2022年几类不同增长的函数模型教案

1、学习好资料 欢迎下载3.2.2 几类不同增长的函数模型（一）教学目标 1知识与技能利用函数增长的快慢一般规律，借助函数模型， 研究解决实际问题，培养数学的应用意识.2进程与方法 在实例分析、 解决的过程中， 体会函数增长快慢的实际意义，从而提高学生应用数学解 决实际问题的能力 .3情感、态度与价值观在实际问题求解的过程中，享受数学为人们的生产和生活服务的乐趣，激发学生学习数学知识的兴趣 .（二）教学重点与难点 重点：应用数学理论解决实际问题的兴趣培养和能力提升 难点：函数建模及应用函数探求问题的能力培养 .（三）教学方法尝试指导与合作交流相结合，学生自主学习和老师引导相结合.解决实际问题范例，

2、培养学生利用函数增长快慢的数学知识对实际问题进行探究和决策 .（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图回顾复习增函数的增长快慢比较方法：师：幂函数、指数函数、对数函以旧引新利用列表与图象， 借助二分法求数的增长快慢一般性规律.引入深题根，探究快慢相应区间获得一般生：回顾总结，口述回答. 导入课题结论 . 例 1 假设你有一笔资金用于投师生合作探究解答过程实例分析资，现有三种投资方案供你选例 1 解答：设第 x 天所得回将实择，这三种方案的回报如下：报是 y 元，则方案一可以用函数y方案一：每天回报40 元；= 40 ( xN*)进行描述；方案二可方案二：第一天回报10 元，以以用函数y

3、= 10 x(xN*)进行描际问题转后每天比前一天多回报10 元；述；方案三可以用函数y = 0.4化为数学方案三：第一天回报0.4 元，以2x 1(xN*)进行描述 .问题，利后每天回报比前一天翻一番.三种方案所得回报的增长情况用图象、请问，你会选择哪种投资方案？x/天y/元方案一表格及恰增加量 /元当 的 推1 40 理，应用2 40 0 不同函数3 40 0 的增长快4 40 0 慢解决实5 40 0 际应用问6 40 0 题. 7 40 0 8 40 0 9 40 0 学习好资料欢迎下载0 10 40 30 x/天1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30 x/天1 2 3 4 5

4、 6 7 8 9 10 30 40 0 方案二y/元增加量 /元10 20 10 30 10 40 10 50 10 60 10 70 10 80 10 90 10 100 10 300 10 方案三y/元增加量 /元0.4 0.8 0.4 1.6 0.8 3.2 1.6 6.4 3.2 12.8 6.4 25.6 12.8 51.2 25.6 102.4 51.2 204.8 102.4 214748364.8 107374182.4 再作三个函数的图象例 2 某公司为了实现 1000 万元利润的目标， 准备制定一个激励 销售人员的奖励方案： 在销售利 润达到 10 万元时，按销售利润在第

5、13 天，方案一最多； 在第 4 天，方案一和方案二一样多，方进行奖励， 且奖金 y(单位：万元 )案三最少；在第58 天，方案二随销售利润x(单位：万元 )的增最多；第9 天开始，方案三比其加而增加， 但奖金总数不超过5他两个方案所得回报多得多，到万元，同时奖金不超过利润的第 30 天，所得回报已超过2 亿元 .25%.现有三个奖励模型：y = 例 2 解答：作出函数y=5 ，学习好资料x，欢迎下载x 的0.25x，y = log 7x + 1，y = 1.002y=0.25x，y=log 7x +1，y=1.002其中哪个模型能符合公司的要图象 .求？观察图象发现， 在区间 10，1000

6、上，模型 y=0.25x，y=1.002 x 的图象都有一部分在直线 y=5 的上方，只有模型 y=log 7x+1 的图象始终在 y=5 的下方，这说明只有按模型 y=log 7x+1 进行奖励时才符合公司的要求 .首先计算哪个模型的奖金总数不超过 5 万.对于模型 y=0.25x，它在区间 10，1000 上递增，而且当 x=20 时，y=5，因此，当 x20 时， y5，所以该模型不符合要求；对于模型 y=log 7x+1，它在区间10，1000 上递增，而且当 x=1000时， y=log 71000+1 4.555，所以它符合奖金总数不超过 5 万元的要求 .再计算按模型 y=log

7、 7x+1 奖励时，奖金是否不超过利润的 25%，即当 x10，1000 时，是否有ylog7x10.25成立 .xx令f(x)=log 7x+10.25x ， x 10,1000 巩固练习1四个变量 y1，y2，y3，y4随变1解： y2动手尝试量 x 变化的数据如下表2解：设第1 轮病毒发作时有x0 5 10 15 a1=10 台被感染，第2 轮，第3y1 5 130 505 1130 轮 依次有a2 台， a3台 被y25 94.478 1785.2 33733 感染， 依题意有 a5=10 20 4=160.y35 30 55 80 答：在第 5 轮病毒发作时会有160提升解题y45

8、2.3107 1.4295 1.1407 万台被感染 . 能力x20 25 30 y1 2005 3130 4505 y26.371.22.281051078 10y3105 学习好资料欢迎下载130 155 y4 1.0461 1.0151 1.005 关于 x 呈指数型函数变化的变量是 .2某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的， 如果某台计算机感染上这种病毒， 那么它就会在下一轮病毒发作时传播一次病毒，并感染其他 20 台未感染病毒的计算机 .现有 10 台计算机被第1 轮病毒感染，问被第5轮 病 毒 感 染 的 计 算 机 有 多 少台？2中学数学建模的主要步骤 师生合作 反思 归纳

