高等数学(上册)第六章课件

1、第六章利用元素法解决: 定积分在几何中的应用定积分在物理中的应用定积分的应用定积分在经济中的应用第一节 定积分的元素法第二节 定积分在几何中的应用第三节 定积分在物理中的应用第四节 定积分在经济中的应用 第六章 定积分的应用第一节 定积分的元素法表示为一、什么问题可以用定积分解决 ? 1) 所求量 U 是与区间a , b上的某分布 f (x) 有关的2) U 对区间 a , b 具有可加性 ,即可通过“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”定积分定义一个整体量 ;第一节 定积分的元素法二 、如何应用定积分解决问题 ?第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的微分表达式第二步 利用“

2、积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的积分表达式这种分析方法称为元素法 (或微元分析法)元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等近似值精确值第二节 定积分在几何中的应用平面图形的面积1. 直角坐标情形设曲线与直线及 x 轴所围曲则边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积为 例 计算两条抛物线在第一象限所围所围图形的面积 . 解 由得交点第二节 定积分在几何中的应用第二节 定积分在几何中的应用-型：-型：例 计算抛物线与直线的面积 . 解 由得交点所围图形此平面图形为Y型则有第二节 定积分在几何中的应用例 求由摆线的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .解 第二节 定积分

3、在几何中的应用第二节 定积分在几何中的应用注：在直角坐标系下计算面积的步骤1） 画图，求交点2） 观察X-型或Y-型3） 固定一点,过此点作平行于y轴的平行线, 如果平行线与边界线的交点超过三个以上， 则要划分区域，使划分后的区域为X型练习：求由 所围成的面积 第二节 定积分在几何中的应用2. 极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积 .在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为第二节 定积分在几何中的应用极坐标与直角坐标的关系扇形面积：第二节 定积分在几何中的应用对应 从 0 变例 计算阿基米德螺线解 到 2 所围图形面积 . 点击图片任意处播放开始或暂停第

4、二节 定积分在几何中的应用例 计算心形线所围图形的面积 . 解 (利用对称性)第二节 定积分在几何中的应用心形线(外摆线的一种)即点击图中任意点动画开始或暂停 尖点: 面积: 弧长:参数的几何意义例 计算心形线与圆所围图形的面积 . 解 利用对称性 ,所求面积第二节 定积分在几何中的应用例 求双纽线所围图形面积 . 解 利用对称性 ,则所求面积为思考: 用定积分表示该双纽线与圆所围公共部分的面积 .答案:第二节 定积分在几何中的应用规则的旋转体体积：第二节 定积分在几何中的应用旋转体的体积连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积,体积为：第二节 定积分在几何中的应用体积元素为：连续曲线段绕 y 轴旋

5、转一周围成的立体体积,有第二节 定积分在几何中的应用X -型绕x轴旋转所围成的立体的体积：Y-型绕y轴旋转所围成的立体的体积：第二节 定积分在几何中的应用例 计算由椭圆所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积. 解 方法1 利用直角坐标方程则(利用对称性)方法2 利用椭圆参数方程则特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积第二节 定积分在几何中的应用例 计算摆线的一拱与 y0所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .解 绕 x 轴旋转而成的体积为利用对称性第二节 定积分在几何中的应用绕 y 轴旋转而成的体积为注意上下限 !注第二节 定积分在几何中的应用分部积分注:

6、(利用“偶倍奇零”)第二节 定积分在几何中的应用关于对称例 过坐标原点作曲线 的切线， 该切线与 围成图形D 1) 求D的面积 2） 求D绕直线x=e旋转一周所得 旋转体的体积 第二节 定积分在几何中的应用解 画图求交点设切点为则过A点的切线为因（0,0）在切线上DD第二节 定积分在几何中的应用已知截面面积求体积所求立体体积为体积元素为第二节 定积分在几何中的应用例 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 ,并与底面交成 角,解 如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为（利用对称性）计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .例 如图所示，ABC是等边三角形求此立体的体

7、积.第二节 定积分在几何中的应用解 平面曲线的弧长定义 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,当折线段的最大边长 0 时,折线的长度趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧 AB 的弧长 ,即并称此曲线弧为可求长的.定理 任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)则称第二节 定积分在几何中的应用第二节 定积分在几何中的应用(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分) :因此所求弧长第二节 定积分在几何中的应用(2) 曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分) :因此所求弧长(3) 曲线弧由极坐标给出:因此所求弧长例 计算摆线一拱的弧长 .解 第二节 定积分在几何中的应用例 求阿基米德螺线相应于 0

8、2一段的弧长 . 解 第二节 定积分在几何中的应用第三节 定积分在物理中的应用变力沿直线所做的功设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 xa 移动到力的方向与运动方向平行,求变力所做的功 .在其上所作的功元素为因此变力F(x) 在区间 上所作的功为例 一个单位求电场力所作的功 . 解 当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律电场力为则功的元素为所求功为说明:正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a 0），汽锤第一次击打将桩打进地下a（m），根据设计方案，要求汽锤每次击打所做的功与前一次击打所做的功之比为常数r（0r1）.问：1）打击三次后，打入地下多深？ 2）假设击打次数不限，至多能打入地下多深？ 第三节 定积分在物理中的应用解 1）设每打一次的深度为，则第三节 定积分在物理中的应用由边际函数求总量函数 已知边际函数可由牛顿-莱布尼茨公式求得产量由