】图中三角形 ABC 的面积是 180 平方厘米， D 是 BC 的中点， AD 的长是 AE长的 3 倍， EF 的长是 BF 长的 3 倍那么三角形 AEF 的面积是多少平方厘米？AEFCCE3AE ，三角形 ADE的面积是 20 平方BD【巩 固】如图，三角形ABC 中，DC2BD ，厘米，三角形ABC 的面积是多少？AE【例 16】BDCAC

12、，CD=1 4BC，BF=1 6AB，那么三角形DEF的面积如下图，已知AE=1 5三角形ABC的面积等于多少 ? 【巩 固】如下图，在ABC中， BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC，求阴影部分面积占三角形面积的几分之几？【例 17】如图，已知三角形 ABC 面积为 1，延长 AB 至 D ，使 BD AB；延长BC至E，使 CE 2 BC ；延长 CA 至 F ，使 AF 3 AC ，求三角形 DEF 的面积FBACED作业：1、 如图，大长方形由面积是12 平方厘米、 24 平方厘米、 36 平方厘米、 48 平方厘米的四个小长方形组合而成求阴影部分的面积12cm236cm248

13、cm224cm22、( 小数报竞赛活动试题) 如图， 某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线 AC、BD分成四个部分， AOB面积为 1 平方千米， BOC面积为 2 平方千米， COD的面积为 3 平方千米，公园由陆地面积是 692 平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？CABOD3、如右图， ABFE和 CDEF都是矩形， AB的长是 4 厘米， BC的长是 3 厘米，那么图中阴影部分的面积是 _平方厘米4、如图，在长方形ABCD中， Y 是 BD的中点， Z 是 DY的中点，如果AB=24厘米， BC=8厘米，求三角形ZCY的面积DCZYAB5、右图是一块长方形草地，长方形的长是 形，一条是平行四边形，它们的宽都是16，宽是 10。中间有两条道路，一条是长方 2，求草地部分的面积（阴影部分）有多大？6、如右图， 在平行四边形 ABCD中，直线 CF交 AB于 E，交 DA延长线于 F，若 S ADE=1，求 BEF的面积7、在右图中，平行四边形ABCD的边 BC长 10 厘米，直角三角形ECB的直角边EC长 8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大 10 厘米 2，求平行四边形ABCD的面积。8 、如图在AABC中 ，D E 分 别 是AB AC 上 的 点 ， 且AD:AB2 : 5，AE:AC4 : 7，SADE16平方厘米