9、总结（1）理解问题：阅读理解，读 完善懂文字叙述， 认真审题， 理解实 生：通过独立思考和必要的交流，际背景 .弄清楚问题的实际背景 分析归纳例 1、例 2 的解题过程，和意义，设法用数学语言来描述 简述建模的主要步骤 . 问题 . 师：点评、总理学生的回答，然（2）简化假设：理解所给的实 后完善归纳步骤 . 际问题之后， 领悟背景中反映的 实质，需要对问题作必要的简师生合作：结合上一课时总结函 数增长快慢在实际应用问题中的化，有时要给出一些恰当的假 应用体会 . 设，精选问题中关键或主要的变 量.归纳总结（3）数学建模：把握新信息，培养整理勇于探索，善于联想，灵活化归，知识的学根据题意建立变

10、量或参数间的习 品 质 .数学关系，实现实际问题数学通过知识化，引进数学符号， 构建数学模整合培养型，常用的数学模型有方程、不数学应用等式、函数 .能力 . （4）求解模型：以所学的数学 性质为工具对建立的数学模型 进行求解 . （5）检验模型：将所求的结果 代回模型之中检验， 对模拟的结 果与实际情形比较， 以确定模型 的有效性， 如果不满意， 要考虑 重新建模 . （6）评价与应用：如果模型与 实际情形比较吻合， 要对计算的 结果作出解释并给出其实际意 义，最后对所建立的模型给出运学习好资料 欢迎下载用范围 .如果模型与实际问题有较大出入，则要对模型改进并重复上述步骤 . 课后练习3.2

11、第二课时习案学生独立完成强化基础提高能力备选例题例 1 有一批影碟机 （VCD ）原销售价为每台 800 元，在甲、乙两家电商场均有销售 . 甲商场用如下的方法促销，买一台单价为 780 元，买二台单价为 760 元，依次类推， 每多买一台单价均减少 20 元，但每台最低不低于 440 元；乙商场一律按原价的 75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费最小 . 【解析】设单位购买 x 台影碟机，在甲商场购买，每台的单价为 800 20 x，则总费用2800 x 20 x , (1 x 18)y440 , ( x 18)在乙商场购买，费用 y = 600 x. （1）当 0 x

12、10 时， (800 x 20 x 2)600 x购买影碟机低于 10 台，在乙商场购买 . （2）当 x = 10 时， (800 x 20 x 2) = 600 x购买 10 台影碟机，在甲商场或在乙商场费用一样 . （3）当 10 x18 时， (800 x 20 x 2)600 x购买影碟机多于 10 台且不多于 18 台，在甲商场购买 . （4）当 x 18 时， 600 x440 x购买影碟机多于 18 台，在甲商场购买 . 答：若购买小于 10 台，去乙商场购买； 若购买 10 台，在甲商场或在乙商场费用一样多；若购买多于 10 台，在甲商场购买 . 【评析】 实际应用问题求解，

13、理解题意建立模型是关键，建好模型后实际问题使自然转化为数学问题 . 例 2 某皮鞋厂今年 1 月份开始投产，并且前 4 个月的产量分别为 1 万双， 1.2 万双，1.3 万双， 1.37 万双 . 由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好 .为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量 . 厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程 . 厂里也暂时不准备增加设备和工人 . 假如你是1厂长，就月份 x，产量为 y 给出四种函数模型：y = ax + b，y = ax 2 + bx + c，y = a x 2 + b，y = ab x + c，你

14、将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？【解析】本题是通过数据验证，际最接近的函数模型 . 确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实由题意知 A（1，1），B（2，1.2），C（3，1.3），D（4， 1.37）. （1）设模拟函数为y=ax+b，将 B、C 两点的坐标代入函数式， 有3ab13.，解得a0.12 ab12.b1所以得 y=0.1x+1. 因此此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会月月上升 1000 双，这是不 太可能的 . （2）设 y = ax学习好资料欢迎下载c1.12，解得a0.005，ab2 + bx + c，将 A、B、C 三点代入，有4a2bcb

15、.359a3bc1.3c0.7所以 y= 0.05x 2+0.35x+0.7. 因此由此法计算 4 月份产量为 1.3 万双，比实际产量少 700 双，而且，由二次函数性质可知，产量自 4 月份开始将月月下降（图象开口向下，对称轴 x=3.5），不合实际 . a b 1 a 0 . 48（3）设 y= a x +b，将 A，B 两点的坐标代入，有，解得，2 b b 1 . 2 b 0 . 52所以 y= 4 8. x 0 . 52 . 因此把 x = 3 和 4 代入，分别得到 y=1.35 和 1.48，与实际产量差距较大 . ab c 1 a 0 . 8（4）设 y = ab x + c，将 A，B，C 三点的坐标代入，得 ab 2c 1 . 2，解得 b .0 5，ab 3c 1 . 3 c 1 4.所以 y= 0.8 (0.5) x+1.4. 因此把 x= 4 代入得 y= 0.8 0.5 4+1.4=1.35. 比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，比如增产的趋势和可能性. 经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于新建厂，开始随工人技术、